Признаки сравнения рядов

Признаки сравнения рядов.

Первый признак сравнения рядов.

Пусть  выполнено неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда  следует расходимость ряда .

Замечание. В силу свойства сходящихся рядов, конечное число членов ряда не влияет на сходимость и неравенство можно проверять «начиная с некоторого n ». Поэтому эту фразу часто можно встретить в теоремах о рядах. Иногда ее просто опускают, но ее всегда надо иметь в виду.

Доказательство. 1) Пусть ряд сходится. Тогда выполнено неравенство . Поэтому последовательность частичных сумм ограничена сверху числом . Но эта последовательность не убывает. Следовательно, по теореме Вейерштрасса . Последнее неравенство справедливо в силу теоремы о предельном переходе в неравенстве.

2) Пусть ряд расходится. Если  ряд сходится, то по п.1 доказательства и ряд сходится. Противоречие. Следовательно,  ряд расходится.

Пример. Ряд  расходится, так как , а ряд  (гармонический) расходится.

Второй признак сравнения.

Рекомендуемые материалы

Пусть . Тогда ряды и сходятся или расходятся «одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится.

Доказательство. Раскроем определение предела. .

.

В лекции "0.2 Введение" также много полезной информации.

Если ряд сходится, то по 1 признаку сравнения ряд  сходится (, ряд сходится (свойство сходящихся рядов).

Если ряд сходится, то ряд  сходится (свойство сходящихся рядов), тогда по 1 признаку сравнения ряд сходится.

Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).

Пусть ряд  расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).

Пример. Ряд с  расходится по второму признаку сравнения (ряд сравнения – гармонический ряд).

Ряд   сходится.  - ограничена. Ряд сравнения  - сходящийся ряд Дирихле.