Фрикционные и зубчатые механизмы

8. Фрикционные и зубчатые механизмы

Фрикционные и зубчатые механизмы предназначены для передачи вращательного движения с одного вала на другой с помощью деталей типа диска в основном цилиндрической формы. При этом, как правило, меняется величина угловой скорости и передаваемого момента, а также их направление. Вал, от которого передаётся движение, называется ведущим, а вал, которому передаётся движение – ведомым.

Оси валов могут быть параллельными, пересекаться или перекрещиваться под различными углами. В первом случае механизм является плоским, в остальных случаях механизмы пространственные.

8.1. Общие сведения о передачах вращения

Если в механизме имеются только ведущие и ведомые валы и отсутствуют промежуточные вращающиеся звенья, то механизм называется передачей. Передача вращения может осуществляться:

1) путём непосредственного соприкосновения двух дисков, жёстко связанных с ведущим и ведомым валами (фрикционная, червячная, зубчатая);

2) посредством промежуточных гибких тел, сцепляющихся с дисками, которые жёстко связаны с ведущим и ведомым валами (ременная, цепная, волновая).

Отношения угловых скоростей вращения обоих валов передачи называется передаточным отношением , которое характеризует процесс преобразования движения количественно.

Отношения угловой скорости ведущего вала к угловой скорости ведомого называется передаточным числом , которое определяет направление передачи энергии.

Рекомендуемые материалы

Величина   и   может меняться или оставаться постоянным за время одного оборота ведущего вала.

Любую передачу можно схематично представить в виде двух начальных поверхностей, контактирующих между собой, а плоскую передачу – в виде двух начальных окружностей, перекатывающихся друг по другу без скольжения и контактирующих в полюсе р (рис. 61). Тогда

,  т. е.

         -   передаточное число.

             рис. 61

Аналогично можно изобразить ременную или цепную передачи, а также пространственные передачи (рис. 62).

                                                         рис. 62

8.2. Фрикционные передачи

Одной из наиболее простых и во многих случаях достаточно надёжной является фрикционная передача, состоящая в простейшем случае из двух колёс (катков), закреплённых на ведущем и ведомом валах. Для передачи движения без скольжения необходимо приложить к одному из колёс силу Q, достаточную для возникновения трения в месте контакта (рис. 63), при этом касательная сила их сцепления равна по величине передаваемого окружному усилию.                                    

                     рис. 63

Фрикционные передачи могут быть с постоянным и переменным передаточным отношением. Последние называются вариаторами (рис. 64 а, б).

                                                               рис. 64

Достоинствами фрикционных передач являются: плавность и бесшумность в работе, простота конструкции, невозможность поломки при резком изменении крутящего момента на одном из валов благодаря возможности проскальзывания катков, возможность бесступенчатого регулирования скоростей.

Недостатками являются: необходимость прижимного устройства, непостоянство передаточного отношения, невозможность передачи значительных крутящих моментов.

В связи с указанными недостатками фрикционные передачи не получили такого широкого распространения как зубчатые.

8.3. Зубчатые передачи. Виды и классификация

Зубчатые передачи осуществляют передачу вращательного движения с одного вала на другой с помощью цилиндрических, конических, червячных колёс, имеющих специально профилированные зубья, при этом зубчатые колёса могут иметь прямые, косые, спиральные, шевронные зубья и др. (рис. 65).

                                                   рис. 65

При использовании непрямозубых колёс повышается плавность и бесшумность работы и увеличивается нагрузочная способность передачи.

В зубчатых передачах с пересекающимися осями в качестве начальных поверхностей используются усечённые конусы, вершины которых пересекаются в одной точке (рис. 66, а), а в передачах с перекрещивающимися осями теоретическими начальными поверхностями являются гиперболоиды вращения (рис. 66,б).  Такие передачи называются гиперболоидными.

                                                  рис. 66

Контакт зубьев 2-х колёс в таких передачах происходит по прямолинейным образующим mn. В машиностроительной практике ограничиваются отдельными короткими частями гиперболоидов. Например, используя среднюю часть гиперболоидов, получают винтовую зубчатую передачу, а если использовать усечённые конусы, близкие по профилю к гиперболоидам в их широкой части, то получим так называемую гипоидную передачу (рис. 66, б).

Частным случаем винтовой передачи является червячная передача, в которой малое колесо называется червяком, а большое – червячным колесом (рис. 67, а, б).

