Смешанное произведение трех векторов
§11. Смешанное произведение трех векторов.
Определение. Смешанным произведением векторов a,b и c называется число, равное 
Свойства смешанного произведения.
1. Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих
векторах: 
{
Так как 
то модуль проекции с на него равен h }
2. (Н. и д. условие компланарности) Три вектора компланарны т. и т.т., когда их смешанное
произведение равно нулю. {доказательство следует из св – ва 1.}
3. 
(В правой части равенства сначала, естественно, выполняется векторное
Рекомендуемые материалы
произведение) { доказательство так же следует из св – ва 1}
Из последнего свойства следует, что знаки 
можно ставить в любом порядке. Поэтому
смешанное произведение обозначают символом abc.
Для записи смешанного произведения в координатах лучше всего использовать форму 
Если теперь представить векторное произведение в виде символического определителя и заменить первую строку на строку координат вектора а , то при разложении определителя
В лекции "ИЛЬИН Владимир Николаевич" также много полезной информации.
по первой строке, получится скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго на третий. Таким образом, для смешанного произведения в координатной форме имеем
следующую формулу:
Пример. Исследовать векторы a = (3,1,−2), b = (2,−1,4) и c = (7,−1,6) на линейную зависимость.
{Так как линейная зависимость трех векторов в пространстве эквивалентна их компланарности,
вычислим их смешанное произведение: 
векторы линейно зависимы}
