Параболическая регрессия
§ 11. Параболическая регрессия
Уравнение параболической регрессии имеет вид
.
Если использовать метод наименьших квадратов (МНК), то для коэффициентов составляется и решается нормальная система линейных уравнений с матрицей
Входящие сюда величины подсчитываются по данным наблюдений.
Левая часть – это средние значения различных степеней фактора Х. Правая – это средние значения произведений:
или
Посчитывая эти числа и решая систему уравнений, находим коэффициенты регрессии.
Рекомендуемые материалы
Можно подсчитывать каждую из этих величин в отдельности. Но можно применить для этого и другой способ, матричный. При этом вся матрица коэффициентов системы подсчитывается сразу.
Для этого сначала нужно сформировать исходные данные в виде матриц
Для фактора Х эта матрица состоит из трех столбцов:
¨ столбец из единиц;
¨ столбец собственно Х;
¨ столбец квадратов.
Здесь величины записаны точно так же, как и в уравнении регрессии:
Теперь исходные данные собраны в двух матрицах. Это матрица X. и матрица Y.
Матрица нормальной системы вычисляется произведением матриц
где - транспонированная матрица.
Столбец правых частей нормальной системы вычисляется как произведение матриц
Если и неизвестные коэффициенты сформировать в матрицу
то сама система тоже может быть записана в матричном виде.
.
Но тогда естественно и решение получить в матричной записи, в виде обратной матрицы:
Замечание:
Если строить уравнение регрессии в виде многочлена
и при этом использовать матричный способ составления и решения нормальной системы, то формулы нисколько не изменятся, только матрица Х исходных данных будет содержать уже n столбцов.
Проверка адекватности квадратичного уравнения регрессии
Проводится по критерию Фишера
ъ
Проводится сравнение двух дисперсий: исправленной дисперсии фактора Y и дисперсии остатков
· исправленная дисперсию Y :
· дисперсия остатков: .
- число коэффициентов в уравнении регрессии, т.е. сейчас 3.
Подсчитанной наблюдаемое значение критерия Фишера сравниваем с найденным из таблиц критическим значением. Для пользования таблицами задаем уровень значимости и числа степеней свободы:
Чем больше F набл по сравнению с F кр , тем выше адекватность . Сравнивая, делаем вывод об адекватности (или неадекватности) построенной корреляционной модели причем оцениваем и степень адекватности.
ИНСТРУКЦИЯ К ЛАБОРАТОРОЙ РАБОТЕ
Анализ монопольного рынка
Введение
Имеются статистические данные для цены P и для спроса D на монопольный товар. Требуется рассчитать оптимальные цены, при которых
будут максимальными доход или прибыль.
Если описать зависимость спроса D от цены P теоретической формулой D(P), то с помощью этой теоретической зависимости можно будет исследовать зависимость дохода Z и прибыли F от цены P .
Примем квадратичную зависимость D(P):
D(P) =a 2·P 2 + a 1·P + a 0
Тогда величина дохода Z равна произведению цены P на объем реализованного спроса:
Z = P·D(P) = a 2·P 3 + a 1·P 2 + a 0·P .
Прибыль F от реализации товара равна разности дохода Z и издержек G:
F = Z – G
В свою очередь, издержки G состоят из постоянных (C) и переменных затрат (V·D), которые пропорциональны объему произведенной продукции (V – затраты на единицу продукции):
G = C + V · D.
Таким образом, для прибыли получаем формулу:
F = P·D(P) - [C+V·D(P)] = a 2·P 3 + (a 1 -Va 2) ·P 2 + (a 0 - Va 1) · P + (–C – Va 0)
Чтобы найти величину цены, при которой максимальны доход или прибыль, нужно взять производную от них по цене P приравнять ее нулю:
и
Решая эти квадратные уравнения и выбирая из двух корней то значение, которое соответствует максимуму, находим значение цены, при которой максимальны доход или прибыль.
Рассмотрим также величину, называемую коэффициентом эластичности спроса:
.
Это число показывает, на сколько процентов изменяется спрос D при росте цены на 1% .
Так как цена P и спрос D всегда положительны, знак K d определяется знаком производной. Для подавляющего большинства товаров спрос падает с ростом цены, и значит производная D′p отрицательна. А значит, отрицательным будет и коэффициент эластичности.
Существует такое понятие, как эластичность и неэластичность спроса. При этом характер спроса определяется реакцией дохода на изменение цены.
Определение:
¨ спрос неэластичен, если с ростом цены доход тоже растет;
¨ спрос эластичен, если с ростом цены доход убывает.
Рост или убывание дохода определяется знаком производной :
В зависимости от величины коэффициента эластичности K d
возможны следующие случаи:
1. . Производная > 0 Þ с ростом цены несмотря на
снижение спроса доход продолжает расти. Спрос неэластичен.
2. . Производная < 0 Þ с ростом цены доход падает.
Спрос эластичен.
3. . Производная = 0 Þ Доход максимален.
Для выполнения работы необходимо :
1. Построить по имеющимся статистическим данным корреляционное
поле и найти выборочные числовые характеристики.
