Показатели вариации
Тема 6. Показатели вариации
1. Абсолютные средние размеры вариации
2. Относительные показатели вариации
3. Виды дисперсии. Правило сложения дисперсий
4. Моменты распределения и показатели его формы
5. Вычисление дисперсии способом моментов
6. Дисперсия качественного альтернативного признака
1. Абсолютные средние размеры вариации
Конкретные условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, а также особенности их собственного развития (социальные, экономические и пр.) выражаются соответствующими числовыми уровнями статистических показателей. Таким образом, вариация, т.е. несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления.
Рекомендуемые материалы
Для измерения вариации в статистике применяют несколько способов.
Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации R или амплитуда вариации как разницы между максимальным (Xmax) и минимальным (Xmin) наблюдаемыми значениями признака:
- он не учитывает колеблемость признака внутри совокупности.
Однако размах вариации показывает лишь крайние значения признака. Повторяемость промежуточных значений здесь не учитывается.
Более строгими характеристиками являются показатели колеблемости относительно среднего уровня признака. Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение d как среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня: Данный показатель рассчитывается по следующим формулам:
а) для несгруппированных данных (ранжированного ряда):
(1)
б) для сгруппированных данных (вариационного интервального ряда)
(2)
Среднее линейное отклонение показывает, на сколько в среднем каждое значение признака отклоняется от средней величины. Эта величина всегда именованная и измеряется в тех же величинах, в которых даны статистические показатели.
Среднее линейное отклонение дает обобщенную характеристику степени колеблемости признаков совокупности.
Средние линейные отклонения применяются на практике для анализа состава рабочих, ритмичности производства, равномерности поставок материалов и т.д.
Наибольшее применение в практике статистических работ находит показатель – дисперсия признака или средний квадрат отклонений, или квадрат среднего квадратического отклонения (
).
Дисперсия – квадрат отклонения индивидуального значения признака от средней величины. В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется по формуле средней арифметической взвешенной и простой
Дисперсия –– определяется по формулам:
для несгруппированных данных:
; (3)
или
(4)
для сгруппированных данных, т.е. если индивидуальные значения признака повторяются.
. (5)
или
. (6)
Равенство результатов расчетов по вышепредставленным формулам выполняется только при точном значении средней арифметической величины. Если же средняя округлена, то дисперсию следует вычислять только по формулам:
простая:
; (7)
взвешенная
. (8)
Расчет по формулам 3, 5 приведет к погрешности дисперсии того же порядка, что и погрешность, допущенная при округлении средней величины. Математик В.С. Итенберг показал, что расчет по формулам 4 и 6 приводит к погрешности дисперсии, на порядки большей, нежели допущенная при расчете средней, что видно из следующего примера:
Расчет дисперсии
| № единицы совокупности | Xi | Точная | Xi2 | Округленная | ||
|
|
|
|
| |||
| 1 | 20 | -10,6 | 112,36 | 400 | -11 | 121 |
| 2 | 25 | -5,6 | 31,36 | 625 | -6 | 36 |
| 3 | 30 | -0,6 | 0,36 | 900 | -1 | 1 |
| 4 | 38 | 7,4 | 54,76 | 1444 | 7 | 49 |
| 5 | 40 | 9,4 | 88,36 | 1600 | 9 | 81 |
| Σ | 153 | 0 | 287,2 | 4969 | -2 | 288 |
При точной величине среднего значения:
или 
При округленной величине среднего значения:
- погрешность 0,3%ю
,т.е. погрешность составляет 43% величины дисперсии.
В общей теории статистики показатель дисперсии является оценкой одноименного показателя теории вероятностей и (как сумма квадратов отклонений) оценкой дисперсии в математической статистике, что позволяет использовать положения этих теоретических дисциплин для анализа социально-экономических процессов.
Среднее квадратическое отклонение – имеет ту же размерность, что и изучаемый признак
(9)
(10)
(11)
В отличие от дисперсии среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой вариации признака в совокупности и выражается в единицах измерения варьирующего признака (рублях, тоннах, шт.).