                                                 рис. 67

Червячные передачи могут быть с одно и многозаходными червяками, при этом число заходов червяка равно числу его зубьев.

Червячные передачи позволяют обеспечить большое передаточное отношение при сравнительно малых габаритах вследствие малого числа зубьев (заходов) на червяке, т. к.   (Z₁, Z₂ – число зубьев колёс). Однако коэффициент  полезного действия (КПД) передачи низок.

Предельные значения передаточных отношений для зубчатой пары составляет:

Ø 1…6 – для цилиндрических передач;

Ø 1…4 – для конических передач;

Ø 10…40 – для червячно-винтовых передач.

По форме профиля зуба различают передачи эвольвентные, циклоидальные, цевочные, а также передачи с зацеплением Новикова.

Наибольшее распространение получили эвольвентные передачи с профилем, предложенным Леонардом Эйлером в 1754 г. Преимуществом этого профиля является простота изготовления, достаточно высокая нагрузочная способность, малая чувствительность к неточностям межцентрового расстояния. Однако эвольвентный профиль удовлетворяет не всем требованиям, предъявляемым к современным зубчатым передачам. Так, например, в мощных передачах внешнего зацепления, где контактируют выпуклые зубья с малыми радиусами кривизны профилей, происходит их быстрое разрушение из-за недостаточной контактной прочности. Одним из путей повышения контактной прочности является использование внутреннего зацепления, в котором профиль зуба одного из колёс вогнутый. Другой путь – применение передач с зацеплением Новикова, где выпуклые профили зубьев одного из колёс, очерченные по дуге окружности, контактируют в вогнутыми профилями другого колеса (рис. 68). При этом нагрузочная способность передачи повышается в 2-3 раза по сравнению с эвольвентной, а также уменьшаются потери на трение.

       рис. 68

          Одной из интересных и перспективных передач является так называемая волновая передача (рис. 69), состоящая из жёсткого 1 и гибкого 2 зубчатых колёс, а также генератора волн 3 с роликами 4. При вращении генератора 3, благодаря разнице чисел зубьев жёсткого и гибкого колёс, приводится во вращение колесо 2, причём передаточное отношение может быть очень большим (). Автор волновой передачи – Массер (США, 1959 г.) указывал на возможность использования треугольного профиля зубьев.

                 рис. 69

К зубчатым передачам относятся передачи с некруглыми, секторными колёсами, колёсами, имеющими зубья на части обода и др.

Обычно в зубчатых передачах меньшее колесо называется шестерней.

Выбор той или иной передачи зависит от традиционной области её применения и конкретных функциональных особенностей механизма, в котором эта передача будет использована.

8.4. Основная теорема зацепления (теорема Виллиса)

Для постоянства передаточного отношения при зацеплении двух профилей зубьев необходимо, чтобы радиусы начальных окружностей зубчатых колёс, перекатывающихся друг по другу без скольжения, оставались неизменными. Если рассмотреть обращённое движение начальных окружностей, когда всей системе задана угловая скорость (), то второе колесо будет условно неподвижным и точка Р является мгновенным центром относительного вращения колёс (рис. 70,а). Эта точка, называемая полюсом зацепления, где контактируют начальные окружности, делит межцентровое расстояние на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям, т. к.

                         .

Рассмотрим обращённое движение профилей зубьев зубчатых колёс (рис. 70, б).

рис. 70

Точка контакта зубьев (точка к), принадлежащая первому колесу, вращается вокруг точки Р, которая будет мгновенным центром скоростей. Скорость  и совпадает с общей касательной к профилям в точке к при условии постоянства этого контакта.

В противном случае постоянного контакта не будет, так как появится составляющая  и профили разомкнутся (рис. 71). Так как рассматривается произвольное положение зубьев, то можно сформулировать теорему. 

     Нормаль  NN  к  касающимся  профилям  зубьев,      

                   рис. 71                   проведённая  через  точку их касания, делит   межцентровое  расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Эта теорема, сформулированная Виллисом в 1841 г., определяет основной закон зацепления профилей, которые не могут быть произвольными, а должны быть специально подобраны.

8.5. Эвольвента и её свойства

Наибольшее применение получили эвольвентные зубчатые передачи с профилем зубьев, очерченным по эвольвенте (рис. 72).

