Теплопроводность

Глава   восьмая. Теплопроводность

8.1. ОСНОВНОЙ ЗАКОН ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

         В основной закон теплопроводности входит ряд математических понятий, оп­ределения которых целесообразно напо­мнить и пояснить.

         Т е м п е р а т у р н о е    п о л е — это со­вокупность значений температуры во всех точках тела в данный момент времени. Математически оно описывается в виде  t = f (x, y, z, τ ). Различают стационарное температурное поле, когда тем­пература во всех точках тела не зависит от времени, и нестационарное. Кроме то­го, если температура изменяется только по одной или двум пространственным координатам, то температурное поле на­зывают соответственно одно- или двух­мерным.

         И з о т е р м и ч е с к а я   п о в е р х н о с т ь – это геометрическое место точек, температура в которых одинакова.

         Г р а д и е н т   т е м п е р а т у р ы — grad t  есть вектор, направленный по нор­мали к изотермической поверхности и численно равный производной от тем­пературы по этому направлению.

         Согласно основному закону тепло­проводности — закону Фурье (1822), вектор плотности теплового по­тока, передаваемого теплопроводностью, пропорционален градиенту температуры:

                                      q = - λ grad t ,                                       (8.1)

где λ  — коэффициент   теплопро­водности   вещества;   его  единица  измерения  Вт/(м К).

Рекомендуемые материалы

         Знак минус в уравнении (8.1) ука­зывает на то, что вектор q направлен противоположно вектору grad t, т. е. в сторону наибольшего уменьшения температуры.

         Тепловой поток ∂Q через произволь­но ориентированную элементарную пло­щадку dF равен скалярному произведе­нию вектора  q  на вектор элементарной площадки dF, а полный тепловой поток Q через всю поверхность F определяется интегрированием этого произведения по поверхности F:

                                         Q =                                            (8.2)

8.2. КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

         Коэффициент теплопроводности λ в законе Фурье (8.1) характеризует спо­собность данного вещества проводить теплоту. 3начения коэффициентов тепло­проводности приводятся в справочниках по теплофизическим свойствам веществ. Численно коэффициент теплопроводности  λ = grad t  равен плотности тепло­вого потока при градиенте температуры 1 К/м. Понять влияние различных пара­метров, а иногда и оценить значение λ  можно на основе рассмотрения механиз­ма переноса теплоты в веществе. Соглас­но молекулярно-кинетической теории ко­эффициент теплопроводности в газах зависит в основном от скорости движения молекул, которая в свою очередь возрастает с увеличением температуры и уменьшением массы молекул. Наибольшей теплопроводностью обладает легкий газ — водород. При комнатных условиях коэффициент теплопроводности водоро­да λ  0,2 Вт/(м К). У более тяжелых газов теплопроводность меньше — у воз­духа  λ  0,025 Вт/(м К), у диоксида уг­лерода  λ  0,02 Вт/(м К).

         В металлах теплопроводность обес­печивается главным образом за счет теп­лового движения электронов («электрон­ного газа»), которые более чем в 3000 раз легче молекул самого легкого газа — водорода. Соответственно и теп­лопроводность металлов много выше, чем газов.

         Наибольшим коэффициентом теплопро­водности обладают чистые   

                           серебро и медь:  λ  400 Вт/(м К).

      Для углеродистых сталей :

                           λ  50 Вт/(м К). 

     У жидкостей (неметаллов) коэффициент теплопроводности, как правило, меньше 1 Вт/(м К). Вода является одним из лучших жидких проводников теплоты, для нее:

                             λ 0,6 Вт/(м К).

         Коэффициент теплопроводности неметал­лических твердых материалов обычно                 ниже 10 Вт/(м К).

          Пористые материалы — пробка, различ­ные волокнистые наполнители типа ваты — обладают наименьшими коэффициентами теп­лопроводности :

                               λ  0,25 Вт/(м К),        приближа­ющимися при малой плотности набивки к ко­эффициенту теплопроводности воздуха, запол­няющего поры.

