Тема 9. Корреляционный анализ связей

9.1. Понятие о корреляционной связи и методы ее установления

Известно, что все явления общественной жизни, в том числе и социальные, находятся в причинно-следственных взаимных связях и взаимной обусловленности. Одной из задач статистики является установление и измерение причинно-следственных связей между различными социально-экономическими явлениями. Решение этой задачи имеет непосредственное значение, так как позволяет перейти от простой констанции фактов к их объяснению и к активному воздействию на них.

Все многообразие связей можно свести к двум видам: функциональным и корреляционным. При обоих видах связи одни признаки выступают в качестве признаков – факторов, обуславливающих изменение других признаков. Другие признаки, которые являются результатом влияния этих факторов, называются  результативными.

Функциональные связи – это строгие, жесткие связи, когда каждому значению факторного признака соответствуют вполне определенные значения результативного признака. Корреляционные связи – это неполные, проявляющиеся в общем, в среднем при достаточно большом объеме совокупности. Здесь одному и тому же значению факторного признака могут соответствовать разные значения результативного признака, т.е. это связь проявляется не в каждом конкретном случае, а лишь в среднем при массовых данных.

Функциональные связи имеют место, главным образом, в точных науках: физике, химии, механике и т.д. Например, связь между площадью круга S и радиусом:

При изучении социально-экономических наук в основном имеют место корреляционные связи. В социальных явлениях не наблюдаются жесткие однозначные связи. Так например, преступность как массовое социальное явление обусловлена огромной совокупностью взаимосвязанных причин. При этом каждая причина, взаимодействуя с другими, может порождать несколько следствий. Так криминогенными факторами считаются разводы родителей, воспитание ребенка в неполной семье или без родителей. Но это не означает, что без родителей человек, выросший в таких условиях совершит преступление. Ведь за обобщенным фактором воспитания без родителей скрывается большое число других криминогенных и антикриминогенных причин, которые оказывают разное влияние на ребенка. И все же при достаточно большом объеме изучаемой совокупности людей, воспитанных без одного или обоих родителей, они более часто совершают преступления, чем воспитанные в полной семье. Примером корреляционных связей является связь между правонарушениями и преступлениями, между числом судимостей и уровнем образования, занятостью населения и преступностью, стажем работы и заработной платой и т. д.

По направлению корреляционная связь подразделяется на прямую и обратную.

Прямая заключается в том, что с ростом признака-фактора (х) возрастают и значения результативного признака (У) и наоборот. Примером такой связи является зависимость уровня преступности от потребления алкоголя и наркотиков, срока лишения свободы от рецидива преступлений и др.

Обратная корреляционная связь заключается в том, что с увеличением признака-фактора величина результативного признака снижается и наоборот. Например, связь между числом судимостей преступника и временем его нахождения на свободе, между числом преступлений в расчете на 1 работника милиции и раскрываемостью преступлений.

По виду аналитического выражения различают прямолинейную и криволинейную связь.

Рекомендуемые материалы

Под прямолинейной корреляционной связью понимают такую связь, при которой с возрастанием одного признака происходит непрерывное возрастание (или убывание) другого признака в среднем на постоянную величину. При криволинейной связи между признаками имеется не постоянное, а меняющиеся соотношения (результативный признак то увеличивается, то уменьшается с различной степенью интенсивности.) Вначале эта связь может быть прямой, а затем обратной. Так с расширения социального контроля уровень противоправного поведения населения снижается, но тотализация контроля может в дальнейшем превратиться в криминогенный фактор. Аналогичное выражение имеет связь возраста населения с его криминогенной активностью.

С точки зрения взаимодействующих факторов выделяют парную (когда характеризуется связь двух признаков) и множественную (если изучается зависимость результативного признака от нескольких факторных) связь.

По силе взаимодействия различаются слабые и сильные связи. Эта формальная характеристика выражается конкретными величинами и интерпретируется в соответствии с общепринятыми критериями силы связи для конкретных показателей.

Применение корреляционного метода должно быть теоретически обоснованным, т.к. не всякое согласованное изменение вариации признаков означает существование причинной связи. В этом отношении интересен пример, приведенный А. А. Чупровым из области русской статистики обязательного страхования от огня. Существует статистическое совпадение двух признаков: число пожарных команд в городе и сумма убытков от пожаров. Но данная корреляция не может быть объяснена как связь причины и следствия. Оба эти признака являются следствием одной общей причины – размера города, т.к. в крупных городах больше пожарных команд, больше пожаров и убытков от них.

Поэтому на первом этапе изучения связи осуществляется качественный анализ исследуемого явления, связанный с уяснением его социальной природы, а только затем уже используются статистические приемы ее количественного измерения. Поскольку корреляционная зависимость проявляется в среднем, применении этого метода требует большого числа наблюдений.

Установление корреляционной связи осуществляется несколькими приемами: построение корреляционных таблиц, графиков, групповых таблиц, параллельное сопоставление рядов и др. Рассмотрим некоторые из них.

Метод группировок основан на том, что производится сравнение не индивидуальных данных, а групповых средних, поэтому зависимость будет выступать более отчетливо. Для целей корреляционного анализа важно образовать такое количество групп, при котором в вариации групповых средних в максимальной степени проявилось бы влияние группировочного признака.  Число групп не должно быть слишком большим при сравнительно небольшом числе  наблюдений, т.к. группы получаются малочисленными, средние из них будут носить случайный характер, а межгрупповая вариация отразит влияние не только факторного, но и других признаков и связь проявиться недостаточно отчетливо. При небольшом числе групп в групповых средних будет погашена часть вариации изучаемого признака.