      Эвольвентой круга называется траектория точки, лежащей на прямой, которая перекатывается без скольжения по окружности радиуса r_в, называемой основной.

                  рис. 72  

         Эвольвента имеет следующие свойства:

 1) начинается с основной окружности;

 2) нормаль к эвольвенте является касательной к основной окружности;

 3) радиус кривизны эвольвенты в каждой её точке лежит на нормали к эвольвенте в этой точке.

Основная окружность представляет собой геометрическое место центров кривизны эвольвенты и является её эволютой.

8.6. Геометрия эвольвентного зацепления

В процессе зацепления зубья касаются друг друга различными точками профиля (рис. 73). Так как эти точки лежат на нормали к профилям, которая одновременно является касательной к обеим основным окружностям, то совокупность точек касания (линия ) совпадает с общей для обеих основных окружностей касательной NN. Эта линия называется теоретической линией зацепления, а линия  длиной g_α является её активной частью, где располагаются все точки контакта зубьев. Угол , измеряемый между нормалью  NN  к  профилям  в полюсе     

                            рис. 73                      зацепления Р и общей касательной к обеим начальным окружностям, называется углом зацепления. Таким образом: 

;                .

8.7. Качественные показатели зацепления

Одним из качественных показателей зубчатой передачи является коэффициент  перекрытия , равный , где р_в – шаг по основной окружности (расстояние между одноимёнными точками двух соседних зубьев, замеренное по дуге основной окружности). Коэффициент показывает сколько пар зубьев в среднем одновременно находится в зацеплении. Для прямозубой передачи обычно . Чем больше , тем более плавно и бесшумно работает передача.

Другим качественным показателем является коэффициент  скольжения, который учитывает влияние геометрии передачи и её кинематики на скольжение и износ профилей, скользящих друг по другу (рис. 74), что видно из картины скоростей. На этой картине:

- скорость точки к первого колеса;

- проекция этой скорости на касательную к контактирующим профилям;

   и   - тоже для колеса 2.

 Скорость скольжения колеса 1 и 2 относительно друг друга равна:

             .

Коэффициенты скольжения колёс 1 и 2 равны:

            ;             .

Эти коэффициенты равны нулю в полюсе (точка Р) и  увеличиваются с удалением от не-

                       рис. 74                        го по линии зацепления.

Таким образом, чем длиннее линия зацепления, (то есть, чем больше коэффициент  перекрытия ), тем больше скольжение и износ профилей зубьев.

8.8. Основные параметры зубчатых колёс

Основными параметрами зубчатого колеса являются (рис. 75):

z – число зубьев;

r_a – радиус (диаметр) окружности   

      выступов;

r_f – радиус (диаметр) окружности

      впадин;

r_b - радиус (диаметр) основной окружности;

r - радиус (диаметр) делительной      

                                    рис. 75                              окружности, т. е. окружности, ко-

                                                                              торая  является  начальной  в станочном зацеплении колеса с режущим инструментом;

р – шаг по делительной окружности;

h – высота зуба, равная h=h_a+h_f, где:

h_a – высота головки зуба;

h_f – высота ножки зуба;

m – модуль зацепления, определяемый из условия:

,  т. е.   (измеряется в мм).

Величина m стандартизирована, а делительная окружность является окружностью стандартного модуля.

Обычно размеры зубчатого колеса и зубьев выражаются через m.

Так, например: , где  - коэффициент  высоты головки зуба;

, где  - коэффициент  радиального зазора;

;  ;  , где α – угол исходного контура режущего инструмента.

Обычно для стандартных зубчатых колёс: ;  ;    α=20º.

8.9. Методы нарезания зубчатых колёс

Существует два принципиально различных метода нарезания:

        1) метод копирования;  2) метод обкатки.

В первом случае впадина зубчатого колеса фрезеруется на универсальном фрезерном станке фасонными дисковыми или пальцевыми фрезами, профиль которых соответствует профилю впадины (рис. 76).  Затем заготовку поворачивают

на угол 360º/Z и нарезают следующую впадину. При этом используется делительная головка, а также имеются наборы фрез для нарезания колёс с различным модулем и различным числом зубьев. Метод непроизводителен и применяется в мелкосерийном и единичном производстве.

