Смешанное произведение трех векторов

§11. Смешанное произведение трех векторов.

Определение. Смешанным произведением векторов  a,b  и  c называется число, равное

        Свойства смешанного произведения.

  1.  Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих

         векторах:         { Так как

          то модуль проекции с на него равен h }

2. (Н. и д. условие компланарности) Три вектора компланарны т. и т.т., когда их смешанное

      произведение равно нулю.  {доказательство следует из св – ва 1.}

3.     (В правой части равенства сначала, естественно, выполняется векторное

Рекомендуемые материалы

      произведение)    { доказательство так же следует из св – ва 1}

Из последнего свойства следует, что знаки    можно ставить в любом порядке. Поэтому

смешанное произведение обозначают  символом  abc.

    Для записи смешанного произведения в координатах лучше всего использовать форму

Если теперь представить векторное произведение в виде символического определителя и заменить первую строку на строку координат вектора  а , то при разложении определителя

В лекции "ИЛЬИН Владимир Николаевич" также много полезной информации.

по первой строке, получится скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго на третий. Таким образом, для смешанного произведения в координатной форме имеем

следующую формулу:

Пример. Исследовать векторы  a = (3,1,−2), b = (2,−1,4)  и  c = (7,−1,6)  на линейную зависимость.

{Так как линейная зависимость трех векторов в пространстве эквивалентна их компланарности,

вычислим их смешанное произведение:  векторы линейно зависимы}