Среднее квадратическое отклонение дает обобщенную характеристику признака совокупности и показывает во сколько раз в среднем колеблется величина признака совокупности. В зарубежной литературе оно называется стандартным отклонением и применяется в различных стандартах.
Среднее квадратическое отклонение по величине всегда больше среднего линейного отклонения. Среднее квадратическое отклонение является мерой надежности средней величины: чем оно меньше, тем точнее средняя арифметическая.
Дисперсия является оценкой одноименного показателя теории вероятности. Сопоставление линейных или среднеквадратических отклонений по признакам совокупности дает возможность определить статистическую однородность совокупности: чем меньше размер, тем совокупность более однородна.
Еще одни показателем силы вариации, характеризующим ее не по всей совокупности, а лишь в центральной части, служит среднее квартильное расстояние, т.е. средняя величина разности между квартилями, обозначаемое далее как q:
(12)
Пример:
Распределение хозяйств области по урожайности зерновых культур
| Урожайность, ц/га | Число хозяйств | Середина интервала, ц/га | xf |
| 10-15 | 6 | 12,5 | 75,0 |
| 15-20 | 9 | 17,5 | 157,5 |
| 20-25 | 20 | 22,5 | 450,0 |
| 25-30 | 41 | 27,5 | 1127,5 |
| 30-35 | 26 | 32,5 | 845,0 |
| 35-40 | 21 | 37,5 | 787,5 |
| 40-45 | 14 | 42,5 | 595,0 |
| 45-50 | 5 | 47,5 | 237,5 |
| 50-55 | 5 | 52,5 | 262,5 |
| Σ | 147 |
| 4 537,5 |
Квартиль - величина, делящая совокупность на 4 равные по числу единиц части. Q2 cсовпадает с медианой, а формулы для расчета Q1 и Q3:
.
.
Поскольку, Q2 =29,5 ц/га, видно, что различие между первым квартилем и медианой меньше, чем между медианой и третьим квартилем. Этот факт свидетельствует о наличие некоторой несимметричности в средней области распределения.
2. Относительные показатели вариации
Показатели относительного рассеивания. Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.
Для сравнения вариации в разных совокупностях рассчитываются относительные показатели вариации. К ним относятся коэффициент вариации, коэффициент осцилляции и линейный коэффициент вариации (относительное линейное отклонение).
Коэффициент вариации – это отношение среднеквадратического отклонения к среднеарифметическому, рассчитывается в процентах:
Коэффициент вариации – это относительный показатель, который измеряет колеблемость признака относительно среднего уровня.
(13)
По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации, а, следовательно, об однородности состава совокупности. Чем больше величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по составу.
Коэффициент вариации позволяет судить об однородности совокупности:
- < 17% – абсолютно однородная;
- 17–33%– достаточно однородная;
- 35–40% – недостаточно однородная;
- 40–60% – это говорит о большой колеблемости совокупности.
Линейный коэффициент вариации характеризует долю усредненного значения.
(14)
Коэффициент осцилляции – это отношение размаха вариации к средней, в процентах. Отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.
(15)
Пример:
Итоги торгов на валютных биржах России 21 января 1999
| Биржа | Курс, $ | Fi, оборот, млн. $ |
| ММВБ | 22,73 | 158 |
| СПВБ | 22,63 | 10 |
| УРВБ | 22,42 | 3 |
| СМВБ | 22,40 | 2,9 |
| АТМВБ | 22,64 | 0,7 |
| СВВБ | 22,83 | 1,6 |
| МФВБ | 22,56 | 0,7 |
R=22,83-22,40=0,43
=0,06
Вывод: статистическая совокупность однородна.
3. Виды дисперсии. Правило сложения дисперсий
В зависимости от того, как представлена статистическая совокупность одним элементом или несколькими, различают следующие виды дисперсии:
- общая дисперсия;
- групповая дисперсия (внутригрупповая);
- средняя из групповых дисперсия;
- межгрупповая дисперсия.
Общая дисперсия оценивает колеблемость признака всех единиц совокупности без исключения:
(16)
Она отражает влияние всех причин и факторов, которые действуют на вариацию.