      рис. 76

Второй метод обката или огибания может производиться с помощью инструментальной рейки (гребёнки) на зубострогальном станке; долбяком на зубодолбёжном станке или червячной фрезой на зубофрезерном станке. Этот метод высокопроизводителен и применяется в массовом и крупносерийном производстве. Одним и тем же инструментом можно нарезать колёса с различным числом зубьев. Нарезание с помощью инструментальной рейки имитирует реечное зацепление (рис. 77, а), где профиль зуба образуется как огибающая последовательных положений профиля инструмента, угол исходного контура которого α=20º (рис. 77, б). Зацепление между режущим инструментом и нарезаемым колесом называется станочным. В станочном зацеплении начальная окружность всегда совпадает с делительной.

Самым производительным из рассмотренных методов является зубофрезерование с помощью червячных фрез, которые находятся в зацеплении с заготовкой по аналогии с червячной передачей (рис. 77, в).

При нарезании долбяком осуществляется его возвратно поступательное движение при одновременном вращении. Фактически при этом осуществляется зацепление  заготовки  с  инструментальным  зубчатым  колесом – долбяком (рис. 77, г). Этот метод чаще всего используется при нарезании внутренних зубчатых венцов.

                                                      рис. 77

Все рассмотренные методы используются для нарезания цилиндрических колёс как с прямыми, так и с косыми зубьями.

8.10. Корригирование зубчатых колёс

При нарезании колёс режущий инструмент можно располагать ближе к заготовке или дальше от неё. Положение инструмента определяется расстоянием между делительной окружностью колеса и так называемой модульной прямой рейки, проходящей через середину высоты зуба режущего инструмента (рис.78). В зависимости   от  поло-

                                        рис. 78                                                  жения рейки по дели-

тельной окружности может перекатываться без скольжения либо модульная прямая рейки, либо начальная прямая, отстоящая от модульной прямой на величину смещения “b”, которое называется сдвигом или  коррекцией, а коэффициент χ (хи), равный χ=b/m, называется коэффициентом смещения инструмента. Если инструмент смещён от нарезаемого колеса, то χ считается положительным (положительная коррекция), а если – к центру колеса, то χ отрицателен (отрицательная коррекция). При χ=0 нарезаемое колесо называется нормальным (нулевым). Толщина зуба и ширина впадины такого колеса по делительной окружности равны.

При положительной коррекции увеличивается прочность зуба, но уменьшается длина линии зацепления, а следовательно и коэффициент  перекрытия . При отрицательной коррекции – обратный эффект, т. е. увеличивается плавность и бесшумность работы передачи, но прочность зуба уменьшается.

Зацепление двух зубчатых колёс характеризуется суммарным коэффициентом коррекции χ_Σ=χ₁+χ₂, причём возможны три случая:

1) χ_Σ=0 при χ₁=χ₂=0, когда в зацеплении находятся два нулевых зубчатых колеса (нулевое зацепление);

2) χ_Σ=0 при χ₁=-χ₂, когда в зацеплении находятся два корригированных зубчатых колеса, коэффициенты коррекции которых равны по величине и противоположны по знаку (равносмещённое зацепление с высотной коррекцией);

3) χ_Σ≠0, когда в зацеплении находятся два корригированных колеса, имеющих:

  а) χ_Σ>0 – положительное неравносмещённое зацепление с угловой коррекцией;

  б) χ_Σ<0 - отрицательное неравносмещённое зацепление с угловой коррекцией.

В первых двух случаях (χ_Σ=0) делительные окружности совпадают с начальными, угол зацепления  равен углу исходного контура рейки  и межосевое расстояние равно , в отличие от неравносмещённого зацепления, где делительные и начальные окружности не совпадают, ≠, а межосевое расстояние равно: ,  с учётом того, что     

         при    ;      и

;           .

8.11. Наименьшее число зубьев зубчатых колёс. 

Подрезание и заострение зубьев

При нарезании нулевых колёс с малым числом зубьев может возникнуть явление врезания головок зубьев режущего инструмента в ножки зубьев колеса. Это явление называется подрезанием зуба. При этом уменьшается его прочность и увеличивается износ рабочей части зуба (рис. 79). Согласно свойствам эвольвентного зацепления точки контакта зубьев эвольвентного профиля  совпадают  с  линией  NP,  начиная  с  точки N (рис. 80),  то 

         рис. 79      есть    высота    прямолинейной    части   головки  зуба  режущего

инструмента (рейки)  должна быть меньше отрезка PF, иначе часть головки зуба рейки   будет   контактировать  с  заготовкой  (нарезать  её)   не  по эвольвенте.

