Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах
3. Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах.
3.1 Общие соображения
В типичном для практики случае различения сложных гипотез, когда один или несколько параметров функций правдоподобия 
неизвестны, общий метод вычисления отношения правдоподобия состоит в усреднении этих функций, рассматриваемых при фиксированных значениях параметров как условные, по априорному распределению вероятностей неизвестных параметров 
, которое считается заданным: 
.
Полученные в результате усреднения функции правдоподобия не содержат неизвестных параметров (являются безусловными) и далее могут рассматриваться как соответствующие простым гипотезам 
и 
. (Знак ~ мы будем использовать, чтобы отличать безусловные функции правдоподобия, полученные усреднением по неизвестным параметрам, от функций правдоподобия, изначально не содержавших таких параметров).
Необходимо помнить, что операция усреднения функций правдоподобия 
по априорным распределениям неизвестных параметров неминуемо приводит к уменьшению объема содержащейся в них полезной информации. Наглядно этот эффект проявляется в уменьшении статистического “расстояния” между различаемыми распределениями (“сближении” гипотез) за счет роста дисперсий функций правдоподобия. Процесс “сближения” гипотез поясняется рисунком 3.1, где изображен переход от функции правдоподобия 
, характеризуемой точно известным ожиданием 
, к безусловной функции правдоподобия 
, полученной усреднением условных функций правдоподобия 
по априорному распределению 
, которое для простоты и наглядности принято дискретным: 
, с математическим ожиданием 
.
Подчеркнем, что утрату части информации при вычислении безусловных функций правдоподобия следует понимать как неизбежную “плату” за априорную неопределенность. Иными словами, полученная в результате усреднения статистика отношения правдоподобия сохраняет всю доступную информацию (остается достаточной), однако объем этой информации объективно сокращается. Количественную оценку такого сокращения мы дадим позже.
Рис.3.1
