Тема 7. Ряды динамики

1. Понятие и классификация рядов динамики

2. Статистические показатели в рядах динамики

3. Средние показатели в рядах динамики

4. Методы анализа основной тенденции в рядах динамики

5. Изучение сезонных колебаний

6. Методика изучения и показатели колеблемости

7. Изучение устойчивости в рядах динамики

1. Понятие и классификация рядов динамики

Рекомендуемые материалы

Главное в изучении динамики – выявление основной тенденции в рядах динамики.

Изучение динамики того или иного объекта, явления начинается с построения ряда динамики, или временного ряда.

Ряд динамики – ряд статистических величин, характеризующих измерение явлений во времени. Процесс измерения явлений во времени называется динамикой.

Динамический ряд – это таблица, в которой представлены значения показателя за последовательные периоды или на моменты времени.

Характеристики динамического ряда:

 - уровень динамического ряда (у)

- показатель времени (t).

Уровень динамического ряда – числовые характеристики того или иного статистического показателя. В качестве показателя времени могут выступать данные моменты времени и отдельные периоды.

Различают виды динамических рядов:

В зависимости от способа выражения уровней

1) абсолютных величин

2) относительных величин

3) средних величин

По показателю времени

1) моментные

2) интервальные

В моментных рядах уровней ряда характеризуют явления на конкретный момент времени. В интервальных рядах характеризуют итог развития за определенный период.

Суммировать можно только интервальные ряды, моментные нельзя, так как включают повторный счет.

По полноте времени:

1) с равностоящими уровнями (полные);

2) с неравностоящими уровнями (неполные).

В зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса:

1) стационарные

2) нестационарные.

Если математическое ожидание значения признака и дисперсия постоянны, то есть не зависят от времени, то процесс называется стационарным, а ряды – стационарными. И, наоборот, для нестационарных.

При  построении рядов необходимо учитывать сопоставимость уровней:

1) за счет изменения круга охватываемых объектов;

2) за счет изменения территорий;

3) за счет изменения методологии расчета статистических показателей;

4) за различные продолжительности времени.

     2. Статистические показатели в рядах динамика

Абсолютные и относительные показатели динамики:

1) абсолютный прирост;

2) темп роста;

3) темп прироста;

4) абсолютное значение одного процента прироста.

Абсолютный прирост характеризует размер увеличения или уменьшения уровня ряда за определенный промежуток времени.

- абсолютный прирост характеризует размер увеличения или уменьшения уровней ряда.

Темп роста показывает во сколько раз изменяется уровень динамического ряда относительно базисного. Выражается в коэффициентах, в процентах.

                                                   ;                                                  (1)

Темп прироста показывает, на сколько изменится уровень по отношению к базисному

                                                                                                                                  (2)

                                                                                                                            (3)

Абсолютное значение одного процента прироста представляет собой 0,01 часть базисного уровня и в то же время отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу прироста.

                                                                                                                    (4)

Пример: Динамика числа квартир

3.Средние показатели в рядах динамики

Средние величины позволяют дать обобщающую характеристику изучаемого явления во времени:

- средний уровень;

- средний абсолютный прирост;

- средний темп роста;

- средний темп прироста.

Средний уровень характеризует типичную величину абсолютных уровней. Методы расчета зависят от вида динамического ряда.

 в полных интервальных рядах, n- число уровней динамического ряда

В моментных рядах рассчитываются по средней хронологической

                                                                                                         (5)

В неполных рядах – по средней арифметической взвешенной, где t_i-расстояние между уровнями.

                                                                                                                               (6)

Пример: Среднее число построенных квартир

=(тыс.)

Товарные запасы на 1 число каждого месяца составили, тыс.руб.

Найти средние месячные товарные запасы за первое полугодие

 = (тыс. руб.)

Численность рабочих в цехе в апреле

С 1 по 20       - 190 человек

С 21 по 30     - 196 человек

Определить средне дневную среднесписочную численность в апреле.

 = 192 (чел.)

Средний абсолютный прирост  - характеризует, на сколько, в среднем изменится уровень

Рассчитывается на основе цепных абсолютных приростов

; , где m – число периодов.                                                             (7)

Средний темп роста

На основе цепных темпов роста

, показатели выражены коэффициентами.                                      (8)

, где числитель – конечное значение, знаменатель – базисное значение ,   (9)

m – число периодов.

                                                                                                                (10)

Пример:

Динамика валовой прибыли ОАО «Хладокомбинат» с 1 кв.2006г. по 1 кв.2009 г.

4.Методы анализа основной тенденции в рядах динамики

- Метод скользящей средней

Суть метода состоит в замене абсолютных данных средними арифметическими за определенные периоды. Расчет средних ведется способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего.

Пример: На основе данных о производстве стиральных машин фирмой за 15 месяцев 2002-2003 гг. нужно произвести сглаживание ряда методом трехчленной и четырехчленной скользящей средней.

