Экономико-математическая модель межотраслевого баланса

Экономико-математическая модель межотраслевого баланса

Экономико-математическая модель межотраслевого баланса представляет собой систему уравнений, отражающих функциональную взаимосвязь включённых в его схему элементов.

Модель межотраслевого баланса для  n  отраслей можно отобразить с помощью следующей системы линейных уравнений:

Эту систему уравнений мы не можем решить, даже если значения конечного продукта известны, т.к. кроме искомых неизвестных  x_i  система содержит ещё  n∙n  неизвестных  x_ij. Для решения данной системы преобразуем её. Каждое из слагаемых  x_ij  разделим на  x_j  и обозначим отношение  x_ij x_j  через  а_ij, т.е.  а_ij= x_ij x_j. В этом случае система уравнений примет следующий вид:

Таким образом, преобразованием системы (13.7) привели её к обычной математической форме системы  n  линейных уравнений с  n   неизвестными  x₁, x₂, …, x_n  при заданных значениях коэффициентов  a_ij.

Рекомендуемые материалы

            Коэффициенты  а_ij= x_ij x_j  называют коэффициентами прямых затрат. Коэффициенты прямых затрат задают для всех отраслей в виде матрицы:

Если использовать матричную форму записи, то система уравнений межотраслевого баланса принимает вид:

где  А – матрица коэффициентов прямых затрат; Y – вектор конечного продукта; X – вектор объёма производства.

В натуральном балансе коэффициент прямых затрат означает расход  i-й продукции на изготовление единицы  j-ой продукции (например, расход угля на производство тонны чёрных металлов). В стоимостном балансе коэффициенты  a_ij  означают затраты  i-ой отрасли на каждый рубль валовой продукции  j-й отрасли.

Помножив вектор  Х  на единичную матрицу, соотношение (13.10) можно преобразовать как:

или

 После подсчёта коэффициентов прямых затрат (порядок расчёта коэффициентов прямых затрат будет изложен далее) соотношение (13.12) можно использовать для анализа и решать следующие задачи:

1. Определить объёмы конечного продукта отраслей  Y₁, Y₂, …,Y_n  по заданным объёмам валовой продукции  X₁, X₂, …, X_n  по формуле

Y=(E-A)X.

2. Определить объёмы валовой продукции отраслей  X₁, X₂, …, X_n  по заданным объёмам конечного продукта  Y₁, Y₂, …,Y_n  по формуле

X=(E-A)^-1Y.

Пример построения экономико-математической модели

межотраслевого баланса и его расчёта для случая трёх отраслей

В табл. 13.3 приведён пример для построения модели и расчёта межотраслевого баланса для трёх отраслей:

Таблица 13.3

По данным табл. 13.3 можно записать следующую систему уравнений:

Превратив конечные продукты отраслей в свободные члены, получим:

                 или

Решение данной системы линейных уравнений осуществляется известными методами алгебры (Ответ: x₁=60, x₂=40, x₃=30).

Экономическая природа коэффициентов прямых и полных

затрат и их расчёт

Коэффициенты прямых затрат характеризуют непосредственный расход материальных ресурсов одного вида на изготовление единицы продукции другого вида.

Из-за огромной номенклатуры производимой и потребляемой в стране продукции возникает необходимость агрегирования номенклатуры, включаемой в межотраслевой баланс.

Агрегирование номенклатуры продукции осуществляется с учётом следующих факторов:

· народно-хозяйственного значения продукции;

· степени однородности технологии изготовления продукции;

· степени однородности потребительских свойств продукции;

· масштабов выпуска продукции;

· затрат на производство продукции.

В связи с агрегированием продукции, включаемый в межотраслевой баланс, приходится решать вопрос, каким образом в таких случаях формировать коэффициенты прямых затрат. Очевидно, что расходы одних видов продукции на производство единицы другого вида продукции, включённых в межотраслевой баланс, должны быть агрегированы в той же самой степени, что и позиции межотраслевого баланса.

