Определение определённого интеграла

11.1. Определение.

            11.1.1. Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке   задана непрерывная функция , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения :  при . Требуется определить площадь  трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми  и , сверху - функцией .

            Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание  фигуры точками  на  частей символом  будем обозначать длину -го отрезка: . На каждом из отрезков  выберем произвольную точку  , найдём , вычислим произведение  (это произведение равно площади прямоугольника  с основанием  и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим : .

 равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками , ; на левом рисунке эта площадь заштрихована.  не равна искомой площади , она только даёт некоторое приближение к . Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество  отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков  стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при  (слева) и при  (справа)). При  разница между  и  будет тоже стремиться к нулю, т.е. 

 .

            11.1.2. Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке  задана функция . Разобьём отрезок  произвольным образом на  частей точками ; длину -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков  выберем произвольную точку   и составим сумму .

Сумма  называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм  при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка  на части , ни от выбора точек , то функция  называется интегрируемой по отрезку , а  этот предел называется определённым интегралом от функции  по отрезку  и обозначается

 .

"16 Культура России XVII века" - тут тоже много полезного для Вас.

            Функция , как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа  и  - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так: .

            В этом определении предполагается, что . Для других случаев примем, тоже по определению:

            Если  , то ; если , то .

            11.1.3. Теорема существования определённого интеграла. Если функция  непрерывна на отрезке , то она интегрируема по этому отрезку.

            Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого  найдётся такое число ,  что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек , . Требование непрерывности  достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на  при условии их ограниченности (т.е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если  неограничена на , то она неограничена на каком-либо , т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).

            11.1.4. Геометрический смысл определённого интеграла. Как следует из пункта 11.1.1, если  на отрезке , то  равен площади криволинейной трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми  и , сверху - функцией .