Обобщенная постановка первой смешанной задачи для параболического уравнения

§12. Обобщенная постановка первой смешанной задачи для параболического уравнения.

Здесь ограничимся однородными краевыми условиями. Для них удается доказать теорему о существовании и единственности решения в произвольной области, ограниченной или неограниченной.

Будем рассматривать в цилиндрической области , параболическое уравнение второго порядка:

                           .                                                            (1)

Коэффициенты уравнения для почти всех  из области  удовлетворяют условию равномерной эллиптичности

          ,                                             (2)

с положительными постоянными  и Г. Ищется решение  уравнения (1), удовлетворяющее краевому условию:

                                                                                                         (3)

и начальному условию

Рекомендуемые материалы

                            .                                                   (4)

Для определения обобщенного решения задачи (1), (3), (4) понадобятся пространства

                                     и .

Введем обозначения  .

Рассмотрим отображение  , действующее по формуле:

                                 .

Замыкание образа этого отображения и есть пространство . Как и раньше, нетрудно установить, что элемент

однозначно восстанавливается по координате : элементы  являются обобщенными, производными по  для . Следует отметить, что  может не иметь производную  по  .

        Чтобы определить пространство , рассмотрим отображение , действующее по формуле

                                  .

Пространство  определяется как замыкание образа этого

отображения. Норма в этом пространстве определяется формулой:

                        .                                        (5)

Определение.

Обобщенным решением задачи (1), (3), (4) в  называется функция ,  удовлетворяющая интегральному тождеству:

                                               (6)

при любой функции , такой, что  .

Для доказательства единственности обобщенного решения задачи (1), (3), (4) установим следующее его свойство.

Теорема 1.

Обобщенное решение задачи (1), (3), (4) принадлежит классу  и удовлетворяет энергетическому тождеству:

                                                      (7)

при всех  .

Напомним, что функции  и являются элементом , которые представляют собой классы эквивалентных функций. Принадлежность этого элемента классу  означает наличие такой функции  в классе эквивалентности этого элемента, для которой определенно отображение  и оно непрерывно для всех .

Для доказательства теоремы будет использоваться осреднение Стеклова. Оно определяется формулой:

для любой непрерывной функции.  Установим ряд свойств осреднения Стеклова.

Свойства осреднения Стеклова:

1     .

Доказательство.

        .

После смены порядков интегрирования по    и    будем иметь

.

Поскольку установлена ограниченность оператора Стеклова в пространстве  , то он определен не только на плотном множестве, которое составляют непрерывные функции, но и во всем пространстве  .

2       в   при      .

Ввиду непрерывности оператора Стеклова, достаточно провести доказательство для функций .

 Далее,  интегрируя

,

после замены переменной  ,  будем иметь

 при  .

3  Если   имеет обобщенную производную , то . Это свойство для гладких функций очевидно, а для негладких устанавливается по непрерывности осреднения Стеклова.

4   .

5   .

Доказательство.

.

После смены порядка интегрирования  по    и  ,  получим

.

Лемма 1.

Если   имеет обобщенную производную , то  .  Доказательство проведем сначала для  .

Тогда       .

Отсюда, по неравенству Коши-Буняковского

(8)     

Это неравенство влечет равномерную непрерывность отображения   в .

Пусть теперь – произвольная функция. Тогда найдется последовательность  , сходящаяся  к    в     при  .

Функции  сходятся к  в  при каждом фиксированном , поэтому функция  и в этом случае удовлетворяет неравенству  (8) .

Лемма доказана.

Следствие. Если , то  при    и .

Приступим к доказательству теоремы 1.

Возьмем функцию . Продолжим ее нулем для значений . Тогда функция  будет принадлежать  и  удовлетворять  .

Подставим эту функцию в тождество (6):

                         .                               (9)

Тогда по свойству 5,

.       (10)

Далее,

                           .                                                                     (11)

Соотношение (9) принимает вид:

               .                                                 (12)

Последнее справедливо при всех .

Лемма 2.

  в    при    равномерно по  .

Доказательство.

По свойству 2   в   при  . Далее выберем конкретный представитель  из класса эквивалентности  элемента  . Тогда по теореме Фубини:

                             .

Это означает, что при почти всех   функция   является элементом .

Опять по теореме Фубини при   имеем:

              .                               (13)

Будем доказывать равномерную фундаментальность последовательности  в  для . Для этого подставим в (12)  и вычтем два получившихся тождества:

        .                           (14)

Поскольку  в , то эта последовательность фундаментальна в , поэтому  из (14) следует существование  такого, что при  справедливо неравенство:

                      .                                                        (15)

Выберем в (14)   при  ,  равную нулю вне .  Тогда

              .

Тогда    .

Проинтегрируем последнее по :

Рекомендация для Вас - Экологическая ситуация в России и пути оздоровления экологического состояния.

      .

Отсюда из фундаментальности  в  следует равномерная по  фундаментальность  в .

Следовательно,       .

Переходя в (13) к пределу по  ,  получим:

                                    .

Следовательно,  .