Непрерывные и ограниченные операторы. Оператор следа

§5. Непрерывные и ограниченные операторы. Оператор следа.

Пусть – гильбертовы пространства и – плотное линейное многообразие. Линейное отображение    называют линейным оператором из   в .

Линейный оператор называют ограниченным, если

      .

Как и для функционалов, ограниченный линейный оператор является непрерывным, то есть из сходимости аргументов   следует  .

Терема 1.

Пусть  – ограниченный линейный оператор из  в . Тогда найдется единственный линейный ограниченный оператор   такой, что  .

Доказательство.

Определим отображение   по следующему правилу. Если  f, то найдется последовательность , . Сходящаяся последовательность фундаментальна

Рекомендуемые материалы

.

Тогда

.

То есть последовательность  фундаментальна в пространстве  и, следовательно, имеет предел  . Для непрерывности оператора  мы обязаны положить . Остается проверить, что определен ограниченный линейный оператор.

Пусть     и  .  Тогда    и      .

Линейность установлена. Докажем ограниченность. Так как норма выражается через скалярное произведение, то она также является непрерывной функцией. Поэтому:

.    

Теорема доказана.

Элементы пространства  по определению являются элементами  . Последние являются не функциями, а классами эквивалентных функций, могущих различаться на множестве меры нуль. В связи с этим мы не можем определить значение элемента из  на гиперплоскостях, поскольку они имеют меру нуль. Однако есть исключительная ситуация, когда такое значение можно определить.

Лемма.

Если две непрерывные функции  и  различны в точке , то они  различны на множестве положительной меры.

Доказательство.

Пусть . Непрерывная функция , положительная в точке , положительна также в некоторой окрестности . Лемма доказана, поскольку mes .

Из леммы следует, что класс эквивалентности  может содержать не более одной непрерывной функции.

Если выбранный класс  содержит непрерывную функцию  то в качестве значения на гиперплоскости   полагаем

Для произвольного класса  определить его значение на гиперплоскости корректным способом не удается. Тем не менее, существует оператор следа , совпадающий на множестве  с обычным ограничением функции на гиперплоскость    Докажем это.

Пусть − область в     и  .

Замечание. Описываемые ниже рассуждения пригодны при определенных ограничениях и для случая  .

Очевидно, найдется  при котором . Возьмем функцию f. Пусть − непрерывная функция такая, что  и . Положим  и . Очевидно, что  Определим оператор , задав его на плотном множестве  формулой .

Теорема 2.

Оператор  ограничен.

Доказательство.

Пусть .  По формуле Ньютона-Лейбница:

.

Отметим, что  и . Поэтому

Поскольку  , то после интегрирования по    будем иметь

                   .                 (1)

Заменив  на , получим

                .                                           (2)    

По неравенству Коши-Буняковского

                    .

Таким образом, .

Теорема доказана.

По теореме 1 линейный оператор  единственным образом продолжается c  на все пространство . Это продолжение и называется оператором следа.

Аналогичным образом может быть определен оператор следа для любой гиперповерхности класса .

Убедимся, что если , то след . Действительно, пусть  и . Тогда  и  ввиду непрерывности оператора следа.

Теорема 3.

Если   и   то  .

Доказательство сложное. [см.1]

Утверждение. Если , то для  элементов  справедлива формула интегрирования по частям

                                .                                        (3)

Здесь  – -ая компонента единичной внешней нормали к поверхности .

Доказательство.

Вам также может быть полезна лекция "1.4. Операционные системы".

Воспользуемся формулой Стокса-Остроградского

div.       

В случае  подставив в эту формулу  получим

что совпадает с формулой (3). В общем случае следует взять последовательности  такие, что  и  в пространстве . Тогда  и  в пространстве ,

что позволяет предельным переходом в равенстве  получить формулу (3) в общей ситуации.