Спектральный метод анализа переходных процессов

Спектральный метод  анализа переходных процессов

7.1.1 Нахождение токов и напряжений в цепях с помощью преобразований Фурье

Представляя сложную э.д.с, через гармонические составляющие, мы пользуемся парой преобразований - прямым преобразованием, когда находим спектральную функцию

,                                             (3.1)

и обратным преобразованием, когда находим функцию  по ее спектральной функции

.                                      (3.2)

Можно заметить, что время  и частота  входят в эти формулы симметричным образом.

Эти преобразования, называемые прямым и обратным преобразованиями Фурье, лежат в основе спектрального метода анализа переходных процессов. Рассмотрим суть этого метода на примере нахождения тока в линейной цепи, на входе которой действует сложная периодическая э.д.с.

Зная спектральный  состав сложной э.д.с., можно на основании принципа суперпозиции найти результат воздействия  этой э.д.с, на цепь. Действительно, определив ток в цепи как следствие воздействия каждой гармонической э.д.с., можно найти и результирующий ток как сумму результатов воздействия гармонических составляющих этой э.д.с.

Рекомендуемые материалы

Пользуясь комплексным методом, найдем ток в цепи, имеющей проводимость  при воздействии на нее э.д.с, в виде периодической последовательности импульсов . Эта э.д.с. может быть выражена рядом Фурье (2.2). Пусть  есть частота следования импульсов. На основании выражения (2.6) -ая  гармоническая составляющая будет иметь комплексную амплитуду , где  - спектральная функция э.д.с. . Под действием э.д.с. в цепи возникает периодическая последовательность импульсов тока. При этом -ая  составляющая тока может быть определена через гармоническую составляющую э.д.с. согласно закону Ома:

.                                     (3.2)

Пользуясь рядом Фурье (2.2),мы найдем и сам ток в цепи как сумму всех составляющих тока, определяемых согласно выражению (3.3). Выражение (3.3) можно записать через спектральную функцию на основании (2.8), тогда получим:

.

Данное равенство справедливо для любых  и , т.е. можно записать:

.                                               (3.4)

Пользуясь этим соотношением, теперь можно указать последовательность решения задачи при определении тока в цепи при воздействии на ее вход одиночного импульса, т.е. непериодической э.д.с. В этом случае по заданной э.д.с.  с помощью прямого преобразования Фурье (3.1) находится спектральная функция . Затем на основании (3.4) находится спектральная функция импульса тока, после чего с помощью обратного преобразования Фурье (3.2) находится сам импульс тока в цепи:

.

Зная ток, легко определить и напряжение на элементах цепи. Напряжение может быть найдено и непосредственно по коэффициенту передачи цепи , т.е. известна амплитудно-частотная  и фазо-частотная характеристики цепи. Для определения напряжения на выходе цепи при воздействии на ее вход сложной э.д.с. , которую будем также называть входным сигналом, необходимо сначала с помощью (3.1) найти спектральную функцию входного сигнала . Затем с помощью (3.2) найти напряжение на выходе цепи  (выходной сигнал):

.                                    (3.5)

Из полученных формул можно сделать следующий вывод: электрические процессы (как стационарные, так и переходные) в любой линейной цепи, вызываемые действием сложной э.д.с., полностью и однозначно определяются частотными характеристиками цепи. Это означает, что при воздействии одинаковых э.д.с, на две цепи, имеющие одинаковые частотные характеристики, но выполненные из физически различных элементов, переходные процессы в них будут по характеру одинаковыми.

Таким o6paзом, при спектральном методе анализа переходных процессов всегда пользуются комплексными характеристиками цепи - комплексной проводимостью , комплексным сопротивлением  или комплексным коэффициентом передачи .

Комплексный коэффициент передачи, определяемый как отношение комплексных амплитуд гармонических напряжений на выходе и входе цепи в стационарном режиме, может быть записан в двух формах:

       (3.6)

или

.                         (3.7)

Здесь амплитудно-частотная, или просто частотная характеристика цепи  записывается в виде

,                                                               (3.8)

а фазово-частотная, или просто фазовая характеристика цепи определяется выражением

.                                                                    (3.9)

Величина  определяет угол сдвига (запаздывание) фазы выходного напряжения относительно фазы входного напряжения. Во многих случаях целесообразно использовать не угол ,a угол , который положителен , когда , т.е. если выходное напряжение отстает от входного.

Заметим сразу, что между частотной и фазовой характеристиками линейной цепи существует связь, которая будет подробно рассмотрена ниже (главы 5 и 8).

В обратном преобразовании Фурье, записанном в  виде  (3.5), в подынтегральном выражении имеется произведение , определяющее спектральную функцию выходного сигнала через спектральную функцию входного сигнала с помощью комплексного коэффициента передачи. В спектральном методе иногда вызывает наибольшие трудности вычисление обратного преобразования Фурье. Определение же спектральной функции выходного сигнала более просто, и по ее выражению (или графику) можно произвести качественный анализ переходного процесса, т.е. дать качественную оценку выходного сигнала.

