Эластичность и ее свойства
Лекция 4. Эластичность и ее свойства.
Эластичности элементарных функций
Изучение различных экономических вопросов, таких, как определение динамики спроса населения на данный товар при изменении его цены или при изменении доходов населения, исследование диапазона взаимозаменяемости ресурсов производства, определение эффективности тех или иных затрат, прогнозирование изменения прибыли предприятия или фирмы под воздействием различных факторов и решение многих других проблем, приводит к необходимости выяснения на сколько процентов изменится одна величина, если другая увеличилась на 1%.
Характеристика, дающая ответ на поставленный вопрос, называется эластичностью соответствующей функции.
Приступим к построению этого показателя. Пусть аргумент 
функции 
получил приращение 
. Тогда значение функции изменится на величину
.
Приращения 
называют абсолютными приращениями аргумента и функции соответственно. Составим относительные приращения переменных 
и выразим их в процентах.
Величина 
указывает, на сколько процентов изменилось значение аргумента, а 
дает соответствующее изменение значения функции.
Отношение 
показывает, на сколько процентов в среднем меняется (увеличивается или уменьшается) значение функции, когда значение аргумента возрастает на 1% (увеличивается от до 
).
Рекомендуемые материалы
Это отношение будет характеризовать поведение функции 
в данной точке тем точнее, чем меньше . Пусть неограниченно убывает. Вычислим предел указанного отношения при условии 
.
(3)
Отношение 
не зависит от изменения . Оно играет роль постоянной и может быть вынесено за знак предела.
Определение. Предел отношения относительного приращения функции 
к соответствующему относительному приращению аргумента 
при условии, что абсолютное приращение аргумента стремится к нулю, называется эластичностью функции по переменной и обозначается символом
(4)
Если функция дифференцируема в точке , то
и формула (4) принимает вид
или
(5)
Из (3) следует, что эластичность 
показывает, на сколько процентов изменится значение функции при увеличении независимой переменной на 1% (с до ).
Формулу (5) можно переписать в виде
Это означает, что для функции выпуска эластичность равна отношению предельной производительности ресурса к его средней производительности.
Пример 17. 
Эластичность данной функции вычисляется по формуле
При 
показатель эластичности равен 0.6. Это означает, что при увеличении с 2 до 2.02 значение функции возрастает примерно на 0.6%. Если 
, то 
. Следовательно, увеличение с 0 до 0.01 практически не меняет значения функции.
Пример 18. 
.
Здесь 
При 
показатель эластичности равен нулю. При увеличении с 1 до 1.01 значении функции практически не меняется. Если , то 
. Увеличение значения с 2 до 2.02 приводит к уменьшению значения функции на 4 %.
Свойства эластичности
1. Эластичность – безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины у и х. 
.
.
2. Эластичности взаимно обратных функций – взаимно обратные величины:
.
Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса 
3. Эластичность произведения двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей:
4. Эластичность частного двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей
5. Эластичность суммы двух функций u(x) и v(x) может быть найдена по формуле:
Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса
3. Эластичность произведения двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей:
4. Эластичность частного двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей
5. Эластичность суммы двух функций u(x) и v(x) может быть найдена по формуле:
Эластичности элементарных функций
1. Эластичность степенной функции у=хa постоянна и равна показателю степени a: Ех(хa) = a.
2. Эластичность показательной функции у=ах пропорциональна х:
3. Эластичность линейной функции 
Если график линейной функции имеет отрицательный наклон (а<0), то эластичность функции меняется от нуля к точке ym пересечения графиком оси у до минус бесконечности (-¥) в точке пересечения оси х, проходя через значение (-1) в средней точке.
Таким образом, хотя прямая имеет постоянный наклон, её эластичность зависит не только от наклона, но и от того, в какой точке х мы её находим (рис.10). Функция с бесконечной эластичностью во всех точках называется совершенно эластичной, с нулевой эластичностью во всех точках – совершенно неэластичной.
 |
Задания для самостоятельной работы
1. Используя свойства эластичности, найдите 
, если:
а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
, д) 
, е) 
.
Лекция 5. Виды эластичностей в экономике
Рассмотрим основные виды эластичностей.
1.Эластичность спроса по цене (прямая)
показывающая относительное изменение (выраженное в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении цены этого блага на один процент и характеризующая чувствительность потребителей к изменению цен на продукцию. Если ценовая эластичность спроса по абсолютной
 |
величине больше единицы, то спрос называют эластичным (совершенно эластичным при бесконечно большой величине эластичного спроса). Если ценовая эластичность спроса по абсолютной величине меньше единицы, то спрос называют неэластичным (совершенно неэластичным при нулевой эластичности спроса).