Для характеристики вариации признаков по группе рассчитывают групповую дисперсию. Она рассчитывает колеблемость признака в каждой отдельной группе и представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признаков от средней по каждой отдельно взятой группе/
Групповая дисперсия отражает колеблемость, которая возникает только за счет причин, действующих внутри группы.
Средняя из групповых дисперсия – это среднеарифметическая взвешенная из групповых дисперсий и определяется по формуле:
(17)
Она характеризует случайную вариацию в каждой группе.
Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) характеризует вариацию результативного признака под влиянием только одного фактора, положенного в равновесие группировки:
(18)
где x - средняя по отдельной группе; m - число единиц в определенной группе.
Отношение межгрупповой дисперсии к общей дает коэффициент детерминации:
(19)
Он показывает, какая часть вариации результативного признака обусловлена факторными признаками, положенными в основание группировки.
Для определения тесноты связи между результатом и факторным группировочным признаком используется корреляционное эмпирическое отношение:
. (20)
Если 
– связь между факторами полная, т.к. вариация результативного признака обусловлена факторным группировочным признаком.
Если 
– связь отсутствует.
Между общей дисперсией, средней из групповых дисперсий и межгрупповых дисперсий существует соотношение, которое определяет правило сложения дисперсий:
(21)
– это правило сложения дисперсий имеет большое значение и позволяет выявить зависимость результатов от определенных факторов.
Практическое применение правила: используется для взаимопроверки правильности расчета обшей дисперсии, на основании этого правила строятся показатели тесноты связи.
Пример:
Влияние стажа работы рабочих на производительность труда
| Группы рабочих по стажу, лет | Число рабочих в группах, чел. | Среднечасовая выработка, в усл.ед. | Дисперсия выработки в группе |
| До 5 лет | 30 | 20,0 | 3,0 |
| 5 и более | 40 | 23,0 | 2,0 |
| ИТОГО | 70 |
- влияние всех факторов, кроме стажа
- влияние стажа
4. Моменты распределения и показатели его формы
Для изучения характера вариации используются средние значения разных степеней отклонений отдельных величин признака от его средней арифметической величины. Эти показатели получили название центральных моментов распределения порядка, соответствующего степени в которую производятся отклонения или просто моменты.
Согласно свойству средней арифметической центральный момент первого порядка равен нулю, второй центральный момент представляет собой дисперсию. Величина третьего момента зависит, как и его знак, от преобладания положительных отклонений в кубе над отрицательными либо наоборот.
При нормальном распределении и любом другом строго симметричном распределении сумма положительных отклонений в кубе строго равна сумме отрицательных отклонений в кубе (µ3 используется при оценке ассиметрии). Четвертый момент используется при оценке эксцесса.
Центральные моменты
| Порядок момента | Формула | |
| По несгруппированным данным | По сгруппированным данным | |
| Первый (µ1) |
|
|
| Второй (µ2) |
|
|
| Третий (µ3) |
|
|
| Четвертый (µ4) |
|
|
Показатели асимметрии
На основе момента третьего порядка можно построить показатель, характеризующий степень асимметричности распределения:
(22)
Данный показатель называют коэффициентом асимметрии. Он может быть рассчитан как по сгруппированным, так и по несгруппированным данным. Симметричным называется распределение, в котором частоты любы двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.
По данным примера по урожайности показатель асимметрии составил:
, т.е. асимметрия незначительна. Английский статистик К. Пирсон на основе разности между средней величиной и модой предложил другой показатель асимметрии:
(23)
По данным примера по урожайности показатель составил:
Показатель Пирсона зависит от степени асимметричности в средней части ряда распределения, а асимметрии, основанный на моменте третьего порядка, - от крайних значений признака. Т.о., в нашем примере, в средней части распределения асимметрия более значительна. Распределения с сильной правосторонней и левосторонней (положительной и отрицательной) асимметрией показаны на рис. 1 и 2.
Эксцесс распределения
Для определения крутизны графика (заостренности) вычисляют центральный момент четвертого порядка. С помощью момента четвертого порядка характеризуется свойство рядов распределения, называемое эксцессом. Рассчитывается по формуле:
(24)
Для того, чтобы показать, в чем состоит эксцесс распределения, и правильно его интерпретировать, нужно сравнить ряды с одинаковой силой вариации и разными показателями эксцесса. Чтобы не смешать эксцесс с асимметрией, все сравниваемые ряды должны быть симметричными.