                                         рис. 80

Так  как  , а  ,  то

     и     при стандартных значениях ;  .

Для исключения подреза при Z<Z_min необходимо сместить инструмент от центра заготовки (положительная коррекция) так, чтобы ,    т. е.      

или с учётом того, что , получим при  коэффициент  коррек-

ции .  Эта величина χ определяет нижний предел коэффициента коррекции.

Если увеличивать коэффициент χ, то толщина зуба S_a у вершины (рис. 79) будет уменьшаться и при некотором χ_max наступит заострение зуба (S_a=0). Опасность заострения наиболее велика у колёс с малым числом зубьев (Z<15). Для предотвращения разрушения заострённого зуба коэффициент  смещения χ назначают с расчётом, чтобы S_a≥0,2m.

8.12. Выбор расчётных коэффициентов смещения

для передач внешнего зацепления

При назначении коэффициентов смещения χ₁ и χ₂  для любой передачи должны выполняться три условия:

1) отсутствие подрезания;

2) отсутствие заострения;

3) непрерывность зацепления.

Первое условие выполняется при ( определяются из условия отсутствия подреза). Второе и третье условия выполняются при ограничении верхних пределов  величинами  с учётом возможности заострения зубьев и уменьшения коэффициента перекрытия  до величины . То есть при выборе  необходимо чтобы , где  для каждого из колёс берётся наименьшим из значений, учитывающих заострение зуба и снижения  до величины .

Внутри указанных диапазонов χ назначаются так, чтобы по возможности улучшить качественные показатели передачи (прочность, износостойкость, плавность хода).

Для передачи можно построить область допустимых значений коэффициентов смещения в координатах  χ₁ и χ₂ , которая называется блокирующим контуром. Допустимые значения χ₁ и χ₂  расположены внутри контура (рис. 81). Для каждой передачи можно построить свой контур. Такие блокирующие контуры для различных  передач  имеются в справочной литера-

          рис. 81                        туре.

8.13. Цилиндрические колёса с косыми зубьями и их особенности

Образование косозубого колеса можно представить, если взять цилиндрическое прямозубое колесо и сообщить ему крутильную деформацию. При этом угол скручивания, образованный осью колеса и винтовой линией, является углом наклона винтовой линии βº.

Цилиндрические колёса с косыми зубьями применяются при передаче вращения между параллельными и перекрещивающимися осями. В передаче с параллельными осями углы βº обоих колёс равны по величине и противоположны по направлению при внешнем зацеплении и одинаковы по направлению при внутреннем зацеплении. Угол βº (рис. 82, а) называется углом наклона зубьев по делительному цилиндру радиуса r. С другими соосными цилиндрами, начальным (r_w) и основным (r_b) винтовая поверхность зуба образует, соответственно, углы  и  (рис. 82, а). Шаг винтовой линии равен:

                   .

                                                  рис. 82

В косозубом колесе различают торцовый m_t, нормальный m_n и осевой m_x модули, причём стандартное значение имеет нормальный модуль m_n, соответствующий размерам зуба, замеренным по нормали nn к его оси (рис. 82, б), что объясняется установкой режущего инструмента. Аналогично различают торцовый p_t, нормальный p_n и осевой p_x шаг (рис. 82, б), связь между которыми определяется формулами:

                      ;           .

Большим достоинством зацеплений с косыми зубьями является возможность получения малогабаритных передач. Так, если для прямозубого колеса , то для косозубого . В экспериментальных конструкциях  доводят до трёх и менее зубьев. Кроме того, увеличивается коэффициент перекрытия, доходя до 10 и выше, что также повышает нагрузочную способность и позволяет уменьшить габариты передачи. Недостатком является возникновение дополнительных осевых усилий, нагружающих подшипники. Этот недостаток устраняется в шевронных передачах.

8.14. Конические зубчатые передачи

Конические передачи являются передачами с пересекающимися осями вращения звеньев. Применяются, главным образом, передачи с углом между осями . Основные параметры аналогичны параметрам цилиндрических колёс (рис. 83), причём делительной окружностью стандартного модуля m является внешняя делительная окружность конического колеса диаметром d (рис. 83). Через модуль выражаются все остальные размеры. Для расчёта зубьев на изгиб используется величина среднего модуля, замеренного в середине ширины “в” зубчатого венца. Передаточное отношение равно:     .