7.1.2 Свойства цепи R, С

В качестве примеров применения спектрального метода рассмотрим процессы в цепи  и выясним некоторые ее свойства, важные для многих радиоэлектронных систем.

Будем рассматривать два случая  цепи . В первом случае выходное напряжение снимается с активного сопротивления  (рис.3.1а), а во втором с емкости (рис.3.1б).

Для первого случая коэффициент передачи цепи имеет выражение

,                               (3.10)

где  - постоянная времени цепи. На основании (3.10) находим частотную и фазовую характеристики цепи:

,                                                                         (3.11)

.                                                                           (3.12)

Графики этих характеристик показаны на рис. 3.2a,б. Полоса пропускания цепи. определенная на уровне 0,707, простирается от нижней граничной частоты  до . Частота  находится из равенства

,

т.е. .

Рассмотрим случай воздействия на такую цепь прямоугольного импульса (рис.3.3а). Сначала найдем его спектральную функцию . Для этого воспользуемся выражением (2.8) спектральной функции прямоугольного импульса (рис.2.5), опережающего на время  заданный импульс. Используя теорему запаздывания (2.19) ,получим:

.

Затем, пользуясь обратным преобразованием Фурье, находим напряжение на выходе цепи

Вычисляя первый интеграл, получаем

.

Второй интеграл отличается от первого подынтегральным множителем , что указывает на фазовый сдвиг у подынтегральной функции по сравнению с функцией первого интеграла. Следовательно, при вычислении второго интеграла мы находим функцию, запаздывающую на время  относительно функции, найденной при вычислении первого интеграла, т.е.

Тогда на выходе цепи получаем напряжение

                                                         (3.13)

Первый член в правой части выражения  (3.13).совпадающий с ранее полученным выражением (1.9), .показывает, как изменяется напряжение на сопротивлении  во время заряда емкости (когда ) при подаче на вход цепи постоянного напряжения . Для интервала времени  напряжение на сопротивлении  определяется разностью первого и второго членов выражения (3.13), т.е.

.

Это выражение показывает изменение падения напряжения на сопротивлении  за счет тока разряда емкости , появляющегося после прекращения действия импульса. Таким образом, напряжение на выходе цепи в данном случае описывается разрывной функцией (3.13).

График выходного напряжения показан на рис.3.3б и 3.3в соответственно для случаев  и .Как видно, во втором случае импульс на выходе цепи существенно отличается по форме от входного.

Это свойство цепи, преобразующей входной импульс, используется для осуществления операции приближенного дифференцирования электрических сигналов. Убедимся в этом.

Пусть необходимо осуществить дифференцирование сложного напряжения , имеющего спектральную функцию , т.е. получить на выходе цепи напряжение , где  - постоянный коэффициент. Коэффициент передачи дифференцирующий цепи . Пользуясь выражением (3.5), находим

Из этого выражения видно, что дифференцирующая цепь должна иметь коэффициент передачи

.                                                                      (3.14)

Однако реальные четырехполюсники не имеют такого коэффициента передачи, и поэтому они могут осуществлять лишь приближенное дифференцирование. Если в выражении (3.10) положить , то коэффициент передачи рассматриваемой цепи (рис.3.1a) соответствует приближенно выражению (3.14). B этом случае напряжение на выходе цепи , т.е. падение напряжения на активном сопротивлении  будет приближенно пропорционально производной входного напряжения,т.е. . Поэтому цепь , удовлетворяющую условию , называют дифференцирующей цепью.

Условие  выполняется тем лучше, чем меньше  и чем ниже частота составляющих входного сигнала. Эго условие можно переписать так: . Следовательно, процесс преобразования входного напряжения ближе к процессу дифференцирования тогда, когда основная часть его спектра находится вне полосы пропускания  цепи. Если на цепь воздействует импульс напряжения, то условие  равносильно требованию , ибо чем больше , тем уже его спектр.

Теперь рассмотрим случай, когда в цепи  выходное напряжение снимается с емкости (рис.3.1б). Коэффициент передачи такой цепи имеет выражение

.                                               (3.15)

Частотная и фазовая характеристики, согласно выражению (3.15), записываются в виде:

,                                                  (3.16)

.                                                       (3.17)

Графики этих характеристик приведены на рис.3.4а,б. Полоса пропускания, определенная на уровне 0,707, ограничивается верхней частотой .

Пусть на входе цепи действует прямоугольный импульс (рис.3.5а) Найдем выходное напряжение, снимаемое с емкости. Зная спектральную функцию такого импульса, найденную в предыдущем примере, и коэффициент передачи цепи (3.15), с помощью интеграла Фурье находим напряжение на выходе цепи:

Вычисление первого интеграла дает выражение

.

