Проверка адекватности нелинейной корреляционной модели

§ 7.  Проверка адекватности нелинейной корреляционной модели.

Коэффициент детерминации и его свойства

Коэффициент детерминации

Коэффициент корреляции используется для оценки качества уравнения линейной регрессии. Если же уравнение нелинейное, то аналогичную роль играет коэффициент детерминации  R².

В числителе стоят теоретические значения  , которые подсчитываются по построенной теоретической формуле, по уравнению регрессии.

В знаменателе – данные наблюдений  y_i .

В идеальном для нас случае, когда все данные наблюдений лежат точно на построенной линии регрессии,  теоретические значения   и данные наблюдений y_i  просто совпадают.  Числитель при этом будет равен знаменателю и коэффициент детерминации R²  равен  1.

Рекомендуемые материалы

Чем больше разброс данных наблюдений относительно построенной линии регрессии, тем меньше  коэффициент детерминации R²

Свойства коэффициента детерминации:

1.                                       

2. Если  R²  близок к 1, это означает, что зависимость между факторами близка к функциональной и разброс данных наблюдений относительно построеннной линии  регрессии очень мал. Уравнение хорошо описывает результаты нкаблюдений.

3. Если R²  уменьшается, это значит, что увеличивается разброс точек на кореляционном поле  относительно построенной линии регрессии (или статистическая зависимость очень слабая, или уравнение регрессии подобрано неверно).  

Итак, ОБЩИЙ ВЫВОД:

Коэффициент детерминации  R²  характеризует степень тесноты

любой корреляционной зависимости, (не обязательно линейной)

т.е. показывает, насколько разбросаны статистические данные

вокруг построенной  линии регрессии.

Замечание 1.  Вообще говоря, значение коэффициента детерминации не говорит о том, есть ли между факторами зависимость и насколько она тесная.  Оно говорит только о качестве того уравнения, которое мы построили.

Удобно сравнивать коэффициенты детерминации для нескольких разных уравнений регрессии построенных по одним и тем же данным наблюдений. Из нескольких уравнений лучше то, у которого  больше коэффициент детерминации.

Замечание 2.  Для парной линейной регрессии коэффициент детерминации точно равен квадрату коэффициента корреляции:

R²  =  r²

Проверка адекватности  корреляционной модели

Как для r, так и для R² необходимо проводить исследования его статистической значимости. При этом здесь используют F-критерий Фишера:

Здесь      R ²   -  коэффициент детерминации

                          n   -  объем выборки;   (n–2) – число степеней свободы.

Технология проверки такова:

· Подсчитываем наблюдаемое значение критерия Фишера

· По таблицам критических точек распределения  Фишера  находим  критическое значение критерия   . 

· Сравнивая, делаем вывод об адекватности (или неадекватности) линейной корреляционной модели.  Чем больше F_набл  по сравнению с F_кр ,  тем выше адекватность. Поэтому  вывод должен содержать оценку степени адекватности.

23 МИД Франции - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

Пусть по наблюдаемым значениям х и y вычисленное значение R² = 0,7. При этом, в расчете используют 15 наблюдений (n = 15). Проверим адекватность корреляционной модели.

По таблице распределения Фишера с (1,13) степенями свободы и при уравнении значимости 5% находят критические значения критерия Фишера:

F_кр. = 4,67

Тогда, F_набл. > F_кр., и Н₀ отвергается. Это означает, что значение R² статистически значимо и с вероятностью 0,95 делается вывод об адекватности принятой математической модели.

Но степень адекватности  не очень высокая.