2. С использованием возможностей пакета Excel построить
квадратичную корреляционную зависимость спроса от цены. Найти
коэффициенты параболической регрессии.
3. Подсчитать и проанализировать остатки.
4. Построить зависимости спроса, дохода, и прибыли от цены.
5. Рассчитать оптимальную цену, при которой будут максимальными
доход или прибыль.
6. Для цены, обеспечивающей максимальную прибыль, рассчитать
соответствующие значения спроса, дохода и прибыли.
Исходные данные к лабораторной работе
1. Корреляционное поле и выборочные числовые характеристики.
· Из таблицы исходных данных выбрать свой номер варианта. Столбец цен P у всех один и тот же, столбец спроса D – выбирается по номеру варианта.
· Занести исходные данные (выборку) в отведенные ячейки: (столбцы K, L). Каждому из этих столбцов дать имя, (напр. P,D ).
· По исходным данным построить корреляционное поле с помощью «Мастера диаграмм» , «Точечная диаграмма ».
· По выборке найти ее объем n (ячейка L23)
(функция СЧЕТ). Ячейке присвоить имя (например "объем" или n).
· в отведенных для этого ячейках 25, 27 и 30 строк подсчитать числовые характеристики факторов P и D:
¨ средние (СРЗНАЧ)
¨ дисперсии (диспр)
¨ стандартные отклонения ( )
ячейкам присвоить соответствующие имена (Напр. Pср, Dср; Dp, Dd; Sp, Sd).
2. Построение параболической регрессии.
Определение коэффициентов параболической регрессии
· Уравнение параболической регрессии имеет вид . Для коэффициентов составляется и решается нормальная система линейных уравнений с матрицей
Но в пакете Excel можно найти эти коэффициенты гораздо быстрее. Активизируем точки на корреляционном поле, правой кнопкой мыши вызываем контекстное меню и выбираем “построение линие тренда”. Выбираем квадратичную регрессию и выводим на график уравнение и значение коэффициента детерминации.
· В отведенном поле записываем окончательную формулу квадратичной регрессии, вписывая в нее найденные значения коэффициентов.
· В ячейки R24, R25, R26 занести значения найденных коэффициентов регрессии. Дать им имена, соответствующие обозначению (использовать русский шрифт).
3. Подсчет и анализ остатков
· В столбцы X и Y еще раз заносим исходные данные (формулой = ). В столбец Z программируем построенную формулу регрессии, т.е. подсчитываем теоретические значения спроса. Выделяем весь столбец и записываем формулу
, затем Ctrl + Enter . Дать имя.
· В столбце AB подсчитываем остатки – т.е. разности экспериментальных и теоретических значений спроса. Дать имя.
· В этом же столбце, ниже, находим числовые характеристики остатков:
¨ среднее значение остатков (СРЗНАЧ).
Оно должно быть практически равно нулю.
¨ дисперсию остатков: .
- число коэффициентов в уравнении регрессии, т.е. сейчас 3.
(Мастер Функций категория «Математические » СУММКВ ).
Чем меньше дисперсия остатков, тем лучше.
¨ стандартные отклонения остатков ( ).
5. Построение зависимостей спроса, дохода, прибыли
и коэффициента эластичности от цены
Во всех расчетах этого пункта будем использовать теоретические значения спроса
· Еще раз скопировать исходные данные для цены, на этот раз в столбец AK.
· В столбец AL так же скопировать теоретические значения спроса.
· В столбце AO подсчитать величину дохода: Z = P · D(P).
· В ячейки AQ23 и AQ24 занести значения постоянных затрат C и переменных затрат V из вашего варианта исходных данных (дать ячейкам имена).
· В столбце AP подсчитать издержки: G =C + VD.
· В столбце AQ подсчитать прибыль: F =Z – G.
· Построить графики полученных зависимостей (Мастер диаграмм, Точечная диаграмма с последующим редактированием):
¨ На одном графике совместить зависимость дохода, издержек и прибыли от цены.
Использовать столбцы AK, AO, AP, AQ и клавишу Ctrl. Отредактиро-
вать график, чтобы он выглядел следующим образом:
6. Расчет оптимальной цены при которой будут максимальными
доход или прибыль
· Доход:
¨ В ячейках BC11:BE11 по коэффициентам регрессии находим коэффициенты квадратного уравнения для оптимальной цены.
¨ В ячейке BF11 подсчитаем дискриминант.
¨ В ячейках BC14:BD14 программируем известную формулу для корней квадратного уравнения.
¨ Ориентируясь на уже построенный график, выбираем из корней нужный и заносим его в ячейку BF.
· Прибыль:
¨ Совершенно аналогично находим оптимальную цену по прибыли. Используем соответствующие ячейки 11 и 14 строки.
7. Расчет оптимальных значений спроса , дохода и прибыли
Информация в лекции "6 Развитие инвестиционного законодательства в России в 96-99 гг" поможет Вам.
· В ячейку BJ21 заносим оптимальную цену (по прибыли).
· В остальных ячейках этого столбца подсчитываем по соответствующим формулам остальные величины.
Сохранить файл в своей личной папке:
Сохранить файл на дискете.