И, наконец, если ценовая эластичность спроса по абсолютной величине равна единице, то говорят о спросе с единичной эластичностью.
2.Эластичность спроса по доходу
характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении дохода потребителей этого блага на один процент. Положительная эластичность спроса по доходу характеризует нормальные (качественные) товары, а отрицательная величина – малоценные (некачественные) товары
Так, высокий положительный коэффициент спроса по доходу в отрасли указывает, что её вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет шансы на расширение и процветание в будущем. Наоборот, если коэффициент эластичности спроса на продукцию отрасли по доходу имеет небольшое положительное или отрицательное значение, то её может ожидать застой и перспектива сокращения производства.
3. Перекрестная эластичность спроса по цене
характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на одно благо при изменении цены на другое благо (замещающее или дополняющее его в потреблении) на один процент. Положительный знак перекрестной эластичности спроса по цене свидетельствует о замещаемости благ, а отрицательный – о дополняемости.
4.Ценовая эластичность ресурсов
характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какой-нибудь ресурс (например, труд) при изменении цены этого ресурса (соответственно, заработной платы) на один процент.
5.Эластичность замещения одного ресурса другим
характеризующая необходимое изменение (в процентах) величины одного ресурса (например, капитала) при изменении количества другого ресурса (например, труда) на один процент с тем, чтобы выпуск при этом не изменился.
Рассмотрим подробнее эластичность спроса относительно цены. Изучается зависимость спроса 
на товар от цены 
на него.
Предположим, что цены на аналогичные товары, доходы потребителей и структура их потребностей – постоянные величины. Тогда зависимость спроса от цены можно описать с помощью функции
.
Во многих экономических исследованиях необходимо установить не величину спроса при каждом конкретном уровне цены, а характер изменения спроса при определенном изменении цены. В этом случае находят эластичность спроса относительно цены. В наших обозначениях
Эластичность спроса относительно цены определяет, на сколько процентов изменится спрос на товар, если цена на него увеличится на 1%. Так как в большинстве случаев спрос является убывающей функцией цены и
,
то, чтобы избежать отрицательных чисел, в этих случаях при изучении эластичности принимают
Знак «-» показывает, что спрос уменьшается при увеличении цены.
Пример 19. Если функция спроса линейная:
,
то
При 
имеем 
. Это означает, что увеличении цены на 1% спрос падает на 
%. При 
, показатель эластичности равен 1. Увеличение цены с 5 до 0.05 приводит к уменьшению спроса на 1%. При 
спрос уменьшается на 9%.
Пример 20. Для 
(
- постоянная, 
) показатель эластичности равен 1 при любом уровне цены.
Действительно,
.
Если спрос обратно пропорционален цене, то при любой цене увеличение ее на 1% влечет за собой уменьшение спроса также на 1 %.
Определение. Говорят, что спрос эластичен, если повышению цены на 1% соответствует снижение спроса более чем на 1%, т.е. 
; спрос нейтрален, если 
; спрос неэластичен, если 
.
В примере 19 спрос нейтрален при ; при - неэластичен и для - эластичен. Для функции спрос нейтрален при любой цене.
Другими словами, спрос на товар эластичен, если небольшое изменение цены товара вызывает значительные изменения величины спроса на него. В обратной ситуации, когда изменение цены ведет к сравнительно небольшому изменению величины спроса, последний является неэластичным. Примерами товаров с эластичным спросом могут служить, например, яблоки, помидоры, персики и т.п. При росте цен на них покупательский спрос может переключиться на другие виды овощей и фруктов. При определенном уровне цен покупатели могут полностью отказаться, например, от употребления фруктов или заменить их соками и другими консервами. В то же время спрос на товары первой необходимости (лекарства, обувь, электричество, газ, телефон), на вещи, цена которых малоощутима для семейного бюджета (карандаш, зубная паста, крем для обуви) и труднозаменяемые товары (электрические лампочки, хлеб, бензин) является неэластичным.
Исследуем динамику выручки при различных видах спроса.
Общие расходы населения на данный товар (выручка от его продажи) при цене 
составляют
.
Предельная выручка равна
,
или
.
а) Если спрос эластичен, т.е. 
, то
и с повышением цены выручка от продажи снижается.
б) При нейтральном спросе (
)
,
и выручка практически не зависит от цены.
