Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона (метод касательных).

Пусть уравнение (1) имеет на интервале  единственный корень, причем существует непрерывная на  производная . Метод Ньютона служит для уточнения корней нелинейных уравнений в заданном интервале. Его можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если . Тогда итерационный процесс осуществляется по формуле:

                                          (5)

Геометрически (Рис.9) этот процесс означает замену на каждой итерации графика кривой  касательной к ней в точках .

Достаточное условие сходимости обеспечивается выбором начальной точки . Начальным приближением  служит один из концов отрезка , в зависимости от того, в каком из них выполняется достаточное условие сходимости

                                                  (6)

При произвольном начальном приближении итерации сходятся, если

.

Рекомендуемые материалы

Метод Ньютона рекомендуется применять для нахождения простых действительных корней уравнения (1).

Достоинством метода является то, что он обладает быстрой скоростью сходимости, близкой к квадратичной. Недостатки метода:

- не при любом начальном приближении метод Ньютона сходится, а лишь при том, для которого .

- если , то .

- если , то .

Последних трудностей можно избежать, применив модификацию метода Ньютона, рабочая формула при этом имеет вид

.

Лекция "13 Внешнеполитический курс Николая I" также может быть Вам полезна.

2. Решение систем нелинейных уравнений.

Система нелинейных уравнений имеет вид:

                                                     (7)

Здесь  - неизвестные переменные, а система (7) называется нормальной системой порядка , если хотя бы одна из функций  нелинейна.

Решение систем нелинейных уравнений – одна из трудных задач вычислительной математики. Трудность состоит в том, чтобы определить: имеет ли система решение, и, если – да, то сколько. Уточнение решений в заданной области – более простая задача.

Пусть функции  определены в областях . Тогда область  и будет той областью, где можно найти решение. Наиболее распространенными методами уточнения решения являются метод простых итераций и метод Ньютона.