Установить корреляционную связь, ее направление можно путем построения графика (корреляционного поля).

Используя прямоугольную систему координат наносят точки (значения) по оси абсцисс (Х) – факторный признак, на оси ординат (У) – результативный.

Если точки сконцентрированы вокруг оси идущей от левого угла в верхний правый угол (прямая зависимость), если, наоборот – от верхнего левого угла в нижний правый угол (обратная зависимость). Если эмпирическая линия связи по своему виду приближается к прямой линии, то можно говорить о прямолинейной связи. Если же имеется тенденция неравномерного изменения значений результативного признака и эмпирическая линия связи будет приближаться к какой-либо кривой, то это может быть связано с наличием криволинейной корреляционной связи.

9.2. Измерение степени тесноты корреляционной связи в случае парной зависимости

Следующей задачей корреляционного метода анализа является измерение тесноты связи, то есть степени влияния факторного признака на вариацию результативного признака.

Первые попытки установления тесноты взаимосвязи сделал Г. Фехнер, предложивший простейший показатель коэффициент корреляции знаков. Он основан на оценке степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от соответствующих средних. Для его расчета вычисляют средние значения результативного и факторного признаков, а затем проставляют знаки отклонений для всех значений взаимосвязанных пар признаков.

,

где: – коэффициент корреляции знаков;

 – число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней;

 – число несовпадений знаков отклонений индивидуальных

величин от средней.

Показатель Фехнера изменяется от –1 до +1: при =1 имеет место полная прямая связь, при =0 – связь отсутствует,  = –1 показывает полную обратную связь.

Рассчитаем коэффициент корреляции Фехнера на основе табл. 9.1.

Таблица 9.1

Среднее число подростков, которые не учатся и не работают на 1 000 несовершеннолетних составит:

Средний уровень преступности несовершеннолетних на 1 000 несовершеннолетних составит

В графах 4 и 5 табл. 9.1 указаны знаки отклонений значений признаков от соответствующей средней.

Подсчитав число совпадений знаков  и число несовпадений знаков  (см гр 6 табл. 9.1) рассчитаем коэффициент Фехнера:

Полученная величина показателя Фехнера свидетельствует о прямой связи между сопоставляемыми признаками.

Недостаток данного показателя заключается в том, что при определении размера коэффициента разные по абсолютной величине отклонения имеют равный вес. На основе коэффициента Фехнера поэтому нельзя судить о степени тесноты и оценке существенности корреляционной связи. При малом объеме информации он отвечает на вопрос о наличии и направлении связи между признаками.

В качестве более совершенного измерителя связи между признаками используется линейный коэффициент корреляции. При расчете этого показателя можно использовать следующую формулу:

Линейный  коэффициент корреляции может принимать значения в пределах  При  корреляция отсутствует, а если  – связь функциональная.

По степени тесноты связи различают следующие количественные критерии оценки тесноты связи (табл. 9.2).

Таблица 9.2

Используя данные табл. 9.2 рассчитаем линейный коэффициент корреляции.

                                            

             

                 

=0,7949.

Полученная величина линейного коэффициента корреляции свидетельствует о возможном наличии достаточно тесной прямой зависимости между рассматриваемыми признаками.

Квадрат коэффициента корреляции  носит название коэффициента детерминации. Для нашего примера его величина составляет 0,6319, а это означает, что 63,19% вариации уровня преступности несовершеннолетних объясняется подростковой безнадзорностью.

Коэффициент корреляции достаточно точно оценивает степень тесноты связи лишь в случае наличия линейной зависимости между признаками.

В случаях криволинейной зависимости между явлениями линейный коэффициент корреляции теряет смысл и для измерения тесноты связи применяют так называемое эмпирическое корреляционное отношение , предложенное К. Пирсоном. Расчет корреляционного отношения основан на использовании теоремы сложения дисперсий. Общая дисперсия результативного признака является суммой двух дисперсий: межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий.

Межгрупповая дисперсия отражает колеблемость результативного признака под воздействием учтенного признака – фактора, положенного в основу группировки.

,

где  - средние значения результативного признака в каждой группе;

 – общая средняя результативного признака для всей совокупности;

f – число единиц в каждой группе.

Средняя из внутригрупповых дисперсий  показывает колеблемость результативного признака под влиянием всех других неучтенных факторов (остаточная дисперсия).

,

где  – дисперсия результативного в соответствующей группе.

Общая дисперсия равна .

Отношение межгрупповой дисперсии к общей позволит оценить ту долю, которую составляет вариация под воздействием факторного признака (х) в общей вариации признака у.

Корень квадратный из этого отношения и называется корреляционным отношением .

.

Следовательно, корреляционное отношение показывает, какую часть всей вариации результативного признака составляет вариация, вызванная исследуемым признаком – фактором.

Величина корреляционного отношения может быть рассчитана и по следующей формуле:

.

Если отсутствует колеблемость в величине групповых средних, т.е. когда внутригрупповая дисперсия близка к нулю, то тогда практически вариация результативного признака обусловлена влиянием факторного признака. В этом случае величина корреляционного отношения близка к 1.

Вычислим корреляционное отношение по данным табл. 9.3.