                                                 рис. 83

В конических передачах  не имеет знака, а для определения направления вращения изображают векторы абсолютных скоростей точек на начальных конусах в виде кружка с точкой (на зрителя) и крестиком (от зрителя), как показано на рис. 83.

8.15. Червячные передачи

Червячные передачи являются передачами со скрещивающимися осями. Угол осей обычно равен . Принцип их действия аналогичен передаче винт-гайка.

Червяки подразделяются по числу заходов (винтовых линий) на одно и многозаходные число заходов Z₁ совпадает с числом зубьев. Винтовая линия на червяке характеризуется ходом винтовой линии , где r₁ – радиус делительной окружности; λ – угол подъёма винтовой линии по делительной окружности (рис. 84, а). Расстояние между двумя соседними витками называется шагом р, причём .

                                                       рис. 84

За основной параметр червячного зацепления принимается осевой модуль червяка m_S, равный торцевому модулю червячного колеса. Кроме того, стандартным параметром является относительный диаметр червяка .

По форме боковой поверхности резьбы различают конволютный, эвольвентный и архимедов червяки, образуемые при расположении резца трапециевидной формы как указано на рис. 84, б с режущей кромкой под углом λ наклона винтовой линии (1) или при λ=0 и смещении  (2), а также при  (3). Наименования червяков соответствуют наименованиям кривых, по которым очерчены зубья червяка в сечении, перпендикулярном его оси.

8.16. Кинематический анализ и классификация фрикционных

и зубчатых механизмов

В практике машиностроения чаще возникает необходимость понижения, реже повышения скорости при передаче движения от входного звена к выходному.

Механизмы для передачи вращения, в которых происходит понижение скорости вращения, называются редукторами, а механизмы, повышающие эту скорость, называются мультипликаторами.

По кинематическому признаку различают:

Ø механизмы с неподвижными геометрическими осями всех колёс (рядовые);

Ø механизмы с подвижными геометрическими  осями  некоторых колёс (эпи-

циклические), которые обладают одной степенью свободы (планетарные) или двумя и более (дифференциальные).

Кроме того, различают одно и многоступенчатые механизмы, которые состоят из одной или двух и более пар колёс соединённых последовательно (рис. 85, а), параллельно (рис. 85, б), или смешанно.

                                                         рис. 85

При проектировании механизмов для передачи вращения с заданным значением передаточных отношений и крутящего момента стремятся обеспечить высокий коэффициент полезного действия (кпд), минимальные габариты и вес.

Передаточное отношение одноступенчатого редуктора (при отсутствии скольжения) равно ,  т.е. отношению радиусов начальных окружностей или отношению чисел зубьев (для зубчатых колёс).

Передаточное отношение берётся со знаком (+), если соприкасающиеся колёса вращаются в одну сторону, и со знаком (-), если – в разные стороны. Обычно знак (+) передаточное отношение имеет при внутреннем касании колёс (рис. 86, б), а знак (-) – при внешнем касании (рис. 86, а). В случае  многоступенчатого  механизма  с  па-

                 рис. 86                   раллельным соединением колёс (рис. 85, б) получим        или    .

При последовательном соединении колёс (рис. 85, а)

                .

Таким образом, общее передаточное отношение многоступенчатого механизма равно произведению частных передаточных отношений отдельных ступеней, то есть  .

Причём промежуточные колёса в механизме с последовательным соединением не влияют на величину передаточного отношения, а служат лишь для изменения направления вращения. Эти промежуточные колёса называются паразитными.

Для кинематического анализа механизмов можно использовать графо-численный метод, наглядно иллюстрирующий характер распределения линейных скоростей звеньев механизма. Метод основан на использовании линейной зависимости скорости V от радиуса, т.е.  .

При построении картины, иллюстрирующей характер распределения линейных скоростей, сначала откладываются в выбранном масштабе  известные вектора линейных скоростей точек, закон движения которых задан (рис. 87).

                                                              рис. 87

Затем, проводя отрезки через концы векторов известных скоростей, получим общую картину скоростей.

Для определения угловых скоростей (частот вращения) всех звеньев удобно использовать план угловых скоростей (частот вращения), где отрезки  соответствуют угловым скоростям (частотам вращения) колёс 1, 2, … (рис. 87). При этом схема редуктора вычерчивается в масштабе , а так как отрезки  пропорциональны , то . Выбор полюсного расстояния  может быть произвольным.