         Значительное влияние на коэффициент теплопроводности могут оказывать температура, давление, а у пористых материалов еще и влажность. В справочниках всегда приводят условия, при которых определялся коэффициент теплопроводности данного вещества, и для других условий эти данные использовать нельзя

8.3. ПЕРЕНОС ТЕПЛОТЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

          Однородная плоская стенка. Про­стейшей и очень распространенной за­дачей, решаемой теорией теплообмена, является определение плотности тепло­вого потока, передаваемого через плоскую стенку толщиной  δ,  на повер­хностях которой поддерживаются темпе­ратуры   t_с1 и t_c2   (рис. 8.2).  Температура изменяется только по толщине пласти­ны — по одной координате х. Такие за­дачи называются одномерными, решения их наиболее просты, и в данном курсе мы ограничимся рассмотрением только од­номерных задач. Учитывая, что для од­номерного случая

                                                 grad t = dt/dx,                               (8.3)

и используя основной закон теплопро­водности (8.1), получаем дифференци­альное уравнение стационарной тепло­проводности для плоской стенки:

                                                q = — λ dt/dx.                                 (8.4)

         В стационарных условиях, когда энергия не расходуется на нагрев, плот­ность теплового потока  q неизменна по толщине стенки. В большинстве практи­ческих задач приближенно пред­полагается, что коэффициент тепло­проводности  λ  не зависит от температуры и одинаков по всей толщине стенки. Зна­чение  λ  находят в справочниках [15] при температуре

                                                   t = 0,5(t_c1 + t_c2).                             (8.5)

средней между температурами поверхно­стей стенки. (Погрешность расчетов при  этом обычно меньше погрешности исход­ных данных и табличных величин, а при линейной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры  λ = a + bt   точная расчетная формула для q не отличается от приближенной). При λ = const

                                              dt/dx= —g/ λ = const,                            (8.6)

 т. е.  зависимость температуры   t  от  ко­ординаты  х  линейна  (см. рис. 8.2).

         Разделив переменные в уравнении (8.6) и проинтегрировав по t от t_c1  до t_c2  и по  х от 0 до δ:

                                                                                        (8.7)

получим зависимость для расчета плот­ности теплового потока

                                      q = (t_c1 – t_c2) λ / δ                                  (8.8)

или

                                          Q = qF =  (t_c1 – t_c2) λF / δ                         (8.9)

Полученная простейшая формула имеет очень широкое распространение в тепло­вых расчетах. По этой формуле не только рассчитывают плотности теплового пото­ка через плоские стенки, но и делают оценки для случаев более сложных, уп­рощенно заменяя в расчетах стенки сложной конфигурации на плоскую. Иногда уже на основании оценки тот или иной вариант отвергается без дальней­ших затрат времени на его детальную проработку.

         По формуле (8.9) можно рассчитать коэффициент теплопроводности материа­ла, если экспериментально замерить тепловой поток и разность температур на поверхности пластины (стенки) известных размеров.

         Отношение λF / δ  называется т е п л о ­в о й   п р о в о д и м о с т ь ю 

 с т е н к и, а обратная величина δ / λF   т е п л о ­ в ы м   или   т е р м и ч е с к и м   с о п р о т и в ­ л е н и е м   с т е н к и   и обозначается  R_λ.  Пользуясь понятием термического сопро­тивления, формулу для расчета теплово­го потока можно представить в виде

                                             Q = (t_c1 – t_c2) / R_λ                                                (8.10)

аналогичном закону Ома в электротехни­ке (сила электрического тока равна раз­ности потенциалов, деленной на электри­ческое сопротивление проводника, по ко­торому течет ток).

         Очень часто термическим сопротив­лением называют величину   δ / λ , кото­рая равна термическому сопротивлению плоской стенки площадью 1 м².

         Многослойная стенка. Формулой (8.10) можно пользоваться и для расчета теплового потока через стенку, состоя­щую из нескольких плотно прилегающих дpyг к другу слоев разнородных материалов (рис. 8.3), например кирпичную стенку здания, покрытую слоем штукатурки, краски и т. д. Термическое сопротивление такой стенки равно сумме термических сопротивлений отдельных слоев:

                                              R_λ =                           (8.11)

         В формулу (8.10) нужно подставить разность температур в тех точках   (поверхностях), между которыми «включены» все суммируемые термические сопротивления,    т. е.    в   данном    случае    t_c1 и  t_c(n+1) : 

                                      Q =                         (8.12)                                                                                                  

         Формулу (8.12) легко получить, за­писав разность температур по формуле (8.9) для каждого из п слоев многослой­ной стенки и сложив все п выражений с учетом того, что во всех слоях Q имеет одно и то же значение. При сложении все промежуточные температуры сократятся.

          Распределение температур в преде­лах каждого слоя — линейное, однако в различных слоях крутизна температур­ной зависимости различна, поскольку со­гласно формуле (8.6) (dt/ dx)_i  = — q/λ_i..    Плотность теплового потока, проходяще­го через все слои, в стационарном режи­ме одинакова, а коэффициент теплопро­водности слоев различен, следовательно, более резко температура меняется в сло­ях с меньшей теплопроводностью. Так, в примере на рис. 8.3 наименьшей теплопроводностью обладает материал второго слоя, а наибольшей – третьего.