В этом случае 
(- постоянная) и
.
Следовательно, в случае нейтрального взноса его размер пропорционален цене (см. пример 20).
в) При неэластичном спросе (
) выручка увеличивается с ростом цены, так как в этом случае 
.
Из сказанного видно, что знание эластичности спроса на данный товар позволяет прогнозировать направление изменения суммы выручки под влиянием роста или снижения цены. Очевидно, каждой фирме выгодно, чтобы спрос на ее продукцию был как можно более эластичным, ибо в такой ситуации существует возможность назначать сравнительно высокие цены.
Значит, фирма должна прилагать все усилия к поддержанию спроса на ее товар на достаточно высоком уровне. Достижению этой цели способствуют хорошее качество продукции, четко организованное обслуживание потребителей, высокое качество рекламы
Пример 21. Известно, что эластичность спроса на товар составляет 0.4. Определим, как изменится доход от реализации товара, если цену на него увеличить на 5%.
При эластичности 
увеличение цены на 1% вызывает уменьшение спроса на 0.4%. Увеличение цены на 5% способствует уменьшению спроса на 
. Цена выросла на 5% и стала равной 1.05, где - старая цена. Если 
- спрос, соответствующий цене , то 0.98- величина спроса при цене 1.05.
Выручка от реализации товара по цене составляла 
денежных единиц. После увеличения цены выручка возросла приблизительно на 3%. При неэластичном спросе (0.4<1) увеличение цены приводит к возрастанию выручки.
Эластичность предложения определяется аналогично эластичности спроса:
(6)
Для дифференцируемой функции 
формула (5) принимает вид
(7)
или
. (8)
В отличии от формулы (5), выражающей эластичность спроса, в (7) и (8) отсутствует знак «-». Это связано с тем, что с ростом рыночной цены на товар предложение этого товара обычно растет. Каждому предпринимателю выгодно реализовать свою продукцию по более высокой цене. Поэтому - возрастающая функция и 
.
Равенство (8) означает, что эластичность предложения равна отношению предельного предложения к среднему.
Предложение также может быть эластичным и неэластичным.
Определение. Предложение называется эластичным, если 
, неэластичным, если 
, и нейтральным, если 
.
Например, фирма решила пригласить на работу дополнительное количество разнорабочих и квалифицированных наладчиков для скорейшего ввода в строй новой автоматической линии. Чтобы увеличить предложение услуг, руководство фирмы объявило об увеличении заработной платы на 1000 рублей в месяц. Если в городе много безработных, студентов, малооплачиваемых трудящихся, то такая надбавка к семейному бюджету может оказаться для них существенной, и предложение услуг в качестве разнорабочего будет эластичным по цене. Однако едва ли много квалифицированных, а следовательно и высокооплачиваемых наладчиков согласиться сменить место работы из-за такой прибавки к зарплате. Транспортные расходы, моральный ущерб, необходимость хотя бы частичной переквалификации для работы с новым для них оборудованием не окупятся дополнительной суммой в 1000 рублей. Здесь предложение услуг едва ли окажется эластичным по цене.
Пример 22. Пусть зависимость предложения 
от цены описывается формулой
.
а) 
, т.е. - возрастающая функция цены.
б) 
- функция вогнутая, темп изменения предложения постоянный.
в) 
Предложение эластично по цене.
Зависимость между спросом на товар и его ценой (а значит, и вид соответствующей кривой) в значительной степени определятся полезностью товара. На вид функции предложения в первую очередь оказывают влияние издержки производства.
Определение. Цена, при которой величина спроса равняется величине предложения, называется равновесной (или ценой равновесия).
В точке М величина спроса равна величине предложения, - цена равновесия (рис.1).
Пример 23. 
- функция спроса, 
- функция предложения. Из уравнения 
найдем цену равновесия
,
отсюда
или
и 
.
Следовательно, цена равновесия .
Задания для самостоятельной работы
1. Спрос и предложение изменяются по следующим законам:
2. Найдите цену, при которой спрос совпадает с предложением (цену равновесия). Рассчитайте эластичность спроса при этой цене. Постройте графики спроса и предложения.
3. Формула
выражает зависимость спроса от цены. Определите, при каких значениях спрос эластичен, нейтрален, неэластичен. Как зависит выручка от изменения цены? Сопоставьте с критериями эластичности.
4. Функция спроса имеет вид 
. Постройте график функции. Определите при каких значениях спрос эластичен, нейтрален, неэластичен.
