Двойной интеграл
Часть1 Кратные и криволинейные интегралы, теория поля.
Лекция 1.
Двойной интеграл.
Задача об объеме цилиндрического тела.
К определенному интегралу мы пришли от задачи о площади криволинейной трапеции. К двойному интегралу мы приходим, решая задачу об объеме цилиндрического тела.
- Рассмотрим, например, прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусом основания R его объем равен
- Объем цилиндра той же высоты, в основании которого лежит эллипс с полуосями равен
.
Рекомендуемые материалы
- Объем цилиндра той же высоты, с площадью основания , равен
.
Пусть надо вычислить объем цилиндрического тела, в основании которого лежит область с площадью
, а высота
изменяется от точки к точке так, что конец ее описывает некоторую поверхность
(
). Тогда логично разбить область
на области малого размера – организовать разбиение области на области – элементы разбиения. На каждом элементе отметим точку M(x,y) и построим над этим элементом прямой круговой цилиндр, высота которого постоянна для всех точек элемента и равна
. Вычислим объем этого элементарного цилиндра. Просуммируем объемы всех элементарных цилиндров. Эта сумма и даст приближенно искомый объем цилиндрического тела тем точнее, чем меньше будут размеры элементов разбиения. Этот алгоритм используем для построения двойного интеграла
Двойной интеграл[1]
.
| 1. Организуем разбиение области D на элементы – области 2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» Mi и вычислим в них значения функции 3. Построим интегральную сумму 4. Переходя к пределу при условии |
Теорема существования[2].
Пусть функция непрерывна в замкнутой односвязной области D[3]. Тогда двойной интеграл существует как предел интегральных сумм.
.
Замечание[4]. Предел этот не зависит от
- способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А
- выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,
- способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В
Свойства двойного интеграла[5].
1. Линейность
а) свойство суперпозиции .=
+
б) свойство однородности.=
Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Они равны интегральным суммам для правых частей равенств, так как число слагаемых конечно. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.
2. Аддитивность.
Если, то
=
+
Доказательство. Выберем разбиение области D так, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы D1, так и элементы D2. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.
3. - площадь области D.
4. Если в области D выполнено неравенство , то
(неравенство можно интегрировать).
Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.
Заметим, что, в частности, возможно
5. Теорема об оценке.
Если существуют константы , что
, то
Доказательство. Интегрируя неравенство (свойство 4), получим
. По свойству 1 константы
можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.
6. Теорема о среднем (значении интеграла).
Существует точка , что
.
Доказательство. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве
, то существует ее нижняя грань
и верхняя грань
. Выполнено неравенство
. Деля обе части на
, получим
. Но число
заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция
непрерывна на замкнутом ограниченном множестве
, то в некоторой точке
функция должна принимать это значение. Следовательно,
.
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что существует цилиндр постоянной высоты , объем которого равен объему цилиндрического тела
Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.
Предположим, что D – плоская область, лежащая в некоторой плоскости и введем в этой плоскости декартову систему координат.
Область D назовем правильной, если любая прямая, параллельная декартовым осям, пересекает ее не более чем в двух точках.
Можно показать, что замкнутую ограниченную область с кусочно-гладкой границей можно представить в виде объединения правильных областей, не имеющих общих внутренних точек. Поэтому интеграл по области D можно вычислять как сумму интегралов (свойство 2) по правильным областям. Будем считать, что нам надо вычислить двойной интеграл по правильной области.
| Вспомним формулу для вычисления объема тела по площадям параллельных сечений
|
Подставляя в формулу для объема, получим
. Это повторный интеграл, вернее один из них. Второй повторный интеграл можно получить, вводя сечения, параллельные оси OX. По аналогии
. По смыслу двойного интеграла (объем цилиндрического тела)
=
=
Примеры. Записать двойной интеграл по заданной области и повторные интегралы.
Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла.
К двойному интегралу .мы пришли от задачи об объеме цилиндрического тела, расположенного над областью D с переменной высотой
.
В этом и состоит его геометрический смысл.
Можно рассмотреть задачу о массе плоской пластины, представляющей собой плоскую область D, плотность которой равна , т.е. меняется от точки к точке. Достаточно ассоциировать переменную плотность с переменной высотой в задаче об объеме, чтобы понять, что мы имеем ту же модель.
Поэтому физический смысл двойного интеграла заключается в том, что равен массе плоской области D, плотность которой равна
.
Пример. Вычислить объем V цилиндрического тела, ограниченного двумя параболическими цилиндрами z = 1-y2 и x = y2 и площадь его основания D, расположенного в плоскости OXY..
| Информация в лекции "5.2 Управление охраной труда" поможет Вам. |
[1] Здесь рассматривается упрощенный вариант построения интеграла, более общий вариант рассмотрен в седьмом выпуске учебника «Математика в техническом университете» под ред. проф. В.С. Зарубина и проф. А.П. Крищенко М. Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана 2001 (далее просто учебник).
[2] Здесь рассматривается непрерывная функция, более общий вариант см. в седьмом томе учебника
[3] Далее граница области предполагается кусочно-гладкой
[4] Это замечание относится ко всем рассматриваемым далее интегралам
[5] При обсуждении свойств предполагается выполнение условий теоремы существования