Взяв данные за первые три месяца, исчисляем трехчленные суммы, а затем среднюю:

Интервал скольжения можно также брать четный (четыре, шесть и т.д.) Нахождение скользящей средней по четному числу членов осложняется тем, что средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами. Чтобы ликвидировать этот сдвиг, применяется центрирование, т.е. нахождение средней из средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании также необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние по этим суммам и средние из средних.

Динамика производства стиральных машин и расчет скользящих средних

Пример:

Динамика валовой прибыли ОАО «Хладокомбинат» с 1 кв.2006г. по 1 кв.2009 г.

Графически динамика валовой прибыли по фактическим данным за весь исследуемый период и выравненные значения валовой прибыли методов трехлетней скользящей средней представлены на рисунке 1.

Рисунок 1 – Динамика валовой прибыли ОАО «Хладокомбинат»

- Метод аналитического выравнивания

Аналитическое выравнивание может быть осуществлено по любому рациональному многочлену. Выбор функции производится на основе анализа характера закономерностей динамики данного явления. Для выравнивания ряда динамики по прямой используется уравнение:

                                                                                                                                (11)

Для нахождения параметров и  необходимо решить систему нормальных уравнений:

                                        Σу=nа₀+ а₁∑t,

                                        ∑уt= а₀∑t + а₁∑t²                                                                              (12)

Параметры и  можно исчислить с помощью определителей по формулам:

                          ,                                                                          (13)

                                                                                                           (14)

Приведенные формулы показывают, что для нахождения параметров и  необходимо получить следующие значения: , , , . Обозначив годы (t) порядковыми номерами, расчет параметров  и  производится по форме таблицы.

Таблица – Расчетные данные для определения параметров  и  

и выравненных теоретических значений  ()

Далее осуществляется  прогнозирование социально-экономического явления с помощью метода экстраполяции. Элементарными методами экстраполяции являются средний абсолютный прирост, средний темп роста, экстраполяция на основе выравнивания ряда по какой-либо аналитической формуле. В курсовой работе необходимо применить все три метода экстраполяции, результаты расчетов необходимо представить по форме таблицы.

Таблица - Годовые прогнозные значения …

Пример: Для нахождения параметров уравнения a₀ ,a₁ методом наименьших квадратов необходимо решить систему нормальных уравнений из формулы, а, следовательно, необходимо получить следующие значения: ., ,и. Обозначив период порядковыми номерами и проведя для удобства вычисления сдвига факторов времени, осуществим расчет параметров уравнения с помощью таблицы .

Расчет параметров линейного уравнения

 ,

.

Таким образом, получим уравнение:

, для t=-6,-5,-4…,6,5,4.

Выровненные теоретические значения :

,

,

,

…

.

Итак, параметры уравнения можно интерпретировать следующим образом: a₀ = 31436,75 – это исходный уровень валовой прибыли ОАО «Хладокомбинат», a₁ = 2599,39 – это показатель вилы связи, т.е. на ОАО «Хладокомбинат» за период с 1 квартала 2006 по 4 квартал 2008 года происходило повышение валовой прибыли ежеквартально. Графически выравненная валовая прибыль представлена на рисунке 2.

Рисунок 2 – Динамика валовой прибыли ОАО «Хладокомбинат» ,

выровненная методом аналитического выравнивания

После построения основной тенденции (тренда) возможно определить колеблемость уровней около тренда, что позволит описать меру воздействия остаточных факторов, данную меру возможно определить по формуле среднего квадратического отклонения:

                                                                                                             (15)

и коэффициента вариации :                                                                                 (16)

Пример: Осуществим прогнозирование величины валовой прибыли с помощью метода экстраполяции, на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста, а также на основе выравнивания ряда по аналитической формуле:  (для t= 7,8,9,10).

Прогноз с использованием метода экстраполяции за весь 2009 год представлен в таблице , а также изображен графически на рисунке 3.

Таблица  – Прогноз величины валовой прибыли ОАО «Хладокомбинат»

Рисунок 3 – Прогноз величины валовой прибыли ОАО «Хладокомбинат»

поквартально на 2009 год

5. Изучение сезонных колебаний

Этим колебаниям свойственны более или менее устойчивые изменения уровней ряда по внутригодовым периодам: месяцам, кварталам. Для выявления сезонных колебаний обычно анализируются месячные и квартальные уровни ряда динамики за год или за несколько лет. При изучении сезонных колебаний используются специальные показатели – индексы сезонности (I_S). Способы определения индексов сезонности различны; они зависят от характера основной сезонности ряда динамики. Для ряда внутригодовой динамики, в которой основная тенденция роста незначительна, изучение сезонности основано на методе постоянной средней, являющейся средней из всех рассматриваемых уровней. Самый простой способ: для каждого года рассчитывается средний уровень , а затем с ним сопоставляется (в процентах) уровень каждого месяца. Это отношение обычно именуется индексом сезонности:

                                                                                                                     (17)

Пример:  

Численность рабочих фирмы по месяцам

Средний уровень ряда составляет:

чел.

