Принцип аргумента

Принцип аргумента.

Теорема. Логарифмический вычет функции  относительно контура С равен приращению  аргумента  при обходе контура С, деленному на , равно разности между числом нулей М и числом полюсов N функции   в облости D, ограниченной контуром С:

Док-во:

1)      

2) Внутри С  будет иметь конечное число нулей, т.к. она аналитическая в замкнутой области. В силу Утв1 и Утв2 :

3)

Рекомендуемые материалы

Теорема Руше. 

ЕСЛИ G – односвязная область, С – замкнутый контур, ограничивающий G,
 и  аналитические в G и на С,  на С, на С, - сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции , - сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции +, ТО .

Док-во:

1) 

2)

3)                       

Вектор из начала координат в точку, при такой конфигурации образа С, ни одного оборота не совершит.  .

4)

Пример. Найти количество нулей, которые имеет функция  в круге .

,

при : 

 имеет нуль кратности 5  w имеет 5 нулей.

Утв. Если , то  имеет n корней.

Док-во:

         С:

имеет нуль кратности n, т.о.  имеет n нулей.

Теорема. Если ,   аналитическая в G , то  - аналитическая.

Док-во:

Рекомендуем посмотреть лекцию "18 Россия при правлении Александра II (1855-1881)".

1)

1) аналогично доказываем

2) Из пунктов 1) и 2) следует, что для F выполнены условия Коши-Римана, следовательно F аналитическая.