Таблица 9.3

Средний срок лишения свободы в целом по совокупности осужденных составит:

Вычислим средний срок лишения свободы для рецидивистов:

Определим средний срок лишения свободы для осужденных за убийство впервые:

Величина общей дисперсии результативного показателя составит:

        

Вычислим межгрупповую дисперсию:

Следовательно, величина корреляционного отношения, по данным приводимого примера, будет равна:

Связь между сроком лишения свободы и рецидивом преступлений умеренная.

9.3. Корреляция рангов

Корреляция рангов применяется в тех случаях, когда стремятся дать оценку связи двух признаков приближенно, не прибегая к сложным расчетам, а также при невозможности выразить отдельные варианты признака каким – либо определенным числом, кроме балловой оценки. В основу этих «непараметрических» методов положен принцип нумерации значений статистического ряда. Балловая оценка не является такой точной, как количественная. Она в большинстве случаев приближенная.

Перед расчетом показателей тесноты связи оба ряда должны быть расположены в возрастающем или убывающем порядке (ранжированы) и определен ранг (номер) каждой единицы по тому и другому признаку.

Предварительное представление о наличии или отсутствии связи между признаками можно получить, сопоставив последовательность взаимного расположения рангов факторного и результативного признаков. Если с возрастанием величины рангов факторного признака обнаруживается тенденция к увеличению рангов результативного признака, то имеет место прямая связь. Если же при возрастании величины рангов факторного признака, ранги результативного признака имеют тенденцию к уменьшению – имеет место обратная связь.

Оценку тесноты связи в ранжированных рядах дает предложенный американским ученым К. Спирмэном коэффициент корреляции рангов. При прямой функциональной связи сумма квадратов разностей рангов обоих рядов равна нулю. При обратной функциональной связи сумма квадратов разностей рангов обоих рядов равна максимальной величине , где n – число рангов.

Если между изучаемыми рядами нет связи, то величина каждого ранга факторного признака может соответствовать величине любого из рангов результативного признака. В этом случае сумма квадратов разностей рангов может быть рассчитана по формуле:

 

Пользуясь изложенными положениями К. Спирмэн вывел формулу коэффициента корреляции рангов:

,

где d – разности между величинами рангов в сравниваемых рядах;

      n – число единиц.

Произведем расчет коэффициента корреляции рангов по данным табл. 9.4.

Таблица 9.4

Здесь в таблице 9.4 значения факторного признака х – потребление алкоголя на душу населения проранжируем от 1 до 10, поскольку они расположены в порядке возрастания. Затем проранжируем значения результативного признака, у – уровень осужденных за хулиганство также от меньшего к большему. Ранг 1 присваиваем наименьшему значению признака у(83), ранг 2 – следующему по величине значению признака (85), ранг 3 – значению признака 87 и т. д. Затем вычисляем разность рангов (d) и возводим ее в квадрат .

Вычисляем коэффициент корреляции рангов Спирмэна:

Английский статистик М. Кендэл предложил другую меру связи между переменными х и у. Коэффициент корреляции рангов Кендэла имеет следующую формулу:

,

где s – фактическая сумма баллов,

n – число рангов.

Величина s представляет собой разность двух составляющих: , где  – число рангов, превышающих номер ранга, записанного в их расчетах по результативному признаку; а  – число рангов, меньших  в последующих записях.

Например, покажем расчет коэффициента корреляции рангов Кендэла по данным предшествующего примера:

Таблица 9.5

Здесь в таблице 9.5 значения  подсчитываются последовательным суммированием количества рангов  превышающих номер ранга по каждой строке. Так, по первой строке (1 район) ранг  равен 2, ниже расположено рангов выше 2 –8 (3,6,8,7,5,4,9,10), по второй строке (2 район) ранг  равен 3, ниже расположено рангов выше 3-7 (6,8,7,5,4,9,10) и т. д. Значения  подсчитываются суммированием количества рангов меньших в последующих строках. Так, по первой строке (1 район) ранг  равен 2, подсчитываем количество рангов расположенных ниже, которые будут меньше 2. Их оказалось 1. По второй строке (2 район) ранг  равен 3, меньше трех тоже одно значение 1, по третьей строке (3 район) ранг  равен 1, меньше 1 нет рангов, тогда =0 и т. д.

Исходя из табл. 9.5 подсчитаем вначале: ,

а затем коэффициент Кендэла:

Коэффициент корреляции Кендэла, как правило, меньше коэффициента Спирмэна. При достаточно большом числе наблюдений между этими показателями выявляется примерно следующее соответствие:

.

В нашем примере коэффициент Спирмэна указывает на высокую связь между уровнем осужденных за хулиганство и душевым потреблением алкоголя. Коэффициент корреляции рангов Кендэла оценивает связь между этими показателями более осторожно.

Коэффициент корреляции рангов интерпретируется так же, как и коэффициент линейной корреляции и изменяется в тех же пределах:

При этом нужно отметить, что оценка тесноты связи при помощи корреляции рангов является менее точной, чем оценка с помощью коэффициента корреляции или коэффиционного отношения, но достоинством коэффициентов ранговой корреляции является простота расчета. Поэтому они могут быть применены для быстрой оценки взаимосвязи между признаками.

Что касается техники расчета, то проще вычисления коэффициента Спирмэна, преимуществом коэффициента Кендэла является возможность его использования в многофакторном анализе.

9.4. Определение тесноты связи между атрибутивными признаками

При исследовании степени тесноты связи между качественными признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативного признака составляется таблица «четырех полей» , частоты которой обозначаются соответственно а, в, с, d.

