Кручение

Лекция 6. Кручение

Кручением называют такой вид нагружения, когда в поперечных сечениях бруса возникает только один силовой фактор – крутящий момент. Брус, работающей на кручение называется валом. При кручении вала его поперечные сечения поворачиваются друг относительно друга, вращаясь вокруг оси бруса.    

                                                           Рис. 19

Напряжения и деформации при кручении бруса. Под действием внешнего скручивающего момента, приложенного на правом конце бруса, левый конец которого жестко закреплен, брус будет закручиваться. Выделим из бруса элементарный цилиндр длиной  (рис. 19). Будем считать, что левое сечение бруса жестко закреплено. Под действием крутящего момента правое сечение повернется на некоторый угол .

Из рис. 19  видно, что  ,  откуда получаем

.

Из данной зависимости видно, что угол сдвига  изменяется по радиусу вала по линейному закону.

Деформация бруса при кручении характеризуется относительным углом закручивания  .  Согласно закону Гука при сдвиге, имеем   .    Откуда получаем:

Рекомендуемые материалы

.

Из данной зависимости видно, что касательные напряжения изменяются по радиусу по линейному закону.

                                                   Рис. 20  

При кручении все внутренние силы, распределенные по поперечному сечению, приводятся к одной составляющей -  к крутящему моменту. Касательные напряжения перпендикулярны радиусам, проведенные через точки их действия (рис. 20). Крутящий момент в сечении бруса определяется по уравнению

,

где плечо элементарной силы.

Подставляя значение касательного ускорения, получим

 

.

Элементарный угол закручивания

,  а полный угол закручивания бруса  .

Максимальное касательное напряжение в поперечном сечении бруса будет определяться по зависимости:

Таким образом, максимальное касательное напряжение в поперечном сечении бруса равно частному от деления крутящего момента на полярный момент сопротивления.

Расчеты на прочность и жесткость при кручении. Условие прочности при кручении имеет вид

Условие жесткости при кручении

.

Для бруса круглого сечения эти условия имеют вид

.

Построение эпюр крутящих моментов. Крутящий момент в сечении бруса определяется методом сечений. По модулю он численно сечения равен алгебраической сумме внешних моментов слева или справа от сечения.

Брус разбивается на участке и на каждом участке проводится сечение (рис. 21).

                                           Рис. 21     

В каждом сечении определяется крутящий  момент, а  затем  строится эпюра крутящих моментов. Для случая, изображенного на рис. 20,  крутящие моменты в сечениях 1 и 2 будут равны

.

Лекция 7. Плоский изгиб

Основные понятия и определения. В отличие от деформации растяжения-сжатия и кручения изгиб представляет такую деформацию, при которой происходит искривление оси прямого бруса. Осью бруса называется геометрическое место точек центров тяжестей поперечных сечений бруса.

Если в сечении бруса действует только один изгибающий момент, то изгиб называется чистым. Если в поперечных сечениях кроме изгибающего момента действует и поперечная сила, то изгиб называется поперечным.

Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Изгиб называется плоским, если ось балки после деформации остается плоской линией. В противном случае имеет место косой изгиб.

В настоящем разделе рассматривается плоский прямой изгиб.

Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе. Так как нормальные напряжения зависят только от изгибающих моментов, то вывод формулы для вычисления  можно производить применительно к чистому изгибу.

          Статическая задача о плоском изгибе. Изгибающий момент в сечении представляет собой сумму моментов всех элементарных внутренних нормальных сил , возникающих на элементарных площадках поперечного сечения балки (рис. 22), относительно нейтральной оси

.

                                         Рис. 22

Данное выражение представляет собой статическую сторону задачи о плоском изгибе.

Однако его нельзя использовать для определения нормальных напряжений, так как неизвестен закон распределения напряжений по сечению.

Геометрическая сторона задачи о плоском изгибе. Выделим двумя поперечными сечениями элемент балки длиной  (рис. 23). Под нагрузкой нейтральная ось искривляется (радиус кривизны ), а сечения поворачиваются относительно своих нейтральных линий на угол . Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом остается неизменной

.

                                                

                                             Рис. 23

Определим длину отрезка волокон, отстоящего от нейтрального слоя на расстоянии

.

Относительное удлинение в этом случае будет

.

Зависимость  отражает геометрическую сторону задачи о плоском изгибе, из которой видно, что деформации продольных волокон изменяются по высоте сечения по линейному закону.

Физическая сторона задачи о плоском изгибе.  Используя закон Гука при осевом растяжении, получаем

.

Подставив в выражение, отражающее статическую сторону задачи о плоском изгибе, значение , получаем

откуда    

Подставив значение  в исходную формулу, получаем

Данное выражение отражает физическую сторону задачи о плоском изгибе, которое дает возможность рассчитать нормальные напряжения по высоте сечения.

Хотя это выражение получено для случая чистого изгиба, но как показывают теоретические и экспериментальные исследования, оно может быть использовано и для плоского поперечного изгиба.

Нейтральная линия. Положение нейтральной линии определим из условия равенства нулю нормальной силы в сечениях балки при чистом изгибе

.

Так как , то необходимо, чтобы нулю был равен интеграл . Данный интеграл представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной оси.  Так как статический момент сечения равен нулю только относительно центральной оси, следовательно, нейтральная линия при плоском изгибе совпадает с главной центральной осью инерции сечения.

Касательные напряжения. Касательные напряжения, которые возникают в сечениях балки при плоском поперечном изгибе, определяются по зависимости:

Обратите внимание на лекцию "4 Функции и структура государства".

где  поперечная сила в рассматриваемом сечении балки;

       статический момент площади отсеченной части сечения относительно нейтральной оси балки;

        ширина сечения в рассматриваемом слое;

        момент инерции сечения относительно нейтральной оси.

Касательные напряжения равны нулю в крайних волокнах сечения и максимальны в волокнах нейтрального слоя.