Нелинейная регрессия

§ 9.  Нелинейная регрессия .  Метод линеаризации .

В параграфе 4 мы уже познакомились с некоторыми вариантами нелинейных регрессий. Сейчас немного подробнее об этом.

Нелинейные регрессии подразделяют на два больших класса:

1. Квазилинейные регрессии (нелинейные по факторам, но линейные по коэффициентам.

2. Собственно нелинейные регрессии (нелинейные и по факторам, и по коэффициентам)

Примеры:

Квазилинейные регрессии:

y = a lnx + b

y = a + b

Рекомендуемые материалы

y = + b

y = a x² + b x + c

Во всех этих соотношениях  коэффициенты стоят в первой степени, т.е. формулы линейны по коэффициентам.

Собственно нелинейные регрессии:

y = a е ^{b x}

y = a x^b

(нелинейные по факторам, но линейные по Для линейной регрессии была получена простая нормальная система для коэффициентов

         y = ax + b            a ( x² ) + b ( x ) = xy                                 (22)

                                     a ( x ) + b ( 1 ) = y

Пусть корреляционное поле показывает , что зависимость должна быть  нелинейной . Нужно попытаться сделать такую замену переменных , чтобы в новых переменных зависимость стала линейной .И тогда коэффициенты корреляционной зависимости будут определяться из системы уравнений (22) .

1)

Сделаем замену :    

После этого  уравнение регрессии становится линейным:    и можно пользоваться всеми соотношениями, полученными для линейной регрессии. Нужно только с самого начала пересчитать исходные данные для фактора  Х.

                                         X                                     X₁  (=lnx)

2)

Чтобы уравнение стало линейным, нужно убрать из показателя степени коэффициент  b.  Единственный способ это сделать – логарифмировать обе части равенства:

Сделаем замены :    ;        ;    .

После этого  уравнение регрессии становится линейным:   .

Нужно пересчитать исходные данные для фактора  Y, и потом, когда коэффициенты регрессии      будут найдены, вернуться назад к коэффициентам   .

3)

Сделаем замены :    ;      ;

                                   ;          .

После этого  уравнение регрессии становится линейным:   .

4)     Гиперболическая зависимость :     

Сделаем замену :    и получим линейное уравнение  .

5) Логистическая зависимость (с явлением перегиба с насыщением) :    .

Сначала перейдем к обратным величинам

Затем делаем замены:

Основные принципы разработки инвестиционной стратегии в условиях кризиса - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

 ;      ;

;          .

и получаем линейное уравнение .

Общее замечание:

Для квазилинейных регрессий замену  и  линеаризацию можно сделать всегда.

Для собственно нелинейных регрессий  это совсем не обязательно.