Рассмотрим связь между полом преступников и местом их проживания.

Таблица 9.6

Для установления наличия связи между признаками, вычислим удельные веса по результативному признаку: доля преступников, проживающих в городе среди мужчин составляет 64,9% (240:370)х100, а среди женщин 70% (42:60)х100%. Результаты расчетов подтверждают наличие связи.

Степень тесноты связи между признаками можно оценить с помощью коэффициентов контингенции или ассоциации.

Коэффициент контингенции вычисляется по формуле:

.

Подставив в формулу значения частот, получим:

Величина коэффициента говорит о наличии слабой обратной связи между анализируемыми признаками.

Коэффициент ассоциации равен:

,

Коэффициент ассоциации подтверждает наличие слабой обратной связи между полом и местом проживания преступников.

Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Сравнение этих коэффициентов исчисленных по одной и той же исходной информации, свидетельствует о том, что коэффициент контингенции дает более осторожную оценку степени тесноты связи.

В тех случаях, когда хотя бы один из четырех показателей в таблице «четырех полей» отсутствует, величина коэффициента ассоциации будет равна единице, что дает преувеличенную оценку степени тесноты связи между признаками и предпочтение следует отдать коэффициенту контингенции.

Коэффициенты ассоциации и контингенции могут принимать любые значения от –1 до 1. Когда коэффициент равен 0, связи между данными явлениями нет совершенно, когда равен -между явлениями существует функциональная связь. Словом величина коэффициента как показателя связи истолковывается так же, как и величина коэффициента корреляции.

9.5. Множественная корреляция

Все ранее изложенные показатели корреляции относились к измерению связи между двумя признаками. На практике же чаще всего приходится иметь дело со многими факторами, влияющими на изменение изучаемого показателя. В силу этого при статистическом исследовании сталкиваются с необходимостью заниматься в меньшей степени парной корреляцией, а в большей – множественной, т. е. такой по средством которой изучается зависимость результативного признака от ряда признаков - факторов.

Принципиальная сложность множественной корреляции – это отбор факторов на основе качественного анализа всей системы признаков, влияющих на изменение изучаемого показателя, например, уровня преступности. Из всей системы признаков исключаются, во первых, такие признаки, которые уже по многим соображениям малозначительны во вторых, такие, которые невозможно количественно измерить в силу отсутствия информации.

Затем выясняют насколько существенны отобранные признаки – факторы. В частности вычисляются парные и частные коэффициенты корреляции, коэффициенты эластичности.

Отобрав соответствующие значимые факторы, устанавливают конкретный вид уравнения связи, рассчитывают величину совокупного коэффициента корреляции.

Коэффициент множественной корреляции измеряет степень тесноты связи между результативным признаком и совокупностью факторных признаков. Применительно к влиянию на у двух факторов (х, z) этот коэффициент будет следующим:

,

где  ,     ,     .

Коэффициент множественной корреляции является всегда положительным числом. Он может принимать любое значение в пределах между 0 и 1. Чем ближе он к единице, тем теснее зависимость у от совокупного действия х и z.

При изучении зависимости явлений часто приобретает особое значение необходимость устранения влияния одного какого – либо фактора, чтобы можно было лучше выявить влияние другого фактора. Для этого применяется построение частных коэффициентов корреляции. Исчисляются эти показатели на основе парных коэффициентов корреляции.

Для случая зависимости у от двух признаков можно вычислить два коэффициента частной корреляции (r);

,

.

В первой формуле определяется степень тесноты связи между у и х при изоляции влияния фактора z. Во второй формуле определяется степень тесноты связи z и у при изоляции влияния фактора х.

Можно рассчитать взаимосвязь факторных признаков при устранении влияния результативного признака:

.

Коэффициенты частной корреляции могут принимать отрицательные значения и колебаться как и обычный линейный коэффициент корреляции в пределах от –1 до +1.

Множественная корреляция изучается и другими методами. В частности на основе построения многофакторных регрессионных моделей, которые используются как для сравнительного анализа, так и в прогнозировании.

Всегда следует проверять на сколько существенны коэффициенты множественной и парной корреляции, а также возможности экстраполяции при применении регрессионных моделей.

В целом методология множественной корреляции основывается на общих принципах парной корреляции. Однако в ней многие проблемы усложняются, значительно возрастает и сложность математического аппарата анализа. Сегодня широкое распространение получили пакеты прикладных программ по статистике для персональных компьютеров, ликвидировавшие трудоемкость расчетов. Однако сохранилось значение исследователя при формировании информационного массива и содержательной интерпретации полученных результатов.

Тема 10. Индексы

10.1. Сущность индексного метода анализа. Группировка индексов

В широком понимании слово «индекс» означает показатель, характеризующий изменение явления во времени или в пространстве. В этом случае индекс – это обычные относительные величины динамики, выполнения плана, планового задания и пространственного сравнения.

В узком понимании под индексами понимается аналитический прием, с помощью которого решаются две задачи:

1) измеряются общие результаты изменения какого-либо сложного явления по разнородной совокупности (элементы которого непосредственно несоизмеримы).

2) измеряется влияние отдельных факторов в динамике какого-либо сложного явления.

