Дифференциальные уравнения
Лекция 11. Дифференциальные уравнения.
Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно независимой переменной, неизвестной функции и ее производных.
Дифференциальное уравнение общего вида выглядит следующим образом:
. Здесь x – независимая переменная, y(x) – неизвестная функция.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.
Если, пользуясь теоремой о неявной функции, из уравнения общего вида удается выразить явно старшую производную, то такое уравнение называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.
.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Рекомендуемые материалы
Дифференциальное уравнение первого порядка общего вида выглядит следующим образом:
.
Предположим, что дифференциальное уравнение удалось разрешить относительно производной: 
или
.
Функция 
называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если при подстановке этого решения в уравнение получаем тождество.
.
Функция 
называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области 
, если
- при любой постоянной 
функция 
является решением,
- для любого набора начальных условий 
существует константа 
такая, что 
, т.е. существует решение из семейства (при 
), удовлетворяющее этим начальным условиям.
Одной из основных задач является задача отыскания общего решения дифференциального уравнения
Если зафиксировать постоянную в общем решении, мы получим частное решение дифференциального уравнения первого порядка.
Функция 
называется первым интегралом дифференциального уравнения, если она сохраняет свои значения на его решениях (=С).
По сути дела, это – закон сохранения (функция сохраняет значения на решениях дифференциального уравнения).
Интегральной кривой называется график решения дифференциального уравнения.
Одной из основных задач является также задача Коши - задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям или интегральной кривой, проходящей через заданную точку .
Теорема существования решения задачи Коши.
Пусть функция 
непрерывна в области 
, тогда существует хотя бы одно решение, удовлетворяющее любым заданным начальным условиям или существует хотя бы одна интегральная кривая, проходящая через точку .
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть функция непрерывна в области и удовлетворяет в этой области одному из трех условий:
А: функция удовлетворяет условию Липшица по 
:
,
В: существует и ограничена частная производная 
,
D: существует и непрерывна частная производная .
Бесплатная лекция: "17 Внешняя политика России после смерти Петра" также доступна.
Заметим, что из условия D следует условие В., а из условия В следует условие А. Поэтому класс функций, удовлетворяющих условию А, шире, чем класс функций, удовлетворяющих условию В, а класс функций, удовлетворяющих условию В, шире, чем класс функций, удовлетворяющих условию С. Условие А проверить трудно, а условие В или условие D проверить гораздо легче.
Если в какой-либо точке решение дифференциального уравнения не существует (через точку не проходит интегральная кривая), то в ней разрывна функция 
.
Если через какую-либо точку проходят две или более интегральных кривых, то функция непрерывна в этой точке, но ни одно из условий А, В, D не выполнено в ней.
Пример. Найти общее и частное решение уравнения 
.
Очевидно, что общее решение будет 
. Так как правая часть непрерывна и удовлетворяет условию D, то через любую точку конечной плоскости OXY проходит единственная интегральная кривая.
Для заданных начальных условий существует константа 
, такая что 
.