         Рассчитав тепловой поток через мно­гослойную стенку, можно определить па­дение температуры в каждом слое по соотношению (8.10) и найти температу­ры на границах всех слоев. Это очень важно при использовании в качестве теплоизоляторов материалов с ограничен­ной допустимой температурой. Обобщен­ную формулу для расчета температуры     t_С(k+1)  за любым слоем (i = k) можно по­лучить из выражения (8.12), подставив в него n = k:

                                           t_{c (k + 1)} = t_c1 - Q                           (8.13)

          Контактное термическое сопротивле­ние. Идеально плотный контакт между отдельными слоями многослойной стенки получается, если один из слоев наносят на другой в жидком состоянии или в виде текучего раствора (цементного, гипсово­го и др.).

          Твердые тела касаются друг друга только вершинами профилей шеро­ховатостей. Площадь контакта вершин пренебрежимо мала, и весь тепловой по­ток идет через воздушный зазор. Это создает дополнительное (контактное) термическое сопротивление R_k. Его мож­но приближенно оценить, если принять, что толщина зазора между соприкасаю­щимися телами δ в среднем вдвое мень­ше максимального расстояния  δ_макс   меж­ду впадинами шероховатостей. Так, при контакте двух пластин с шероховатостью поверхности 5 класса (после чистовой обточки, строгания, фрезерования)

 δ_макс  0,03мм  и  в воздухе комнатной температуры

                   R_k = δ / λ = 1,5 10^-5/ (2,59 10^-2) = 0,58 10^{-3 м2} К/Вт   

         Это эквивалентно термическому сопро­тивлению слоя стали толщиной около 30мм.

         Для уменьшения контактного сопро­тивления необходимо заполнять зазоры каким-либо материалом с более высокой, чем у воздуха, теплопроводностью, на­пример спаять или хотя бы склеить по­верхности.

         Цилиндрическая стенка. Очень часто теплоносители движутся по трубам и требуется рассчитать тепловой поток, передаваемый через цилиндрическую стенку трубы. Задача о распространении теплоты в цилиндрической стенке при известных и постоянных температурах на внутренней и наружной поверхностях, также одномерная, если ее рассматри­вать в цилиндрических координатах. Температура изменяется только вдоль радиуса (по координате r), а по длине трубы и по ее периметру остается не­изменной. В этом случае grad t = dt/dr и закон Фурье будет иметь вид

                                        q = - λ(dt / dr),                                       (8.14)

или для трубы длиной  l

                                        Q = Fq=—2πrlλ (d t/ dr).                       (8.15)

         Интегрировать удобно уравнение (8.15), так как тепловой поток не меняет­ся по толщине стенки, a q = Q/F  const, поскольку площадь F = 2πrl, через кото­рую проходит тепловой поток, зависит от радиуса.

         Разделим переменные:

                                            dt =                                        (8.16)

           Интеграл уравнения  (8.16)

                                              t = C -                                    (8.17)

показывает, что распределение темпера­туры по радиусу стенки подчиняется ло­гарифмическому закону (рис. 8.4).

У внутренней поверхности, где кривизна стенки больше, температура меняется резче, чем у наружной.

         Интегрирование уравнения (8.16) в определенных пределах (по t от t_c1 до t_c2 и по r от r₁ до r₂) дает зависимость для расчета теплового потока через ци­линдрическую стенку:

                             Q =                                      (8.18)

         Для труб обычно измеряется и при­водится в условиях задач диаметр, а не радиус, поэтому отношение радиусов заменено r₂ / r₁ отношением диаметров  d₂/d₁

         Термическое сопротивление для  цилиндрической стенки имеет вид

                                                                                  (8.19)

причем при d₂/d₁ 1 расчет должен про­водиться с высокой точностью, поскольку небольшая погрешность, допущенная при определении отношения  d₂/d₁ ,  в этом случае дает значительную ошибку при вычислении логарифма.  Например, если значение d₂/d₁ = 1,09 округлить до 1,1 (погрешность округления меньше 1 %), погрешность вычисления логариф­ма, а следовательно, и теплового потока будет больше 10 %. С другой  стороны, оказывается, что при отношении  d₂/d₁ ≤1,5 погрешность определения термиче­ского сопротивления цилиндрической стенки по формуле

 R_λ  = δ / (λF),  справед­ливой для плоской стенки [поверхность трубы считается по среднеарифметиче­скому диаметру d = 0,5 (d₁ +d₂)], дает ошибку меньше  1,5 %. Более высокая точность в практических расчетах требуется редко.

