Экономический смысл производной и некоторых теорем дифференциального исчисления

Лекция 2. Экономический смысл производной и некоторых теорем дифференциального исчисления

         Пусть функция  выражает количество произведенной продукции  за время . Необходимо найти производительность труда в момент времени .

         За период времени от  до  количество произведенной продукции изменится от значения  до значения . Тогда средняя производительность труда за этот период времени равна . Очевидно, что производительность труда в момент времени  можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от  до  при , т.е. равна

.

         Экономический смысл производной: производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени.

Производная логарифмической функции  называется логарифмической производной, а так же относительной скоростью изменения функции или темпом изменения функции.

         Пример 7. Объем продукции , произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением , , где - рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

         Производительность труда выражается производной

Рекомендуемые материалы

,

а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной  и логарифмической производной

В заданные моменты времени  соответственно имеем:

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака  и логарифмической производной с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.

Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной.

         Обозначим через  объем производства некоторой продукции, через - суммарные затраты или издержки производства. Производственная функция (функция затрат) описывает зависимость издержек производства  от объема  выпускаемой продукции:

.

         Если объем производства увеличится на  единиц, то затраты возрастут на  единиц.

         Среднее приращение издержек выражается отношением .

         Под предельными издержками производства понимают предел среднего приращения издержек при безграничном уменьшении , т.е.

.                                (1)

         Предел (1) выражает дополнительные затраты на производство продукции при увеличении объема производства на малую единицу, если исходный объем производства составляет  единиц.

         Экономический смысл производной в данной точке: производная выражает предельные издержки производства при данном объеме и характеризует приблизительно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

         Пример 8. Допустим, функция затрат имеет вид:

.

         Определим предельные издержки производства при данном объеме выпуска .

         Решение. , тогда .

         Видим, что  и, вообще, , если . То есть с увеличением объема производства предельные издержки (дополнительные затраты на следующую за -овой малую единицу выпуска) убывают.

         Увеличение выпуска на малую единицу требует все меньших дополнительных затрат.

         Пример 9. Пусть зависимость спроса на товар от цены на него выражается формулой . Определим скорость изменения спроса, когда цена на товар составляет 1 ден.ед., 4 ден. ед.

         Решение. Скорость изменения любой функции равна ее производной. В данном случае

.

Отсюда .

         Знак “минус” показывает, что с увеличением цены спрос на товар падает.

Экономический смысл теоремы Ферма

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке  функция  достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке  этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е.

Один из базовых законов теории производства звучит так: оптимальный для производства уровень пуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода.

         Обозначим функцию прибыли за . Тогда , где - функция дохода, - функция издержек. Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, т.е. такое значение выпуска , при котором функция  имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке . Но , поэтому , т.е. предельные издержки  и предельный доход  равны при оптимальном выпуске .

         Другое важное понятие теории производства- это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек.

         Получим это условие как следствие теоремы Ферма. Средние издержки определяются как , т.е. издержки по производству товара, деленные на произведенное количество товара. Минимум этой величины достигается в критической точке функции , т.е. при условии , откуда , т.е. . Что и требовалось доказать.

Экономический смысл теоремы Лагранжа

         Теорема Лагранжа. Если функция  непрерывна на промежутке  и дифференцируема в , то существует по крайней мере одна точка , такая, что справедливо неравенство:

.

         Экономический смысл теоремы Лагранжа. Пусть  описывает зависимость выпуска  от затрат  некоторого специфического ресурса. Если объем затрат увеличили с  до  единиц, то разность  выражает соответствующее изменение выпуска.

         Отношение

                                             (2)

показывает на сколько единиц в среднем изменяется выпуск продукции, если затраты возросли на одну единицу. Другими словами, (4)- средняя производительность ресурса на промежутке .

         Предельная производительность ресурса равна значению производной функции выпуска при данном уровне затрат. Если затраты ресурса  составляют  единиц, то - соответствующая им предельная производительность .

         На основании теоремы Лагранжа можно утверждать, что для процесса производства описываемого функцией выпуска , которая непрерывна на  и дифференцируема в , существует, по крайней мере, один уровень затрат , при котором предельная производительность соответствующего ресурса совпадает с его средней производительностью на .

Экономический смысл выпуклости функции

         Закон убывающей доходности: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает.

         Иными словами, величина , где - приращение ресурса, а - приращение выпуска продукции, уменьшается при увеличении . Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция , выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией выпуклой вверх.

         Закон убывающей полезности: с ростом количества товара дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает.

         Функция полезности , где - товар, - полезность, есть величина субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Очевидно, закон убывающей полезности можно переформулировать так: функция полезности является функцией выпуклой вверх.

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите предельную производительность ресурса (скорость изменения функции), если функция выпуска имеет вид:

,

а затраты ресурса составляют: 1) 2 усл.ед., 2) 5 усл.ед.

Определите, начиная с какого момента увеличение затрат данного ресурса становится экономически невыгодным. Приведите примеры экономических ситуаций, которые могут быть описаны с помощью функций выпуска указанного вида.