Второй интеграл, отличающийся подынтегральным множителем , дает в результате вычисления функцию, запаздывающую на  относительно функции, полученной при вычислении первого интеграла. Окончательное выражение для напряжения на выходе цепи будет:

.                                                 (3.18)

Как видно из этого выражения и графика рис.3.5б, на участке времени  происходит заряд емкости от источника постоянного напряжения  и выражение совпадает с выражением (1.7), a после прекращения импульса, т.е. при , происходит разряд емкости через сопротивление . На рис.3.5б,в приведены графики выходного напряжения  соответственно для случаев  и .Как видно, во втором случае напряжение  существенно отличается no форме от напряжения на входе.

Такое свойство цепи, преобразующей входной сигнал, используется для осуществления операции приближенного интегрирования электрических сигналов. Покажем, что при условии  напряжение на емкости  (рис.3.5в) приближенно можно считать функцией, являющейся интегралом от функции .

Пользуясь интегралом Фурье для напряжений на входе и выходе цепи в общем случае, можно записать выражения:

          

Так как должно быть выполнено равенство

,

то можно записать:

,

где постоянная интегрирования по считается равной нулю.

Таким образом, коэффициент передачи интегрирующей цепи должен иметь выражение

.                                                                      (3.19)

Сравнивая выражения (3.15) и (З.19),видим, что коэффициент передачи цепи  будет приближенно такой же, как и у интегрирующей цепи, если выполняется неравенство  Иными словами, реальная цепь  будет интегрировать входной импульс тем точнее, чем больше постоянная времени  или чем выше частота составляющих спектра импульса. Это означает, что при заданной  интегрирование осуществляется тем точнее, чем больше ширина спектра импульса, т.е. чем меньше его длительность , а это и есть условие .

7.1.3 Свойства цепи R, L

Также как и в случае цепи  с помощью цепи  можно осуществлять преобразования сигнала, соответствующие приближенному дифференцированию и интегрированию. На рис.3.6а,б приведены две схемы цепи . В первой выходное напряжение снимается с индуктивности, а во второй - с активного сопротивления.

Коэффициент передачи первой цепи (рис.3.6а) имеет выражение

,

где  - постоянная времени цепи. Выражение для коэффициента передачи этой цепи приведено к виду выражения (3.10).Таким образом, коэффициент передачи такой цепи одинаков по своим свойствам с коэффициентом передачи цепи , если в последней выходное напряжение снимается с активного сопротивления. Следовательно, преобразования импульса в рассматриваемой цепи  будут такими же, как в упомянутой цепи  и в частности, будет осуществляться приближенное дифференцирование, если выполняется условие .

Для второй цепи  (рис.З.6б) коэффициент передачи имеет выражение

,

которое приведено к виду, соответствующему выражению (3.15). Следовательно, в такой цепи можно осуществлять преобразование сигнала, подобное рассмотренному для цепи ,  если в последней выходное напряжение снимается с емкости. В частности рассматриваемую цепь  можно приближенно назвать интегрирующей, если между постоянной времени цепи  и длительностью входного импульса  существует неравенство .

Иногда интегрирующие и  цепи в различных радиотехнических устройствах образуются за счет сопротивления  и нежелательных, но имеющихся в схемах так называемых паразитных емкостей  и индуктивностей . В этом случае интересуются длительностью фронта импульса на выходе цепи, если на вход подан прямоугольный импульс, т.е. производится оценка искажения импульса за счет интегрирующего действия цели с паразитными параметрами.

Длительность фронта определяется так же, как и в главе 1 определялось время установления переходного процесса в цепях. Длительность фронта, где , где  и  - моменты времени, в которые выходной импульс достигает соответственно 10% и 90% амплитудного значения . Так как нарастание фронта импульса происходит на выходе интегрирующей цепи по экспоненциальному закону (первый член выражения 3.18),то можно записать равенства

.               ,

откуда определяется длительность фронта .

7.1.4 Условия неискаженной передачи сигнала

В различных радиотехнических устройствах возникает необходимость обеспечить передачу через некоторую линейную цепь импульса или другого сложного сигнала без искажения его формы. То есть, если на входе цепи действует импульс , то на выходе желательно получить импульс напряжения , имеющий ту же форму, но, может быть, другую амплитуду.

Исходя из спектрального состава негармонического напряжения, можно установить условия неискаженной передачи его линейной целью. Для этого необходимо, чтобы соотношения амплитуд и фаз гармонических составляющих выходного напряжения была соответственно такими же, как и у входного напряжения. Это означает, что как изменения амплитуд, так и запаздывание во времени всех гармонических составляющих не должны завистеть от частоты.