Индексы, как обобщающие статистические показатели, с одной стороны выступают итоговыми количественными характеристиками развития явлений, оценивающими достигнутые уровни развития, с другой – особыми приемами исследования общественных процессов. Индексный метод в статистике применяют для изучения причин, следствий, влияния отдельных факторов на общее изменение явления, для установления связей и взаимозависимостей, между признаками. Индексный метод заключается в абстрагировании от всех факторов кроме интересующего, поэтому при построении индекса одна величина принимается за переменную, а другая – за постоянную.

При этом исследование влияния отдельных факторов осуществляется в рамках взаимосвязи индексной системы признаков, в которой факторы (признаки) лишь последовательно принимаются то переменными, то постоянными.

Значение индексов заключается в том, что они дают не только относительную характеристику изучаемых показателей, но и абсолютные изменения исследуемых показателей, которые тоже можно рассматривать в их комплексе, во взаимосвязи.

Так, рассчитав индекс цен, можно определить не только относительное изменение цен в процентах, но и определить экономию (или дополнительные расходы) населения от изменения цен.

С точки зрения охвата элементов совокупности индексы разделяются на индивидуальные и сводные.

Индивидуальные индексы обозначаются i. Они характеризуют динамику отдельных элементов совокупности, например, изменение цен на отдельные виды мясной или молочной продукции. Это обычные относительные величины динамики, планового задания или выполнения плана.

Сводные индексы отражают изменение совокупности элементов явления. При их построении возникает проблема соизмеримости различных элементов. Сводные индексы часто называют общими индексами. Иногда выделяют понятие групповых индексов или субиндексов.

Групповые индексы характеризуют изменение группы элементов, а не всей их совокупности. Например, изменение цен в целом по молочным, или в целом по мясным продуктам – групповые индексы. Изменение цен на всю продовольственную продукцию – общий индекс. Но так как в построении групповых и сводных (общих) индексов нет принципиальных различий, в дальнейшем мы будем использовать термин "общие" индексы. Обозначаются они J.

В зависимости от содержания и характера индексируемой величины различают индексы количественных (объемных) показателей и индексы качественных показателей, т.е. показателей, которые вычисляются на единицу совокупности. Первые – индексы количества продукции (физического объема), индексы численности рабочих; вторые – индексы цен, себестоимости, производительности труда и т.д.

С точки зрения выбранной базы сопоставления различают динамические индексы (цепные и базисные), индексы планового задания, выполнения плана, территориальные индексы.

В зависимости от методологии расчета индексы подразделяются на агрегатные и средние из индивидуальных индексов.

Индексы средних качественных показателей могут быть рассчитаны как индексы переменного, постоянного состава и влияния структурных сдвигов.

10.2. Агрегатный индекс как основная форма экономического индекса

Агрегатная форма индексов – основная, она применяется более чем в 90%, всех случаев построения индексов.

Для того чтобы рассчитать общий агрегатный индекс, необходимо преодолеть несуммарность отдельных несоизмеримых элементов. Это достигается путем использования общего соизмерителя для отдельных единиц совокупности. Такие соизмерители в индексной теории называются весами.

Признаки, изменение которых определяют с помощью индексов, называются индексируемыми. Вес и индексируемый признак должны быть экономически увязаны. Так, например, при построении общего агрегатного индекса количества проданной продукции разного вида, чтобы иметь возможность их суммирования используют в качестве соизмерителя (веса) цену.

Следовательно, агрегатный индекс – это отношение суммы отчетных значений индексируемого признака, взвешенных по соответствующим значениям признака – веса, к сумме базисных значений индексируемого признака, взвешенных по тем же значениям признака – веса. Сравнительные величины агрегатных индексов поддаются логической интерпретации, поэтому агрегатная форма индексов является основной.

Индекс должен показать изменение только одного индексируемого признака, поэтому вес (соизмеритель) фиксируют и в числителе и в знаменателе на уровне одного и того же периода, т.е. влияние признака – веса исключается (элиминируется).

В соответствии с диалектическим законом перехода постепенных количественных изменений в качественные более подвижной из двух категорий "количество" и "качество" является первая. Поэтому при индексировании количественных признаков – вес (качественный признак) берут на уровне базисного периода. При индексировании качественных показателей – вес (количественный признак) берут на уровне отчетного периода.

    В индексах уровни базисного периода обозначаются через 0, а отчетный период – 1.

    Покажем построение агрегатных индексов на примере индексов цен, количества и товарооборота.

Введем буквенные обозначения: цена – , количество – , тогда товарооборот – . Подстрочный знак индекса говорит о том, изменение какого признака определяется.

    При построении индекса цен (качественного признака) вес берется на уровне отчетного периода.

.

При построении индекса количества (физического объема) в качестве соизмерителя (веса) берем цену на уровне базисного периода.

.

Индекс товарооборота показывает изменение и цен и количества продажи.

.

В этих индексах и  – показатели, имеющие реальное содержание, первый – товарооборот отчетного периода, второй – товарооборот базисного периода. Величина  – является условной, это товарооборот отчетного периода по ценам базисного периода.

Эти индексы выполняют аналитическую функцию, они отражают влияние какого-либо одного признака или двух признаков одновременно на динамику общего объема явления.

Аналитические индексы увязываются в систему, поскольку эта взаимосвязь обусловлена природой самих явлений.

Так, товарооборот – произведение цены на количество, поэтому и индекс товарооборота – произведение индекса цен на индекс количества (физического объема).

,

.

На основе любого агрегатного индекса можно найти и абсолютный прирост явления за счет изменения каждого фактора (признака) если из числителя соответствующего индекса вычесть его знаменатель.