5. Определите, на сколько процентов приблизительно изменится выручка от реализации товара. Если эластичность спроса равна 
, а цена на товар увеличена на 
%:
а) 
%;
б) 
%;
в) 
%.
Лекция 6. Многофакторные производственные функции, эластичности
Определение. Функция 
независимых переменных, устанавливающая зависимость между затратами производственных ресурсов и объемом выпускаемой продукции, называется -факторной производственной функцией – ПФ (функцией выпуска)
. (9)
Если (9) выражает зависимость объема выпускаемой данным предприятием продукции от затрат ресурсов 
, запасы которых ограничены, то, очевидно, допустимыми можно считать значения 
, удовлетворяющие следующей системе неравенств:
где 
– запасы i-го ресурса (в стоимостном или натуральном выражении).
Не нарушая общности рассуждений, в дальнейшем будем рассматривать лишь функции двух независимых переменных.
При моделировании экономики страны в качестве основных ресурсов используют затраты труда L и объём производственных фондов К. Национальный доход Y выступает в роли результата деятельности экономики:
Y=F(K,L).
В математических моделях функционирования отдельного предприятия, цеха, участка и т.д. Y обозначает объем выпускаемой данным экономическим объектом продукции.
Формальные свойства производственных функций
Производственная функция f(x1, x2) определена при х1≥0, х2≥0. ПФ должна удовлетворять ряду (для каждой конкретной ПФ – своему) свойств:
1. 
;
;
2. 
;
3. 
;
;
4. 
.
Свойство 1 означает, что без ресурсов нет выпуска, что при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска.
Свойство 2 означает, что с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет, и что с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет.
Свойство 3 означает что с ростом затрат одного (i-го) ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает. Если выполнены условия 3, то график Г ПФ есть поверхность, расположенная в неотрицательном ортанте 
трехмерного пространства Ох1х2у и выпуклая вверх. Вообще геометрический образ ПФ должен прежде всего ассоциироваться с выпуклой горкой, крутизна которой убывает, если точка (х1, х2) уходит в плоскости Ох1х2 на «северо-восток».
Свойство 4 означает, что ПФ является однородной функцией (ОФ) степени p>0. При p>1 с ростом масштаба производства в t раз (число t>1), т.е. с переходом от вектора х к вектору tx, объем выпуска возрастает в tp (>t) раз, т.е. имеет рост эффективности производства от роста масштаба производства. При p<1 имеем падание эффективности производства от роста масштаба производства. При p=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба (или имеем независимость удельного выпуска от масштаба производства – в английской терминологии constant returns to scale).
Для ПФКД 
свойства 1-4 выполняются.
Для ЛПФ 
свойства 1 (при 
) и свойство 4 не выполняются.
Множество (линия) lq уровня 
(0<q – действительное число) ПФ 
называется изоквантой ПФ. Иными словами, линия уровня q – это множество точек, в котором ПФ постоянна и равна q.
Различные наборы 
и 
затрачиваемых (используемых) ресурсов, принадлежащие одной и той же изокванте lq (т.е. 
), дают один и тот же объем выпуска q. Изокванта есть линия, расположенная в неотрицательном ортанте 
двумерной плоскости Ох1х2.
Функция Кобба-Дугласа, функция с постоянными пропорциями
Функция Кобба-Дугласа имеет вид:
.
При 
результат функционирования экономического объекта
.
К такому же выводу приходим и при 
, т.е. оба ресурса абсолютно необходимы.
Если K и L увеличить в λ раз, то в такое же количество раз возрастает и Y.
Действительно,
.
Эта функция находит широкое применение в моделях долгосрочного прогнозирования.
Функцию с постоянными пропорциями
выбирают тогда, когда один из ресурсов производства резко дефицитен, а второй избыточен.
Убедимся в том, что в этой функции реализуются предположения о свойствах производственных функций.
1. Если или ,
и
.
2. Предположим, что 
и 
. Тогда
и
.
К такому же результату придем, если 
. В процессе производства, описываемом функцией вида (9), следует использовать ресурсы в постоянной пропорции (16). Уровень выпуска возрастает в λ раз лишь при одновременном увеличении затрат обоих ресурсов в такое же число раз. Отношение 
задает рациональную пропорцию между K и L.
Предельные (маржинальные) и средние значения
производственной функции
Пусть 
– ПФ. Дробь
называется средней производительностью i-го ресурса (фактора производства) (СПФ) или средним выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символика: 
.