2. Определите скорость изменения спроса (предельный спрос) при цене в 1 ден.ед.; 3 ден.ед.; 10 ден.ед., если зависимость спроса на товар от цены на него выражается формулой

.

Сравните и объясните результаты.

Лекция 3. Исследование функций в экономике.

Предельные производительность, спрос, предложения

         На основании экономического смысла производной и аппарата дифференциального исчисления возникает множество экономических задач, связанных с исследованием функций. В частности, представляют интерес экономические понятия и задачи на предельную производительность ресурса, предельный спрос продукции от цены и т.д.

         Приведем определение и примеры таких задач.

         Пример 10. Предприятие производит  единиц некоторой однородной продукции в месяц. Исследовать финансовые накопления, если зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой

.

1. Из экономического смысла независимой переменной следует, что она неотрицательна. Итак,

.

2. .  при  и . На промежутке  производная положительна, на - отрицательна. В точке  функция достигает максимума:

.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при  они достигают максимума, равного 39000 ден.ед., дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

         Пример 11. Цементный завод производит  тонн цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т цемента. Производительные мощности завода таковы. Что выпуск цемента не может превышать 90 т в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

.

         Удельные затраты это средние затраты на единицу продукции, в данном случае на 1 т цемента. При объеме производства в  т удельные затраты составят:

.

Задача сводится к отысканию наибольшего, наименьшего значения функции

на промежутке .

Ответ:

Пример 12. Требуется оградить забором прямоугольный участок земли площадью 294 кв. м. и затем разделить его на две равные части перегородкой. Каковы должны быть размеры участка, чтобы на постройку забора и перегородки было истрачено наименьшее количество материала?

Указание. Обозначим ширину прямоугольного участка через х, а длину через у.

Из условий задачи следует, что х Î (0, + ¥).

Поскольку площадь участка равна 294 кв. м., то

х × у=S=294.

Откуда получаем, что

у=294/х,

а общая длина Р всего загона равна:

Р(х)=3х+2у=3х+2 ´ 294/х

Таким образом, общая длина ограды представляет собой функцию от одной переменной х, и наша задача свелась к нахождению наименьшего значения этой функции в интервале (0, + ¥).

Ответ: .

Изменение предельной производительности ресурса

         Напомним основные определения и понятия.

         Пусть в производстве продукции используется несколько видов сырья. Однако затраты всех ресурсов строго регламентированы технологией производства. Только один ресурс (например, затраты труда) может изменяться, оказывая влияние на объем производства. Зависимость выпуска продукции  от затрат этого специфического ресурса  описывается формулой

.

         Скорость изменения этой функции выражается ее производной и называется предельной производительностью ресурса. Если речь идет о затратах труда, то - предельная производительность труда. Значение  меняется в зависимости от , т.е. речь идет о новой функции аргумента , а именно о

.

         Естественно, возникает вопрос: какова скорость изменения ? Скорость изменения любой функции описывается ее производной. Если функция  дифференцируема, то существует

.

         Скорость изменения предельной производительности ресурса называется темпом изменения выпуска при изменении затрат этого ресурса.

Аналогично определяется темп изменения спроса от цены d"(p), где d – спрос на продукцию, р – цена продукции.

Пример 13. Если формула

выражает зависимость  спроса на товар от цены на него, то

- скорость изменения спроса, или предельный спрос.

         Спрос является убывающей функцией цены, т.к.  при любом значении . Темп изменения спроса

.

Другими словами, спрос убывает с нарастающей скоростью. Чем больше цена, тем быстрее уменьшается спрос на товар. Если , то .

         Определение. Монотонная функция  возрастает (убывает) на  все быстрее, если скорость ее изменения является возрастающей функцией. Если же скорость изменения функции  убывает на , то говорят, что функция возрастает (убывает) на  все медленнее.

         Очевидна, справедлива следующая

         Теорема. Для того, чтобы функция , имеющая на промежутке  первую и вторую производные, возрастала (убывала) на нем все быстрее, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия  для всех .

Пример 14. Предположим, что на предприятии издержки производства вычисляются по формуле

.

Предельные издержки

положительны при любом объеме производства . Это следует из того, что дискриминант квадратного трехчлена  отрицателен, а старший коэффициент 1 положителен. Такой трехчлен может принимать только положительные значения.

         Вычислим . Легко установить, что , если , и  при . Следовательно, если выпуск продукции не превышает 5усл.ед., то издержки производства возрастают все медленнее. Если же , то издержки растут все быстрее.

Принцип акселератора

         Предположим, что технология процесса производства не меняется, а основные производственные фонды используются полностью.

         Введем следующие обозначения:

         - размеры основных производственных фондов в момент времени ,

         - объем производства предметов потребления с помощью основных производственных фондов .

            Предположим, что масса основных фондов пропорциональна объему производства:

,

где - постоянный коэффициент пропорциональности (). Следовательно,

.                                             

         Это означает, что прирост основных производственных фондов в единицу времени пропорционален приросту выпуска предметов потребления в единицу времени.

         Прирост основных фондов в единицу времени есть результат капиталовложений . Можно, следовательно, записать, что в момент времени

,

т.е. капиталовложения пропорциональны приросту объема производства.