8.16.1. Кинематический анализ эпициклических механизмов

Простейший эпициклический механизм (редуктор Джемса) состоит из центральных колёс 1 и 3 (рис. 88), сателлитного колеса 2 и водила Н. Если одно из центральных колёс, например, колесо 3 остановить с помощью тормоза Т, то эпициклический механизм превращается в планетарный, где при вращении колеса 1 колесо 2 обегает неподвижное колесо 3, вращая водило Н с угловой скоростью . Степень подвижности такого редуктора равна единице.

                                                              рис. 88

Для планетарного механизма можно построить картину скоростей и план угловых скоростей (частот вращения), используя рассмотренные выше приёмы (рис. 88). План угловых скоростей можно использовать для приближённого определения передаточного числа планетарного механизма, которое равно            

                                  .

Аналитически передаточное число определяется с использованием метода обращения движения, когда механизму в целом сообщается вращение с угловой скоростью обратной скорости водила (). При этом относительное движение звеньев не изменится, а водило Н в обращённом движении будет оставаться неподвижным и планетарный редуктор превращается в рядовой (с неподвижными осями). Если обозначить угловые скорости звеньев в обращённом движении с индексом в круглых скобках указывающим неподвижное звено, то

                     .

С другой стороны ,  т.е.  .

Если в эпициклическом механизме (рис. 88) оба центральных колеса совершают вращение, то степень подвижности такого механизма будет равна двум и он превращается в дифференциальный. Такие механизмы служат:

1) для привода одного рабочего органа от двух или более двигателей (т.е. для сложения движения нескольких ведущих звеньев);

2) для разложения движения одного вала на два и более независимых движений ведомых валов.

Определение угловых скоростей звеньев можно производить, пользуясь формулой Виллиса, которая позволяет получить любую неизвестную угловую скорость при заданных остальных скоростях. Эта формула записывается аналогично выведенной ранее для планетарного механизма, т.е.     

                                        .

Одним из распространённых типов дифференциальных механизмов являются так называемые замкнутые, в которых благодаря дополнительной зубчатой передаче связаны оба центральных колеса (рис. 89). Это позволяет использовать один двигатель для привода механизма. Для                                       определения     передаточного   

                       рис.89                                      отношения  используем формулу               

                                                                        Виллиса   .

Так как  , то  ,  где

,   т.е.    .

Отсюда     .

8.16.2. Эпициклические механизмы с коническими колёсами

Примером дифференциального механизма с коническими колёсами является дифференциал автомобиля (рис. 90). Согласно формуле Виллиса

                 .

        При    получим    

                 ,

т.е. при постоянной скорости вращения карданного вала и скорости автомобиля в целом полуоси   могут  вращаться  с  различ-    

                                    рис. 90                             ными или с одинаковыми скоростями. Например, на повороте скорости вращения полуосей пропорциональны радиусам поворота R₁ и R₂, а при ровной прямой дороге скорость полуосей одинакова и равна .

8.17. Некоторые вопросы синтеза зубчатых механизмов

Комплексные задачи синтеза зубчатых механизмов настолько сложны, что в полной постановке с учётом факторов кинематики и динамики они не решены до настоящего времени. Известны решения частных задач как геометрического, так и динамического синтеза зубчатых механизмов, причём эти решения часто носят характер рекомендаций по выбору параметров. Например, выбор передаточных отношений каждой ступени в многоступенчатом зубчатом механизме, где требуемое общее передаточное отношение равно

                            

рекомендуется осуществлять так, чтобы .  Это связано с возрастанием нагрузки по мере уменьшения угловой скорости. Указанное распределение передаточных отношений позволяет более равномерно распределить эту нагрузку между зубчатыми колёсами.

При заданных передаточных отношениях и известном числе зубьев колёс задача синтеза сводится к определению их параметров. При этом сначала выбирается материал колёс с учётом назначения передачи, условий работы и других факторов, затем определяется модуль передачи, позволяющий обеспечить изгибную и контактную прочность зубьев, а затем – все геометрические параметры зубчатых колёс.

Известны решения частных задач подбора чисел зубьев сложных зубчатых механизмов с учётом различных условий, например, геометрического характера.