Отсюда следует, что коэффициент передачи такой цепи  должен удовлетворять условиям

, .                         (3.20)

Здесь  - время фазового запаздывания (фазовой задержки). При выполнении условий (3.20) можно записать:

.                                                                    (3.21)

На рис.3.7 изображены частотная и фазовая характеристики цепи, удовлетворяющей условию (3.20). Такая цепь должна иметь бесконечно широкую полосу пропускания и линейно изменяющуюся фазовую характеристику, тангенс угла наклона которой равен времени задержки . Поясним сказанное с помощью рис.3.8, на котором показаны графики входного напряжения  и выходного напряжения .

Здесь начальные фазы обеих гармонических составляющих входного сигнала равны нулю, а . Если модуль коэффициента передачи , то амплитуды гармонических составляющих на входе и выходе цепи соответственно равны , . Далее, если фазовая характеристика линейна, то, полагая фазовый сдвиг гармонической составляющей частоты  на выходе цепи равным , находим фазовый сдвиг для гармонической составляющей частоты  на выходе цепи:

, .

Таким образом, напряжение на выходе имеет ту же форму, что и напряжение на входе цепи, но “запаздывает” по времени на величину . Легко понять, что любой реальный сигнал будет передан такой цепью без искажения его формы.

Справедливость условия (3.20) можно показать и аналитически с помощью преобразования Фурье. Пусть на вход цепи подано напряжение , имеющее спектральную функцию . Выразим это напряжение с помощью интеграла Фурье:

,

или, пользуясь записью интеграла Фурье в тригонометрической форме, получим:

.

На выходе цепи, имеющей коэффициент передачи

,

получим напряжение, определяемое выражением

или

Пользуясь тригонометрической формой записи, получаем:

.

Действительно, напряжение на выходе имеет ту же форму, что и на входе, но изменено по величине в  раз и запаздывает по отношению к входному напряжению на время .

Любая реальная цепь не удовлетворяет условиям (3.20),полоса ее пропускания обычно ограничена некоторой частотой , где модуль коэффициента передачи начинает убывать с ростом частоты.

Для выяснения некоторых свойств цепи с ограниченной полосой пропускания рассмотрим так называемый идеальный фильтр нижних частот. Частотная и фазовая характеристики такого фильтра изображены на рис.3.9а,б. В отличие от идеального, у реального фильтра нижних частот частотная характеристика на граничной частоте не имеет резкого спада, а фазовая  характеристика отличается от линейной.

Для идеального фильтра в полосе его пропускания полагаем , , где  и здесь выбрано произвольно. Пусть в момент  на фильтр подан перепад напряжения величины ,  для которого coгласно (2.14) можно записать выражение

.

Тогда напряжение на выходе фильтра определяется выражением

где  - интегральный синус, значения  которого для различных значений аргумента находятся по таблицам.

На рис.3.10 изображен график функции . Наблюдающаяся здесь осцилляция, которая простирается до , является следствием идеализации частотной характеристики фильтра. Частота осцилляции совпадает с граничной частотой фильтра . В реальной цепи на ее выходе сигнал не может предшествовать моменту подачи сигнала на ее вход. Однако замена реальной частотной характеристики фильтра идеальной позволяет установить простую связь между полосой пропускания фильтра  и крутизной фронта выходного напряжения.

Крутизна фронта выходного напряжения находится с помощью выражения

.

Наибольшая крутизна фронта достигается в момент

.

В качестве длительности фронта сигнала принимается интервал времени ,где и -моменты времени, соответствующие значениям 0,1 и 0,9 от величины отношения . Так как средняя крутизна фронта между моментами и  близка к максимальной крутизне, то длительность фронта выходного напряжения

.

Заметим, что в  момент  напряженно на выходе фильтра равно половине стационарного значения, а сама величина , как мы видели, определяет наклон  фазовой характеристики . Так как при  крутизна фронта достигает максимума, то считают условно временем запаздывания или “задержкой” выходного сигнала момент достижения фронтом сигнала наибольшей крутизны.

У реального фильтра нижних частот по мере возрастания частоты модуль коэффициента передачи убывает. Граничной частотой реального фильтра обычно считают частоту , при которой коэффициент передачи принимает значение 0,707 от его максимальной величины.

Вместе с этой лекцией читают "5 Шахтный водосброс".

Длительность фронта импульса на выходе реального фильтра обычно принимается  равной

.                                                     (3.22)

Например, при подаче на вход  цепи сигнала в виде единичной функции напряжение на емкости имеет длительность фронта , где . Граничная частота цепи . Поэтому

,

т.е. совпадает с выражением (3.22).

Пользуясь формулой (3.22), можно выбрать полосу пропускания реальной цепи по заданной длительности фронта выходного импульса, если на входе действует импульс прямоугольной формы.