Тема 5. Средние величины

1. Сущность средних величин

2. Степенные средние

3. Средние арифметические и средние гармонические

4. Свойство средней арифметической

5. Структурные средние

1. Сущность средних величин.

Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает как общими для всей совокупности свойствами. Различие между индивидуальными явлениями называют вариацией. Рассмотрим другое свойство явлений – присущую им близость характеристик отдельных явлений. Если в сосуд в горячей водой добавить холодную, то температура воды во всем сосуде станет одинаковой (осреднится).  массовое промышленное производство невозможно без стандартизации, т.е. усреднения размеров деталей собираемых механизмов, узлов, агрегатов. Взаимодействие элементов совокупности приводит к ограничению вариации хотя бы части их свойств. Эта тенденция существует объективно. Именно в ее объективности заключена причина широчайшего применения средних величин в теории и на практике.

Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, т.е замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений.

Рекомендуемые материалы

Средняя величина – это обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку, который показывает уровень признака к единице совокупности.

Виды средних величин различаются, прежде всего тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

В статистике применяются различные виды степенных средних: арифметическая, гармоническая, квадратическая, геометрическая и структурных средних – мода и медиана.

Особенности средней величины:

1) характеризуется одной величиной изучаемого признака для всех единиц качественно-однородной совокупности;

2) именованная величина, то есть имеет ту же размерность, что и исследуемый признак;

3) характеризует типичный уровень для изучаемой совокупности, отклоняясь от индивидуальных значений;

4) может быть надежной, то есть реально оценивать типичность и ненадежность.

Группы средних величин:

1) Степенные средние (для определения обобщающей характеристики совокупности);

2) Структурные средние (характеризуют структуру совокупности);

3) Системные средние (характеризуют уровень развития явления, сравниваем отдельные совокупности между собой, выясняем причины различий, изменения явлений во времени).

2. Степенные средние

  Главное значение – их обобщающая функция, то есть заменимое множество различных индивидуальных значений признака средней величиной.

Функция имеет вид: , принимает различные выражения с изменением показателя степени . Данной функции соответствует единое выражение степенной средней:

, - индивидуальное значение признака;

                       n – численность совокупности;

                       П – произведение

Исходя из данного выражения получаем правило мажорантности средних:

или

Таблица – Виды степенных средних

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину.  Основное применение данная средняя находит при определении средних темпов роста. Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения признака. (пример по выигрышу: если мин. размер – 100 руб., а максим.размер – 1 000 000 руб.).

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной.

Пример: имеются 3 участка земельной площади со сторонами квадрата: 100 м., 200 м., 300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина не удовлетворяет этому условию (равна 200 м), т.к. общая площадь трех участков была бы равна 3*200 = 120 000 , в то же время она равна 140 000 (100*100+200*200+300*300). Правильный ответ дает средняя квадратическая: .

Степенные средние бывают простыми и взвешенными.

Простые применяются когда индивидуальное значение признака не повторяются. Взвешенные применяются когда индивидуальные значения признака повторяются.

Число единиц, имеющие одинаковое значение признака называются весамичастотами.

, F – объемный показатель, определенный как произведение индивидуальных значений признака на их частоту.

Пример: Студент сдал экзамены на 2 и 5, рассчитать среднюю. Если судить по средней арифметической, то средний балл равен 3,5. Но если деканат желает «утопить» студента, то можно вычислить среднюю гармоническую

.

Можно рассчитать и по средней кубической :

.

       3. Среднее арифметическое и среднее гармоническое

Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Иными словами средняя арифметическая величина – среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Например, средняя заработная плата и т.д.

Пример: уровень квалификации работников бригады характеризуется следующими значениями тарифного разряда 2,3,4,5,6. Определить средний уровень квалификации.

Если изучаемая совокупность велика, исходная информация чаще представляет собой ряд распределения, или группировку, то используется формула средней арифметической взвешенной. В качестве весов выступают числа единиц совокупности в разных группах. Название «вес» отражает тот факт, что разные значения признака имеют неодинаковую «важность» при расчете средней величины.

Пример: В бригаде 7 человек

Существует несколько способов расчета средней арифметической:

1) если имеются индивидуальные значения признака и их частота, то рассчитываются по формулам:

;.

2) по логической формуле. Если имеются не отдельные значения признака, а годовая их сумма и общая их численность.

3) среднее арифметическое для сгруппированных данных

Если при группировке значения усредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака.  Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности. Свойств признака и совокупности.

Таблица – Распределение рабочих по среднемесячному доходу

, где X_i – середина интервала

4) осреднение

При вычислении таких средних величин необходимо, чтобы сохранилась сумма величины объема признака, который является числителем, при построении усредняемого относительного показателя, чтобы выполнить указанное условие в качестве весов, при расчете средней величины относительного показателя, необходимо принять значение того признака, который является знаменателем при определении относительного показателя.

Пример: Произведем расчет средней доли товаров народного потребления в общем выпуске промышленной продукции по совокупности предприятий.

