Одномерное уравнение фика
Одномерное уравнение фика
В 1855 году Фик предложил теорию диффузии:
В отсутствии конвекции перенос атомов через единичную площадку при одномерном направлении потока может быть описан уравнением:
(1) - первый закон Фика.
J - диффузный поток, скорость переноса вещества через единичную площадку. Минус означает, что процесс идет в направлении уменьшения концентрации растворенного вещества, то есть градиент отрицательный.
Из закона сохранения вещества следует, что изменение концентрации со временем должно быть равно уменьшению диффузионного потока в том же объеме:
(2)
Из (1) в (2):
- второй закон Фика.
При низких концентрациях примеси D = const:
Рекомендуемые материалы
- простое диффузионное уравнение Фика.
Решения уравнения проводятся для различных простых начальных граничных условий.
Постоянные коэффициенты диффузии.
1) Постоянная поверхностная концентрация (диффузия из бесконечного источника).
2) Постоянное число легирующих атомов (диффузия из ограниченного источника).
При низких значениях концентрация хорошо согласуется с постоянными значениями коэффициента диффузии.
При высоких концентрациях примеси форма диффузионных профилей отличается от расчетной. Здесь необходимо учитывать зависимость коэффициента диффузии от концентрации примеси.
Для объяснения зависимости коэффициента диффузии от концентрации примесей и других аномальных явлений при диффузии создаются различные атомистические теории- модели, основанные на взаимодействии дефектов с примесными атомами.
Механизмы диффузии в твердом теле.
При высоких температурах (T) в кристалле возникают точечные дефекты. Диффузия в твердом теле может быть представлена как движение атомов диффузанта в кристаллической решетке за счет вакансий или межузельных атомов.
1. Такой механизм диффузии, когда соседний атом, будь то атом примеси или собственный атом кристалла, мигрирует на место вакансии, называется вакансионным.
2. Механизм диффузии, при котором атом переходит из одного положения в другое, не попадая при этом в узлы кристаллической решетки, называется механизмом прямого перемещения атомов по междоузлиям.
3. Движение межузельных атомов, когда в процессе перемещения они вытесняют атом решетки и замещают его, а вытесненный атом при этом становится межузельным, такое перемещение собственных или примесных атомов называют механизмом непрямого перемещения атомов по междоузлиям или эстафетным механизмом.
4. С указанным механизмом непосредственно связан и краудионный механизм, при котором межузельный атом, расположенный посередине между двумя узлами решетки, перемещается к одному из них, смещая при этом атом, расположенный в узле. Вытесненный атом становится межузельным и занимает промежуточное положение в решетке.
Сопоставление теории и эксперимента обнаружило, что диффузия примесей элементов третьей и пятой групп происходит по вакансионному механизму. Элементы первой и седьмой групп, имеющие малый ионный радиус, относятся к быстродиффундирующим примесям и механизм диффузии осуществляется по второму пути.
При низкой концентрации примеси процесс диффузии может быть описан решением простого уравнения Фика. При этом коэффициенты диффузии различных элементов определяются для разных температур.
В общем случае диффузия анизотропна. Однако в кубической решетке из-за ее симметрии диффузия изотропна. Процессы изотропной диффузии описываются посредством коэффициента диффузии D, который является скалярной величиной и определяется из первого закона Фика.
При одномерной диффузии
,
где J - плотность потока атомов или дефектов вещества,
D - коэффициент диффузии,
N - концентрация атомов или дефектов вещества.
Температурная зависимость коэффициента диффузии выражается следующим соотношением: D=D0exp(-Ea/kT),
Бесплатная лекция: "28 Международно-правовая регламентация положения населения" также доступна.
где Ea - энергия активации для скачка атома,
T - температура диффузии.
Для разных механизмов диффузии энергия активации различна. Например, для вакансионного механизма значение Ea равняется Ea= 3-4 эВ, а для диффузии по междоузлиям - Ea= 0.6-1.2 эВ.
Изменение концентрации растворенного вещества во времени при одномерной диффузии определяется вторым законом Фика:
. (*)
При диффузии на небольшую глубину примеси с относительно низкой концентрацией (концентрация примеси ниже концентрации собственных носителей при температуре диффузии) коэффициент диффузии не зависит от концентрации диффузанта. Значение коэффициента в этом случае принято называть собственным коэффициентом диффузии.
Для низкой концентрации примеси уравнение (*) можно записать в виде: 
.
Однако при высоких уровнях легирования наблюдается значительное увеличение коэффициента диффузии, что имеет место за счет влияния на движение примеси электрического поля, возникающего при химической диффузии, а также при взаимодействии примеси и точечных дефектов с дефектами, находящимися в различном заряженном состоянии.
