Векторное произведение

§10. Векторное произведение.

Определение.  Векторным произведением  векторов  a  и  b : [a,b] называется вектор,

удовлетворяющий трем условиям:

1. Векторное произведение ортогонально своим составляющим:

2. Длина векторного произведения равна произведению длин векторов на синус угла между ними:

3. Тройка векторов   − правая.

Свойства векторного произведения.

Все свойства векторного произведения можно условно разбить на две группы.

I. Алгебраические свойства.

Рекомендуемые материалы

1) Антикоммутативность: .{ Первые два условия определения не зависят

 от порядка векторов, но тройки a, b,  и  b, a,  ориентированы противоположно (§9)}

2)    {Доказать самим}

3)         {б/д}

   II.         Геометрические свойства.

    1)     −  равенство нулю векторного произведения является необходимым и достаточным условием коллинеарности.  { Доказать самим }

Рекомендация для Вас - 27 Креационизм.

    2)    −  площадь параллелограмма, построенного на двух векторах равна модулю векторного произведения этих векторов.  {Очевидно}

     Для вывода координатной формы векторного произведения поступим так же, как и в случае скалярного:  .

Здесь уже использованы соотношения:   и т.д.

Легко заметить, что формула векторного произведения может быть записана в виде символического определителя: .

Пример. Вычислить S_∆ABC , если даны тт.  А(1,2,0), В(3,0,−3), С(5,2,6).

 {}