8.17.1. Синтез эпициклических механизмов с цилиндрическими

 колёсами. Условия синтеза

При проектировании планетарного редуктора с заданным передаточным отношением возникает задача определения чисел зубьев при соблюдении следующих условий:

  1) кинематическое условие;

  2) условие соосности;

  3) условие соседства;

  4) условие сборки;

  5) условие правильного зацепления.

Физический и математический смысл этих условий разберём на конкретной схеме планетарного механизма с нулевыми эвольвентными цилиндрическими колёсами (рис. 91).

      Кинематическое условие обеспечивает заданное передаточное отношение и для данного механизма имеет следующий вид:

           

или  при    получим

                            рис. 91                                          .

Обычно допускается отклонение передаточного отношения в пределах 5% от заданного.

Условие соосности требует, чтобы оси колёс 1 и 4, в данном случае, совпадали для обеспечения зацепления сателлитов с центральными колёсами. Для этого необходимо, чтобы выполнялось соотношение радиусов делительных окружностей

           ,

а при одинаковых модулях всех колёс:                .

Условие соседства включает требование совместного размещения нескольких сателлитов по общей окружности так, чтобы они не задевали друг друга своими зубьями. Необходимость выполнения этого условия возникает при числе сателлитов  (увеличение числа сателлитов уменьшает нагрузку на зубья). В этом случае необходимо, чтобы  ( - радиус окружности вершин наибольшего сателлита). Так как

                 ;

                 ,

       то                                           (в)

где - число зубьев наибольшего сателлита (2 или 3).

Условие сборки учитывает необходимость одновременного зацепления всех сателлитов с центральными колёсами, т.е. установив первый сателлит и повернув водило на угол рад., необходимо в то же самое место установить следующий сателлит. Это может быть осуществлено, если зубья колёс второго блока сателлитов окажутся точно против впадин зубьев центральных колёс. Иначе сборку осуществить невозможно. Для формирования условия примем, что оба колеса всех  блоков сателлитов имеют одинаковую ориентацию зубьев друг относительно друга. После установки первого сателлита на ось водило должно быть повёрнуто на угол рад., при этом колесо 1 необходимо повернуть на угол  рад. С другой стороны угол поворота колеса 1 () должен быть кратным его угловому  шагу зубьев , в противном случае при повороте на угол  положение зубьев колеса 1 изменится и второй сателлит вставить будет невозможно.  Таким образом     (q – целое число)  и 

                       или       

Условие правильного зацепления включает условие отсутствия подреза у колёс с внешним зубчатым венцом и условие отсутствия заедания (интерференции) во внутреннем зацеплении. Эти условия имеют вид:

                                        

значение можно принять равным:

        - для колёс с внешним зацеплением;

        - для колёс с внутренним зацеплением.

8.17.2. Методы синтеза эпициклических механизмов

Задача подбора чисел зубьев колёс для эпициклическиого механизма в общей постановке является оптимизационной ввиду множества возможных решений. Её можно считать типичной задачей дискретного нелинейного программирования, если за критерий оптимальности принять габариты или вес механизма, а ограничениями на целочисленные параметры Z₁, Z₂,… будут условия (а-д). Такую задачу можно решать различными методами, например, численными методами направленного перебора, когда варьируются Z₁, Z₂,… с целью минимизации габаритов или веса при соблюдении ограничений. Такая задача может быть решена с помощью ЭВМ.

Применяются упрощённые методы, позволяющие найти одно из конструктивно допустимых решений. Один из таких методов – метод сомножителей.

Представим числа зубьев в виде нескольких сомножителей:

;      ;      ;      .    

Из условия (б) . Это уравнение превращается в тождество при:  ;   .

Тогда:   ;        ;

                  ;         .

Подставив эти выражения в условие (а), получим:     .

Таким образом, величину () можно представить в виде нескольких сомножителей (A, B, C, D). Далее определяются значения t, обеспечивающие выполнение условий сборки и правильного зацепления и выбирается одно из этих значений. Например, из условия сборки (г)

                                

"Влияние малого, среднего предпринимательства и крупного бизнеса на территориальную организацию населения" - тут тоже много полезного для Вас.

выбираются значения t, обеспечивающие целочисленность q. После этого можно определить числа зубьев.

Пример:    ;   .

Представим  , т.е. А=1; В=2; С=1; D=7.   Тогда

                           ,

следовательно условие сборки выполняется при     Так как при :

;   ;   ;   , то с учётом условий правильного зацепления, когда , принимаем . Тогда   ;     ;     ;     .