Индекс сезонности составляет для января

Для февраля  и т.д.

На практике для выявления закономерности колебаний пользуются помесячными данными за ряд лет (в основном не менее 3 лет). Тогда для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня за три года, затем среднемесячный уровень для всего ряда и в заключении определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, т.е.

                                                                                                                    (18)

Пример:

Внутригодовая динамика числа расторгнутых браков

населением города по месяцам за 2001-2003 гг.

Для получения значения по способу средней простой (невзвешенной) произведем осреднение уровней одноименных периодов:

Январь

Февраль

………………………

Декабрь

Определим осредненные значения уровней ряда  для каждого месяца годового цикла:

Январь

Февраль

………………

Далее по исчисленным месячным средним уровням  определяем общий средний уровень () :

Значение общего среднего уровня можно вычислить также и по итоговым данным за отдельные годы:

m – сумма лет;  - сумма среднегодовых уровней ряда динамики.

По месяцам индекс сезонности составит:

Январь

Совокупность исчисленных для каждого месяца годового чикла индексов сезонности характеризует сезонную волну развития числа расторгнутых браков в городе во внутригодовой динамике.

6. Методика изучения и показатели колеблемости

Колеблемость – это отклонения уровней динамического ряда от тренда.

Типы колебаний статистических показателей весьма разнообразны, выделяют три основных:

1) пилообразную, или маятниковую

Пилообразная или маятниковая состоит в попеременных отклонениях уровней от тренда в одну и в другую сторону.

2) циклическая или долгопериодическая (10-11-летние циклы)

3) случайно распределенная во времени

Для определения типа колебаний применяют графическое изображение, метод «поворотных точек» М.Кендэла, вычисление коэффициентов автокорреляции отклонений от тренда.

Система показателей колеблемости:

1) Группа показателей силы колебаний уровней: амплитуда отклонений уровней отдельных периодов или моментов от тренда ( по модулю), среднее абсолютное отклонение уровней от тренда (по модулю), среднее квадратическое отклонение уровней от тренда.

2) Относительные меры колеблемости: относительное линейное отклонение от тренда и коэффициент колеблемости – аналоги коэффициента вариации.

Абсолютные показатели колеблемости вычисляются по формулам:

 - среднее линейное отклонение                                                            (19)

 - среднее квадратическое отклонение                                            (20)

где n – число уровней;

     y_i – фактический уровень

     y_i – выравненный уровень, тренд;

     p – число параметров тренда.

Пример:

Тренд по результатам многократного скользящего выравнивания, рассчитанный по данным нижеследующей таблицы представлен в виде:  t = 0 в 1987 г.

1. Амплитуда колебаний составила от -14,0 в 1986 г. до +15,2 в 1984 году, т.е. 29,2 пункта.

2. Среднее линейное отклонение по модулю найдем, сложим модули (их сумма равна 132.3) и разделив на (n-p):

 пункта.

3. Среднее квадратическое отклонение уровней от тренда составило:

пункта.

4. Коэффициент колеблемости: или 9,04%.

Колеблемость умеренная, несильная.

Многократное скользящее выравнивание по прямой

7. Изучение устойчивости в рядах динамики

По отношению к статистическому изучению динамики рассматриваются следующие определения:

1) устойчивость как категория, противоположная колеблемости;

2) устойчивость направленности изменений, т.е. устойчивость тенденции.

В первом понимании устойчивость находится как разность между 1 и показателем колеблемости. По предыдущему примеру показатель устойчивости составил: 1-0,0904=0,9096 или 100%-9,04%=90,96%.

Из определения понятия устойчивости тенденции вытекает и метод определения ее показателя. В качестве показателя устойчивости можно использовать коэффициент корреляции рангов Ч. Спирмена:

, n – число уровней,                                                                                   (21)

- разность рангов уровней и номеров периодов времени.

При полном совпадении рангов уровней, начиная с наименьшего, и номеров периодов (моментов) времени по их хронологическому порядку коэффициент корреляции рангов равен +1. Это значение соответствует случаю полной устойчивости рангов уровней рангам лет . При полной противоположности коэффициент корреляции рангов Спирмена равен -1, что означает полную устойчивость процесса сокращения уровней. При хаотическом чередовании рангов уровней коэффициент близок к нулю, это означает неустойчивость какой-либо тенденции.

Пример:

Расчет коэффициента корреляции рангов Спирмена

Используем следующую формулу, т.к. есть «связные» ранги:

.

Отрицательное значение указывает на наличие тенденции снижения уровней, причем устойчивость этой тенденции ниже средней.