Рассмотрим порядок вычисления индексов цен, физического объема и товарооборота на следующем примере. Имеются данные, необходимые для расчета индексов в табл. 10.1.

Таблица 10.1

Изменение цен и количества по товарам, проданным в магазине

Определим, как изменяется объем товарооборота магазина в отчетном периоде по сравнению с базисным:

; 114,7%.

Объем товарооборота увеличился на 14,7% (114,7-100) или на 4 690 тыс. руб. (36 530-31 840).

Это изменение обусловлено двумя причинами:

1) Динамикой цен:

; 106,7%.

2) Динамикой количества (физического объема) продукции:

; 107,6%.

Следовательно, за счет роста цен на 6,7% (106,7-100) общий объем товарооборота возрос на 2 280 тыс. р. (36 530-34 250), а за счет роста количества проданной продукции на 7,6% (107,6-100). Общий объем товарооборота увеличился на 2 410 тыс. р. (34 250-31 840).

Проверим взаимосвязь индексов и абсолютных приростов:

,

;

,

.

10.3. Построение агрегатных индексов для различных по составу совокупностей.

В практике построение агрегатных индексов количественных и качественных показателей иногда осложняется в связи с изменением состава изучаемой совокупности. Это связано с тем, что развитие технического прогресса приводит к появлению новых изделий и снятию с производства старых. Естественно, что изменяется и структура реализации продукции.

В этом случае общие принципы построения агрегатных индексов, правила выбора периода весов сохраняются, но вносятся и определенные коррективы, которые заключаются в различиях круга охватываемых элементов разнородной по составу совокупности.

Индексы качественных показателей рассчитываются лишь по сопоставимому кругу элементов. Так, индекс цен вычисляется по сопоставимым (сравнимым) изделиям. К сравнимым изделиям относятся те, что производились как в отчетном, так и в базисном периодах.

Индексы количественных показателей строят ко всему кругу элементов (изделий), чтобы учесть динамику всего физического объема. При этом новые виды продукции приходится взвешивать по весам, взятым на уровне отчетного периода (т.е. по ценам первого года массового выпуска изделий).

Покажем такой вариант расчета агрегатных индексов по условным данным табл. 10.2.

Таблица 10.2

Определим общий индекс цен, включая в расчет только сопоставимый круг изделий (А и В):

, 92,3%.

Цены в среднем по двум видам продукции снизились на 7,7% (92,3-100).

При построении индекса физического объема в расчет включаем все изделия как сравнимые, так и несравнимые, но изделие Б и изделие В будем взвешивать по ценам отчетного периода, т.к. базисные отсутствуют.

,

где  – сравнимый круг изделий;

     – несравнимый круг изделий.

; 142,3%.

Количество произведенной продукции возросло на 42, 3% (142,3-100).

Данные индексы нельзя увязать в систему, т.к. последняя строится лишь по сопоставимому кругу элементов.

10.4. Средние индексы как преобразованная форма агрегатных индексов

Общие агрегатные индексы можно вычислить в том случае, когда имеется информация о количественном и качественном показателях в базисном и отчетном периодах.

Агрегатный индекс можно преобразовать в два вида средних индексов: средний гармонический и средний арифметический. Преобразование осуществляется с помощью индивидуальных индексов там, где содержится не реальная, а условная величина. Преобразованной формой индексов качественных показателей является средний гармонический индекс, а преобразованной формой агрегатного индекса количественного показателя – средний взвешенный арифметический индекс.

Покажем это преобразование на примере индексов цен и физического объема

                      

                     

Исходя из преобразований видно, что любой средний индекс из индивидуальных тождественен агрегатному.

Применение той или иной формулы индекса зависит от исходных данных. Покажем использование конкретных формул на основе различной информации табл. 10.3 и 10.4.

Таблица 10.3

Данные о товарообороте и динамике цен

Определим общий индекс цен.

В исходной информации известен числитель агрегатного индекса – товарооборот отчетного периода. Для вычисления знаменателя индекса исходной информации  нет. Но в графе 3 табл. 10.3 содержатся сведения для нахождения индивидуальных индексов цен.

;

;

.

Поэтому применяем формулу среднего гармонического индекса цен.

; 103,4%

В среднем цены возросли на 3,4% (103,4-100) за счет чего товарооборот увеличился на 1,3 млн р. (39-37,7).

Таблица 10.4

Данные о товарообороте и динамике количества продажи

Определить индекс физического объема.

Для расчета этого индекса известен (гр.2 табл. 10.4) товарооборот базисного периода –  Данные для расчета числителя индекса отсутствуют. На основе гр.3 определяем индивидуальные индексы количества.

;

Тогда вычисляем общий индекс физического объема по формуле среднего взвешенного арифметического индекса.

; 101,8%.

Общий объем реализации увеличился на 1,8% (101,8-100), что привело к росту товарооборота на 0,6 млн р. (33,1-32,5).

10.5. Система индексов средних качественных показателей

Динамика среднего качественного показателя (средней цены, средней себестоимости, средней заработной платы и т.д.), находится под влиянием двух факторов: изменения качественных показателей (признаков) у каждой единицы совокупности и структурных сдвигов в составе совокупности. Например, изменение средней заработной платы водителей автотранспортного предприятия зависит от динамики заработной платы водителей каждого класса и от структурных сдвигов в составе водителей. Рост удельного веса водителей I класса, у которых уровень зарплаты выше, ведет к росту средней зарплаты на предприятии.