            Формирование агрегированных коэффициентов прямых затрат осуществляется путём последовательного усреднения индивидуальных по формуле:

 где  a_ij – агрегированный коэффициент прямых затрат; – индивидуальные коэффициенты прямых затрат отдельных видов продукции, включённых в агрегированный вид  i-й продукции, на производство единицы отдельных видов продукции, включенных в агрегированный вид  j-й продукции; – удельный вес отдельных видов продукции, включённых в агрегированный вид  j-й продукции, в объёме производства агрегированной  j-й продукции.

Коэффициентом полных затрат  i-го вида материальных ресурсов на изготовление единицы  j-й продукции называется сумма соответствующего коэффициента прямых затрат  i-го вида материальных ресурсов и всех его косвенных затрат на предыдущих стадиях производства j-ой продукции. Обычно коэффициенты полных затрат значительно превосходят коэффициенты прямых затрат.

Рассмотрим на примере, как возникают косвенные затраты. Так, на изготовление автомобиля в виде прямых затрат расходуется уголь, стальной прокат, цветные металлы, электроэнергия и т.д. Но на производство стального проката, цветных металлов и электроэнергии также расходуется уголь. Если определить затраты угля на производство стального проката, цветных металлов, электроэнергии и другой продукции, используемой при изготовлении автомобиля, то получим косвенные затраты первого порядка. Однако следует учесть, что на производство стального проката, цветных металлов и электроэнергии расходуется сырьё и материалы (например, для производства стального проката были использованы стальные слитки, расходовалась электроэнергия для работы прокатного стана и т.д.), для получения которых также расходовался уголь. Это уже будут косвенные затраты угля на изготовление автомобиля второго порядка. Продолжая расчёты, можно определить косвенные затраты угля третьего, четвёртого и т.д. порядков. Сложив все эти затраты и прибавив к ним прямые затраты, можно получить величину полных затрат. Однако так проводить расчёты полных затрат практически невозможно, поскольку процесс последовательного наслоения косвенных затрат на прямые продолжается бесконечно, но экономическая природа коэффициентов полных затрат отображается именно при рассмотрении многоступенчатого наслоения косвенных затрат.

Расчёт коэффициентов полных затрат можно осуществить другим способом. Из определения сущности коэффициентов прямых затрат и косвенных затрат видно, что коэффициенты полных затрат  b_ij  характеризуют потребность в валовом выпуске продукции  i-й отрасли, которая необходима для получения в процессе материального производства единицы конечного продукта  j-й отрасли.

Выше было доказано, что объёмы валовой продукции отраслей по заданным объёмам конечной продукции можно рассчитать по формуле  X=(E-A)^-1Y, где  (E-A)^-1 – матрица, обратная к матрице (Е-А). Отсюда матрица коэффициентов полных затрат:

B=(E-A)^-1 ,  X=B*Y.

Коэффициенты полных затрат отражают все многообразие и сложность косвенных связей в процессе общественного воспроизводства.

При анализе результатов натурального межотраслевого баланса определённый интерес представляют следующие соотношения коэффициентов прямых затрат – a_ij, полных затрат – b_ij и косвенных затрат – с_ij:

1) Отношение  b_ij/a_ij, которое показывает, во сколько раз полные затраты превышают прямые;

2) Отношение  a_ij/b_ij, которое показывает удельный вес прямых затрат в полных затратах.

3) Отношение  с_ij/a_ij=( b_ij-a_ij)/a_ij, которое показывает во сколько раз косвенные затраты больше (или меньше) прямых затрат.

Далее приведён пример расчёта коэффициентов полных затрат для случая трех отраслей, приведённых выше в табл. 13.3.

Матрица коэффициентов прямых затрат равна:

Обратите внимание на лекцию "25 Общая характеристика оснований возникновения прав на земельные участки".

.

Разность матриц  Е-А  равна:

Обратную матрицу  (Е-А)^-1  находим методами линейной алгебры. Она равна:

Отсюда видно, что коэффициенты полных затрат значительно превышают величину коэффициентов прямых затрат.