Для вариационного ряда с нормальным распределением значений признака показатель эксцесса, рассчитанный по формуле 24, равен трем.
для несгруппированных данных:
(25)
для сгруппированных данных:
. (26)
Наличие положительного эксцесса означает, что в изучаемой массе явлений существует слабо варьирующее по данному признаку «ядро», окруженное рассеянным 2гало». При существенном отрицательном эксцессе такого «ядра» нет совсем.
При значении показателей асимметрии и эксцесса распределения можно судить о близости распределения к нормальному, что бывает существенно важно для оценки результатов корреляционного и регрессионного анализа, возможностей вероятностной оценки прогнозов.
Распределение можно считать нормальным, если показатели асимметрии и эксцесса не превышают своих двукратных средних квадратических отклонений. Эти средние квадратические отклонения вычисляются по формулам:
(27)
(28)
Таким образом, если 
и 
, то распределение можно считать нормальным.
Пример:
Расчет нормированных моментов
| Группы магазинов по размеру товарооборота, млн. руб. | Число магазинов | Середина интервала | xf |
|
|
|
|
| 50-60 | 7 | 55 | 385 | -12,2 | 1041,88 | 12710,95 | 155073,45 |
| 60-70 | 15 | 65 | 975 | -2,2 | 72,6 | 159,75 | 351,38 |
| 70-80 | 6 | 75 | 450 | 7,8 | 365,04 | 2847,3 | 22209,03 |
| 80-90 | 4 | 85 | 340 | 17,8 | 1267,36 | 22559 | 401550,32 |
| ИТОГО | 32 |
| 2150 |
| 2746,88 | 38277 | 579184,18 |
1. Средняя арифметическая равна:
млн.руб.
2. Дисперсия, т.е центральный момент второго порядка равен:
3. Среднее квадратическое отклонение (стандарт):
4. Центральный момент третьего порядка равен:
5. Нормированный момент третьего порядка:
6. Мода, для нахождения коэффициент Пирсона равна:
7. Коэффициент Пирсона равен:
В данном случае асимметрия небольшая и скошенность правосторонняя.
8. Центральный момент четвертого порядка:
9. Нормированный момент четвертого порядка:
10. Эксцесс распределения:
так как эксцесс распределения меньше нуля, то распределение низковершинное.
5. Вычисление дисперсии способом моментов
Метод упрощенного расчета дисперсии осуществляется по формуле:
(29)
и называется способом моментов.
Показатели m1 и m2 представляют собой моменты первого и второго порядка и рассчитываются следующим образом:
; 
. (30)
6. Дисперсия качественного альтернативного признака
Для определения дисперсии альтернативного признака допустим, что общее число единиц совокупности равно n. Число единиц, обладающих изучаемым признаком – f, тогда число единиц, не обладающих изучаемым признаком, равно (n-f). Ряд распределения качественного (альтернативного) признака имеет следующий вид:
| Значение переменной | Частота переменной |
| 1 | f |
| 0 | n-f |
| ИТОГО | n |
Средняя арифметическая такого ряда равна:
, т.е. (31)
равна относительной частоте появления изучаемого признака, которую можно обозначить через p, тогда 
.
Доля единиц, обладающих изучаемым признаком, равна p, доля единиц, не обладающих изучаемым признаком, равна q, тогда p+q = 1.
Дисперсии доли альтернативного признака в совокупности, разделенной на группы.
Дисперсия доли альтернативного признака в группе (групповая дисперсия) рассчитывается по формуле:
(32)
pj – доля единиц в j-й группе, обладающих изучаемым признаком;
qj – доля единиц в j-й группе, не обладающих изучаемым признаком.
Межгрупповая дисперсия доли признака:
(33)
Люди также интересуются этой лекцией: 27 Принцип суперпозиции.
(34)
Внутригрупповая дисперсия (средняя из групповых дисперсий):
(35)
Общая дисперсия может быть также рассчитана по правилу сложения дисперсий.
Общая дисперсия доли признака в статистической совокупности, разделенной на группы:
(36)