Динамику среднего качественного показателя и факторы этой динамики статистика изучает с помощью системы трех индексов: индекса переменного состава, постоянного (фиксированного) состава и индекса влияния структурных сдвигов.

Индекс переменного состава – это показатель динамики средней величины, он находится под влиянием двух названных факторов одновременно.

Индекс постоянного состава характеризует изменение среднего качественного показателя вследствие влияния только первого фактора – динамики качественного показателя у каждой единицы совокупности.

Индекс влияния структурных сдвигов показывает изменение среднего качественного показателя в результате структурных сдвигов в составе изучаемой совокупности.

Заметим, что при построении этих индексов применяется то же правило выбора периода весов, что и в агрегатных индексах.

Абсолютное изменение определяется как разность средних уровней качественных показателей.

Эти индексы взаимосвязаны:

Пусть имеются данные о себестоимости (С) и выпуске изделия "А" по двум предприятиям акционерного общества, которые приведены в табл. 10.5.

Таблица 10.5

Индекс средней себестоимости переменного состава:

Средняя себестоимость единицы продукции изделия "А" по акционерному обществу снизилась на 7,3% (92,7-100) или на 1,64 тыс. р.

Изменение средней себестоимости было обусловлено влиянием двух факторов.

1. Динамикой себестоимости единицы продукции на каждом предприятии, а именно снижением себестоимости на предприятии 1 с 20 до 18 тыс. р., на предприятии 2 с 25 до 24,5 тыс. р.

Следовательно, влияние данного фактора привело к снижению себестоимости единицы продукции на 6% (94-100) или на 1,34 тыс. р.

2. Структурными сдвигами в составе выпуска продукции

Структурные сдвиги в составе выпуска продукции привели к снижению средней себестоимости по акционерному обществу на 1,3% (98,7-100) или на 0,3 тыс. р.

Структурные сдвиги в выпуске продукции выразились в изменении удельного веса выпуска продукции каждого предприятия. Возросла доля выпуска продукции предприятия № 1 с 50 до 56%, где более низкий уровень себестоимости, что и привело к снижению средней себестоимости по АО.

Проверим правильность расчетов на основе взаимосвязи индексов и абсолютных приростов.

.

.

Систему этих индексов можно вычислить и по формулам с использованием показателей доли выпуска продукции по предприятиям.

10.6. Цепные и базисные индексы

Индексы, как и относительные величины динамики, могут быть цепными и базисными. Индивидуальные базисные и цепные индексы, тождественные базисным и цепным коэффициентам роста и существующим между ними взаимосвязям  изложены в теме «Ряды динамики».

Цепные и базисные индексы можно вычислить и для общих агрегатных индексов. При этом индексы количественных показателей строятся на основе применения постоянных базисных весов.

Очевидно, что для этих индексов применима та же  взаимосвязь, которая существует для индивидуальных индексов:

1) произведение цепных индексов равно последнему базисному индексу;

2) если последующий базисный индекс разделить на предшествующий базисный индекс, то получится соответствующий цепной индекс.

Цепные и базисные общие агрегатные индексы качественных показателей строятся на основе применения переменных отчетных весов.

В индексах с переменными весами ранее изложенной взаимосвязи не наблюдается.

Когда в практике возникает необходимость расчета базисного индекса цен за длительный период времени, то цепные индексы с переменными весами все же перемножают, зная, что результат этого перемножения будет содержать ошибку. Эту ошибку можно вычислить по формуле:

,

т.е. ошибка определяется по формуле произведением коэффициента корреляции между индивидуальными индексами цен и количества товаров на коэффициенты вариации индивидуальных индексов цен и количества.

Поскольку эта ошибка не велика, обычно в практике ею пренебрегают.

10.7. Индексы в зарубежной статистике и аспекты их применения в отечественной практике

Приведенные схемы построения индексов отражают практику отечественной статистики. Во многих странах индексы цен и физического объема также исчисляются аналогичным образом. Вместе с тем в международной статистике для расчетов индексов применяются другие формулы индексов: система индексов Ласпейреса, система индексов Пааше, система индексов Фишера и др. В табл. 10.6 приведены варианты формул расчета агрегатных индексов цен и физического объема наиболее часто используемых в отечественной и зарубежной статистике.

Таблица 10.6

Как видно из табл. 10.6 индексы Ласпейреса строятся по базисным весам, индексы Пааше – по отчетным весам.

Индексы цен и физического объема Пааше в систему не увязываются. Аналогично и произведение индексов цен и физического объема по Ласпейресу не дает общего индекса товарооборота.

Сопоставив варианты приведенных в таблице индексов, можно видеть, что равенство индекса товарооборота произведению агрегатных индексов цен и физического объема продукции соблюдается в двух вариантах сочетания этих индексов:

1) индекса физического объема Ласпейреса и индекса цен Пааше:

.

2) индекса физического объема Пааше и индекса цен Ласпейреса:

.

Основываясь на этих двух вариантах построения индексов Фишер предложил рассчитать среднюю геометрическую из двух агрегатных индексов, назвав его "идеальным".