Таблица – Объем и структура промышленной продукции

В этом случае весом должен являться общий объем всей продукции предприятия.  Тогда средняя доля предметов народного потребления в продукции четырех предприятий равна: (615,5/2047)*100=30,07. Средняя доля ближе к значениям долей тех предприятий, которые имеют большой объем всей продукции (предприятия 2 и 3). Числитель средней величины  - это объем выпуска предметов потребления всеми предприятиями – величина, которая должна сохраняться неизменной при замене разных четырех долей на среднюю величину.

  Средние гармонические используются, когда известен объектный показатель и неизвестна численность совокупности, то есть не известны частоты или частности.

  Средняя гармоническая простая – если объемный показатель не повторяется. Если объемный показатель повторяется, то используется среднее гармоническое взвешенное.

Пример: Фирма специализируется на торговле по почте, на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимается два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 8 мин., а второй – 14 мин. Каковы средние затраты времени на один заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

= (мин.) – средние затраты

или

= (мин.)

Форма средней зависит от имеющихся данных.

  Пример: при партии материала А были куплены по разным ценам. Определить среднюю покупную цену материала А, если известно.

= (руб.) – средняя цена

Для определения формы средней для той или иной задачи используется критерий, таким критерием выступают объемы формирования варьирующего признака, если объем формирования варьирующего признака формируется как сумма индивидуальных значений признака, то применяется среднее арифметическое; если объем варьирующего признака формируется как сумма обратных значений признака, то применяется среднее гармоническое; если объем варьирующего признака формируется как произведение индивидуальных значений признака, то применяется средняя геометрическая; если объем варьирующего признака формируется как сумма квадратов, то применяется среднее квадратичное.

4.Свойства средней арифметической взвешенной:

1) произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты.

Таблица – Продажа акций АО «Дока-хлеб» на торгах фондовой секции

Найти средний курс продажи

 = (руб.) – средний курс продажи

Проверка:

1112,9*1900=1080*500+1050*300+1145*1100

2) сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической всегда равна нулю.

(1080-1112,9)500+(1050-1112,9)300+(1145-1112,9)1100=0

Доказательство:

3) сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой величины.

4) если все усредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшиться на эту же величину.

Пример: если все курсы продажи акций увеличить на 100 рублей (см. таблицу выше).

(руб.)

5) если все варианты значений признака увеличить или уменьшить в А раз, то средняя увеличится или уменьшится в А раз.

  Пример: курс продажи возрастет в 1,5 раза.

 (руб.)

6) если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не измениться.

5. Структурные средние

Мода – наиболее часто встречающаяся величина признаков совокупности. Ее определяют по наибольшей частоте или частности.

Для дискретных вариационных рядов распределения модой является вариант с наибольшей частотой.

Пример: 9 торговых фирм города реализуют товар А по следующим оптовым ценам в тыс. руб.: 1,4; 4,3; 4,4; 4,5; 4,3; 4,6; 4,2; 4,6; 4,3. Мода равна 4,3 тыс. руб. – модальная цена, то есть чаще всего повторяется.

Если данные сгруппировать, то в начале необходимо найти модальный интервал, затем рассчитать значение моды.

Для интервальных вариационных рядов распределения мода рассчитывается по формуле:

,

где  М_о- мода;

       X_м- нижняя граница модального интервала;

       i_м – величина модального интервала;

       f_м – частота модального интервала;

       f_м-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

       f_м+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Пример: имеются данные о распределении работников предприятия по уровню среднемесячной заработной платы

Определить модальный размер заработной платы.

Первоначально по наибольшей частоте признака определим модальный интервал. Набольшее число работников – 70 человек – имеют заработную плату в интервале 700-800 руб., который и является модальным.

(руб.)

Медиана – значение признака, находящегося в центре ряда распределения.

Вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части.

В ранжированном ряду из четного числа членов медианой будет средняя арифметическая из двух вариантов, расположенных в середине интервала.

Медиана дискретного ряда определяется по сумме накопленных частот, которая должна превышать половину всего объема единиц совокупности. Для дискретных рядов распределения необходимо найти номер медианы, а затем значение медианы.    

Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле:

,

где  М_е – медиана;

       X_м – нижняя граница медианного интервала;

       i_м – величина медианного интервала;

       - сумма частот ряда;

       S_м-1 – сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу.

       F_м – частота медианного интервала.

Пример: см. таблицу выше. Рассчитать медиану.

Определяем медианный интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для этого подсчитаем сумму частота накопленным итогом до числа, превышающего половину объема совокупности (200/2=100).

В графе «Сумма накопленных частот» значение 110 соответствует интервалу 700-800. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана.

(руб.)

Из расчета видно, что половина работников предприятия имеют заработную плату до 785,7 руб, а половина – выше полученной суммы.

Соотношение между средней величиной, медианой и модой.

13 Антимонопольное законодательство - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

По итогам решения задач №17,18 различие между средней арифметической величиной, медианой и модой в данном распределении невелико. Если распределение по форме близко к нормальному закону, то медиана находится между модой и средней величиной, причем ближе к средней, чем к моде. При правосторонней асимметрии:

> Me > Mo.

При левосторонней асимметрии:

< Me < Mo.

Для умеренно ассиметричных распределений справедливо равенство: