Дизъюнктивные нормальные формы

Дизъюнктивные нормальные формы

Определение. Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция литералов (переменных или их отрицаний), взятых не более чем по одному разу.

Например, конъюнкции , , 1 являются элементарными. Причем первая элементарная конъюнкция имеет ранг (число литералов) 2, вторая - 3, а третья - 0.

Следующие конъюнкции:  , , , , 0 не являются элементарными.

Определение. Элементарная конъюнкция булевой функции  содержащая   n  литералов, называется   полной   (или минтермом).

Определение. Дизъюнкция любого конечного множества элементарных конъюнкций   булевой функции F называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) функции F. Число элементарных конъюнкций (слагаемых, термов), составляющих ДНФ, называется длиной ДНФ.

Например, ДНФ  имеет длину,  равную 3.

Для произвольной булевой функции F существует, вообще говоря, много различных реализующих ее ДНФ, отличающихся друг от друга длиной,  числом вхождений литералов и т.д.

Рекомендуемые материалы

Определение. Две (или несколько) ДНФ, реализующих одну и ту же булеву функцию F , называются эквивалентными (или равносильными).

Например, для функции , заданной приведенной выше таблицей истинности, существуют следующие эквивалентные ДНФ:

,                                  (1)

,                                                   (2)

 ,                                                     (3)

,                                                         (4)

.                                                                    (5)

Определение. ДНФ булевой функции F, состоящая только из полных элементарных конъюнкций, называется совершенной ДНФ (СДНФ).

Например, (1) - СДНФ функции F.

Отметим, что СДНФ является единственной (с точностью перестановки слагаемых) для конкретной булевой функции F .

Любую булеву функцию F, заданную формулой, можно с помощью основных равносильностей преобразовать к ДНФ, а затем к СДНФ.

Пример. Привести к виду СДНФ булеву функцию F=.

Решение. С помощью основных равносильностей преобразуем к ДНФ:

====

= - ДНФ.

Применяя закон склеивания (в обратном порядке: ), дополняем конъюнкции ,  до полных элементарных конъюнкций:

=.

Т.к. , после сокращения одинаковых конъюнкций, получаем СДНФ: F=.

Составим таблицу истинности для булевой функции F=(функция из предыдущего примера). Отметим связь между СДНФ и таблицей истинности.

Таблица истинности                                          СДНФ

В общем случае также можно вывести закономерности построения СДНФ по таблице истинности булевой функции, что является очень удобным.

СДНФ состоит из дизъюнкций полных элементарных конъюнкций наборов переменных , на которых функция принимает значение 1. Переменные берутся без отрицания, если им соответствует в таблице истинности 1, с отрицанием, если 0.

Пример. По таблице истинности составить СДНФ

Решение: СДНФ: .

Пример. Для булевой функции, заданной в виде ДНФ  составить СДНФ и выполнить проверку по таблице истинности.

Решение: Применяя закон склеивания (в обратном порядке: ), дополняем конъюнкции, до полных элементарных конъюнкций. Конъюнкцию  дополняем в два этапа, т.к. не является элементарной конъюнкцией.

Т.к. , после сокращения одинаковых конъюнкций, получаем СДНФ:

.

Таблица истинности                                          СДНФ