В практике отечественной статистики учитывается при построении индексов экономическое содержание решаемых с их помощью задач. Так, в числителе индекса цен Пааше записан фактический товарооборот отчетного периода, который сравнивается с фактическим товарооборотом по базисным ценам, т.е. в случае роста цен речь идет о дополнительной выручке от реализации продукции, обусловленной увеличением цен. Именно это обстоятельство и обусловливает выбор варианта агрегатного индекса цен Пааше для анализа динамики цен в отечественной статистике. Индекс Пааше используется в большинстве стран при расчете индекса – дефлятора для макроэкономического анализа процессов в экономике. Индекс – дефлятор оценивает степень инфляции по всей совокупности благ, производимых и потребляемых в государстве, т.е. с учетом инвестиций, экспорта и импорта товаров и услуг. Поскольку расчет этого индекса должен быть максимально приближен к совокупности товаров, произведенных в отчетном периоде, предпочтение и отдают формуле индекса цен Пааше.

При анализе динамики физического объема товарооборота ориентируются на формулу индекса Ласпейреса, т.к. в этом случае обычно не ограничиваются исчислением отдельных, изолированных индексов, характеризующих изменение показателя (количества реализации) за какой-то один период времени. Исчисляют, как правило, не один индекс, а несколько индексов за последовательные периоды времени. При таком исчислении обычно применяют во всех индексах в качестве соизмерителей цены одного и того же периода. В условиях стабильной экономики применяются неизменные (сопоставимые) цены, которые действуют длительные периоды времени. В настоящее время в странах СНГ при расчетах динамики национального продукта, валового внутреннего продукта в качестве неизменных цен используются цены предыдущего периода.

В тех случаях, когда ведется мониторинг за изменением физических объемов продукции, предпочтение может быть отдано индексу Ласпейреса, потому что применение агрегатного индекса Пааше должно учитывать как изменение физического объема, так и цен. Поэтому использование агрегатного индекса по формуле Ласпейреса, опирающегося на неизменную структуру потребления, получило наибольшее распространение в мировой практике, особенно при изучении динамики потребительских цен.

10.8. Территориальные индексы

Территориальные индексы – это разновидность относительных величин пространственного сравнения (наглядности), когда сопоставляются сложные показатели, относящиеся к одному и тому же периоду времени, но к разным территориям (городам, районам, регионам). На основе территориальных индексов выполняются международные сопоставления.

Построение территориальных индексов цен и физического объема товарооборота рассмотрим на примере для двух сравниваемых городов "А" и "Б".

Индексы физического объема продукции вычисляются по формуле:

  или  ,

где  – количество проданной продукции каждого вида в городе "А";

     – количество проданной продукции каждого вида в городе "Б";

     – средняя цена продукции каждого вида.

Средняя цена продукции каждого вида вычисляется делением стоимости продукции данного вида по городу А и Б на количество продукции по двум городам вместе.

.

При построении территориальных индексов цен возможны три варианта расчета.

Первый основывается на количестве реализованной продукции той территории, которая сопоставляется с ценами другой территории.

  или 

Второй вариант заключается в том, что в качестве веса берется суммарный итог реализации по двум сравниваемым территориям.

  или  .

И, наконец, третий вариант заключается в том, что берется в виде веса количество реализованной продукции той территории, с которой производится сравнение.

  или  .

В практике прежде всего предпочтение отдается первому варианту построения территориального индекса цен, хотя для исключения фактора структуры продажи целесообразнее применять второй вариант расчета.

10.9. Индексный анализ многофакторных моделей

Сложные экономические показатели иногда можно представить как произведение не двух, а более факторов. Так объем продукции за месяц можно разложить на четыре факторных показателя.

В таком случае динамику явления и факторы, влияющие на его изменение, изучают методом цепного индексирования.

Предварительно, многофакторная модель показателя записывается в определенной строгой последовательности таким образом, чтобы последовательное произведение факторов давало реальную величину какого-либо экономического показателя.

Покажем на примере:

Произведение двух смежных факторов также всегда имеет экономическое содержание. Сложную многофакторную модель всегда можно преобразовать в модель, имеющую меньшее число факторов.

Измерять влияние каждого из факторов в общей их системе (цепи) начинают с последнего.

Суть цепного индексирования состоит в том, что последовательно измеряется влияние каждого фактора при постоянстве остальных.

Факторы, влияние которых не измеряли, берутся на уровне базисного периода.

Факторы, влияние которых уже было измерено, берутся на уровне отчетного периода.

В общем виде схема этой взаимосвязи выглядит следующим образом.

.

Используются и другие методологические подходы к построению цепных индексов, но всегда они должны быть увязаны в систему:

.

Пример. Известны следующие данные о работе предприятия за два месяца:

Таблица 10.7

Объем продукции составил:

в базисном месяце

 тыс. р.

в отчетном месяце

 тыс. р.

Тогда индекс объема продукции составит:

 112,3%.

Объем продукции возрос в результате совместного влияния всех факторов на 12,3% (112,3-100), или на 3403,92 тыс. р. (31050-27646,08).

Данное изменение объема продукции было обусловлено:

1. Сокращением среднесписочной численности рабочих на 2% (98-100):

 98%.

В абсолютном выражении влияние этого фактора измеряется следующим образом:

2. Увеличение фактической продолжительности рабочего месяца: на 4,5% (104,5-100).

 104,5%.

абсолютный прирост:

3. Сокращением продолжительности рабочего дня на 2,6% (97,4-100).

 97,4%.

в абсолютном выражении снижение составляет:

4. Ростом средней часовой выработки продукции на 1 рабочего на 12,5% (112,5-100).

 112,5%

абсолютный прирост за счет этого фактора составляет:

"21 Инструментальные стали" - тут тоже много полезного для Вас.

Совместное влияние факторов составило:

1. В абсолютном выражении

 

2. В относительном выражении

.