         Пример 15. Объем производства предметов потребления в период времени  возрастает все быстрее, а с момента  до  возрастает все медленнее. Дать характеристику зависимости капиталовложений от спроса на предметы потребления.

Кривая производства предметов потребления имеет вид, показанный на рисунке 6.

Для , а для . Это означает, что функция  возрастает в промежутке  и убывает для .

Из (3) и условия  следует, что  имеет такой же характер изменения, что и . Поэтому функцию  можно изобразить кривой, приведенной на рисунке 7.

Поведение графиков функций  позволяет сделать следующие выводы.

1. Если спрос на предметы потребления (или, что то же самое, на производство) возрастает в каком-либо периоде все быстрее (промежуток ), то возрастают и капиталовложения. Следовательно, растет спрос на предметы производства, необходимые для увеличения выпуска предметов потребления.

2. Если спрос на предметы потребления (или их производство) с какого-то момента начинает расти все медленнее (промежуток ), это вызовет уменьшение размеров капиталовложений, т.е. падение спроса на средства производства.

3. Удержание капиталовложений на уровне, достигнутом в момент времени , возможно лишь в случае, если спрос на предметы потребления возрастает постоянным темпом, достигнутым в момент времени .

         Приведенное положение называют принципом ускорения или принципом акселератора.

Пример 16. Зависимость спроса от цены описывается функцией

.

Исследовать функции спроса и выручки от цены, построить их графики.

         Спрос убывает с возрастанием цены, так как

.

         Темп изменения функции  отрицателен, если , и положителен, когда цена больше . График изображен на рис.8.

Выручка от реализации товара по цене  составляет:

 ден.ед.

         Производная этой функции

положительна, если , и отрицательна для . Это означает, что с ростом цены выручка вначале увеличивается (несмотря на падение спроса) и при  достигает максимального значения, равного

.

         Дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, так как оно ведет к сокращению выручки.

         Темп изменения выручки

положительный, если , и отрицательный, пока .

На промежутке  функция возрастает все медленнее. Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены невыгодно.

Для  выручка убывает все быстрее т приближается к нулю при

неограниченном увеличении цены. На промежутке  функция  вогнута. В точке  график перегибается (см. рис. 9).

Задания для самостоятельной работы

1. Объем выпущенной заводом продукции  и выручка , полученная от ее реализации, связаны следующей зависимостью:

.

Найдите предельную выручку и постройте ее график. Пользуясь этим графиком, определите, при каком объеме производства выручка максимальна (минимальна). Чему равна при этом предельная выручка? Что это означает?

         Замечание. Предельная выручка определяется аналогично предельным издержкам производства (это скорость изменения выручки при данном объеме продаж).

2. Предприятие производит  единиц продукции в месяц и реализует ее по цене

.

Суммарные издержки производства составляют:

.

Определите, при каком объеме производства прибыль предприятия будет максимальной.

3. Из треугольных обрезков фанеры необходимо сделать заготовки, имеющие форму параллелограмма. Как добиться того, чтобы заготовки имели максимально возможную площадь?

         4. Имеется запас меда стоимостью в  рублей. Известно, что с течением времени стоимость меда повышается по закону , а затраты на хранение настолько меньше , что ими можно пренебречь. С другой стороны, если мед продать, а деньги положить в банк, то на вырученную сумму непрерывно будут начисляться 10% годовых. То есть сумма , положенная в банк в момент времени , через  лет станет равной

%=).

Определите момент времени , в который наиболее выгодно продать имеющийся запас меда и положить деньги в банк, чтобы через  лет сумма, накапливаемая на счете, была максимальной.

         5. Зависимость полных издержек производства  от объема производства  выражается с помощью формулы:

.

Рассчитайте, при каком объеме производства средние издержки минимальны ().

         6. Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Если бриллиант разбить на две части. То в каком случае общая стоимость двух частей будет наименьшей?

         7. Предположим, что функция затрат имеет вид:

.

Определите предельные издержки производства при объеме выпуска . При каких значениях  данная функция возрастает (убывает) все быстрее)?

         8. Установлено, что предложение данного товара описывается формулой , где - цена. Установите вид зависимости предельного предложения (скорости изменения предложения) и темпа изменения предложения от цены на товар. Как изменение этих параметров характеризует динамику предложения?

         9. Функция спроса на товар имеет вид:

.

Определите уровни цен, соответствующих максимальному спросу на товар, исчезновению спроса на него. При какой цене предельный спрос (скорость изменения спроса) будет равен нулю, двум, десяти? Чему равен темп изменения спроса? Что это означает? Приведите примеры ситуаций, которые могут быть описаны с помощью функций указанного вида.

Лекция "33. Посейдон" также может быть Вам полезна.

10. Зависимость спроса от цены выражается формулой:

а) ;

б) ;

в) .

Опишите динамику изменения спроса на товар и выручки от продажи этого товара, нарисуйте графики функций.

2.Формула  задает зависимость предложения  от цены . Установите характер изменения предельного предложения. Сравните его с характером изменения темпа . Какую форму имеет график функции предложения?