Напомним, что в случае двухфакторной ПФКД 
для средних производительностей 
и 
основного капитала и труда были использованы соответственно термины капиталоотдача и производительность труда. Эти термины используют и применительно к любым двухфакторным ПФ, у которых 
и 
.
Пусть – ПФ. Ее первая частная производная
называется предельной (маржинальной) производительностью i-го ресурса (фактора производства) (ППФ) или предельным выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символика: 
.
Обозначим символами 
и 
;
соответственно, приращение переменной 
и соответствующее ей частное приращение ПФ f(x). При малых имеем приближенное равенство
.
Следовательно, ППФ (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска у, если объем затрат i-го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса. Здесь предельную величину 
(т.е. ППФ) целесообразно интерпретировать, используя близкое к ней отношение малых конечных величин, т.е. 
и . Отмеченное обстоятельство является ключевым для понимания экономического смысла ППФ. С другими предельными величинами следует поступать аналогичным образом.
Пример 24. 1). Для ПФКД 
найти в явном виде 
, 
, 
и 
.
Решение задачи. Имеем:
; 
;
; 
;
; 
.
Для ПФ 
(не только для ПФКД) неравенства
,
(т.е. предельная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса) обычно выполняются.
2). Для ЛПФ 
найти в явном виде А1, А2, М1 и М2.
Решение задачи. Имеем:
; 
,
, 
,
; 
.
Пусть – ПФ, 
. Отношение предельной производительности 
i-го ресурса к его средней производительности 
называется (частной) эластичностью выпуска по i-му ресурсу (по фактору производства) (ЭФМ). Символика:
.
Сумма 
называется эластичностью производства.
Поскольку при малом приращении имеем приближенное равенство
(крайнее правое выражение есть отношение двух относительных величин 
и 
), поскольку 
(приближенно) показывает, на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса. Пояснение выражения , содержащего предельную величину , с помощью выражения, содержащего конечное приближение 
этой предельной величины, является ключевым в понимании экономической сути частной эластичности выпуска по i-му ресурсу.
Пример 25. 1). Выписать в явном виде для ПФКД выражения для Е1, Е2 и Ех.
Решение задачи. Имеем:
, 
,
.
2). Для ЛПФ 
выписать в явном виде выражения для Е1, Е2 и Ех.
Решение задачи. Имеем:
; 
;
.
Пусть – ПФ, . Предельной нормой замены (замещения) i-го ресурса (фактора производства) j-м (аббревиатура: ПНЗФ и символика: Rij) называется выражение
(10)
при постоянной у.
Обратим внимание на то, что i – номер заменяемого ресурса, j – номер замещающего ресурса. Используется также термин: предельная технологическая норма замены (замещения) i-ого ресурса (фактора производства) j-м ресурсом (фактором производства). Приведем более краткий (но не менее точный) термин: (предельная) норма замены (замещения) ресурсов.
Пусть выпуск у является постоянным (т.е. все наборы затрачиваемых ресурсов расположены на одной изокванте), тогда первый полный дифференциал dy ПФ тождественно равен нулю:
(здесь dx1, dx2 – дифференциалы переменных x1, x2), откуда, выражая первый дифференциал dxj, получим (
):
, (11)
откуда, поделив на dxi, получим
. (12)
На основании (10), (11) и (12) имеем:
(13)
Отметим, что строгий вывод формулы (13) опирается в действительности на теорему о неявной функции, формулировка которой в настоящем пособии не приводится.
Непосредственно проверяется, что для двухфакторной ПФ справедливо равенство
.
Задания для самостоятельной работы
Задача 1. Найдите значения функций при заданных значениях независимых переменных:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Задача 2. Определите, как изменится значение функции
если 
и
а) К увеличить на 3 единицы;
б) L уменьшить на 1 единицу;
в) К увеличить в 2 раза при неизменном значении другой переменной;
А если затраты обоих ресурсов одновременно
г) уменьшить в 4 раза;
д) увеличить в 3 раза;
е) увеличить на 3 единицы?
Вместе с этой лекцией читают "1 Цели, задачи и содержание ГЗК".
Задача 3. Процесс производства описывается с помощью степенной функции выпуска
:
а) как следует изменить затраты К, чтобы компенсировать уменьшение L на 50% (Уровень выпуска при этом сохраняется)
б) на сколько процентов уменьшатся затраты К при увеличении L на 25%?
в) как изменится выпуск, если затраты обоих ресурсов увеличить в 2 раза (уменьшить в 3 раза)?
г) во сколько раз надо увеличить затраты L, чтобы компенсировать уменьшение К в 4 раза?