         Для определения теплового потока через многослойную цилиндрическую стенку следует, как и для многослойной плоской стенки, просуммировать термические сопротивления отдельных слоев:

                             Q=               (8.20) 

         Отличие формулы (8.20) от (8.12) заключается только в способе расчета термических сопротивлений отдельных слоев для плоской и цилиндрической сте­нок. Но и это различие существенно только при больших отношениях наруж­ного и внутреннего диаметров каждого слоя  d_H/d_Bн =  d_{(i + 1)} > 1,5.  При мень­ших отношениях  d_H/d_Bн  термические со­противления отдельных слоев, как уже было показано, целесообразнее считать по упрощенной формуле  R_λi = δ_i / (λ_iF_i) , справедливой для плоской стенки.

         Расчет температур на границах слоев в данном случае осуществляется так же,  как для  многослойной  плоской  стенки, т.е. по формуле (8,13).

         Шаровая стенка. При постоянных температурах t_c1  и  t_c2  на внутренней (ра­диусом r₁) и наружной (радиусом г₂) поверхностях шаровой стенки темпера­турное поле одномерно в сферических координатах, т. е. температура изменяет­ся только по радиусу. Следовательно,

                Q = qF = - λF (dt / dr ) = - λ4πr² (dt / dr )                       (8.21)

         Разделив переменные и проинтегри­ровав по t в пределах от t_c1 до t_c2  и по  r  в пределах от r₁ до r₂

                                                                                   (8.22)

получим расчетную формулу для тепло­вого потока через шаровую стенку:

                               Q =                                      (8.23)

         Интересно отметить, что в отличие от цилиндра и пластины тепловая изоляция бесконечной толщины (r₂—>∞), нало­женная на шар, не исключает теплопотери от него даже в стационарном режиме:

                                     Q r₂—>∞ = 4πr₁λ (t_c1 - t r₂—>∞ )                         (8.24)

         Тела сложной конфигурации. В этом случае приходится рассматривать изме­нение температуры по двум или трем координатам, интегрирование уравнения теплопроводности сильно усложняется. Получить аналитическое решение часто не удается, тогда используют численные методы решения (§ 14.3).

         Иногда проще воспользоваться мето­дом электротепловой аналогии. Дело в том, что законы распространения теп­лоты и электричества в сплошных средах описываются одинаковыми по форме (аналогичными) уравнениями.

         Закон Ома в дифференциальной фор­ме j = - σ grad E аналогичен закону Фурье (8.1). Соответственно аналогич­ными получаются и решения задач теп­лопроводности и электропроводности для тел одинаковой формы. Каждому тепло­вому параметру в этих решениях соответствует вполне определенный элек­трический аналог: плотности теплового потока q — плотность тока j, тепловому потоку Q — сила тока I, температуре t — электрический потенциал E, тепло­проводности λ — электропроводность σ.

Обратите внимание на лекцию "Разновидности желтого тела яичников".

         Пользуясь электротепловой анало­гией, можно по имеющимся численным значениям электрических величин рас­считать соответствующие тепловые и на­оборот. Например, выражения для тер­мического R_λ и электрического R_э сопро­тивлений в решении любой конкретной задачи различаются только входящими в них значениями λ и σ. , т. е.

                                     R_λ / R_э  = σ / λ    или     R_λ = R_э σ / λ                       (8.25)

         Если получить аналитическое реше­ние сложной задачи не удается, можно сделать электрическую модель объекта, омметром замерить электрическое сопро­тивление, а затем рассчитать термиче­ское сопротивление и тепловые потоки.

         Наиболее   просто   изготовить   двухмерную электрическую модель. Из электропроводной бумаги, которая выпуска­ется нашей промышленностью, вырезают масштабную модель сечения исследуемо­го тела. Изотермическая граница моде­лируется линией постоянного электриче­ского потенциала. По этой границе к бу­маге прижимается металлический элект­род соответствующей формы. Теплоизолированная граница (если такая есть) моделируется просто краем бумаги.

         При решении двухмерных задач предполагается, что в направлении, пер­пендикулярном рассматриваемому  сечению, исследуемое тело имеет единичную длину. Если реальная длина тела l , то его термическое сопротивление R_λ  выразится через электрическое сопротивление  R_э¹ двухмерной модели и электропроводность σ¹ бумаги следующим образом:

                               R_λ = R_э¹ σ¹ / (λ l)                                           (8.26)