Многоканальная последовательная процедура с независимыми решениями

7.3. Многоканальная последовательная процедура с независимыми решениями.

Пусть в некоторой области пространства параметров решается задача проверки простой гипотезы  об отсутствии в ней сигналов против сложной альтернативы  о наличии  сигналов, при этом решение в пользу  должно сопровождаться оценкой числа сигналов и неизвестного параметра каждого из них, т.е. система должна обладать разрешающей способностью по этим параметрам. Из двух возможных вариантов построения схемы совместного обнаружения -оценивания – многоканальной и следящей (самонастраивающейся) рассмотрим только первый вариант. (Следящие схемы, обеспечивающие обнаружение и разрешение нескольких одновременно наблюдаемых сигналов  оказываются весьма сложными ). Типичным  примером такой ситуации является обнаружение в РЛС с разрешением по дальности или () доплеровской скорости. Проверка гипотез о наличии или отсутствии цели при этом проводится параллельно во всех элементах разрешения (каналах), принадлежащих одному угловому направлению и наблюдение должно продолжаться до тех пор, пока не будет принято решение относительно каждого из них. За оценки неизвестных параметров в первом приближении могут быть приняты номера каналов  в которых принято решение о наличии целей.

 В рамках правил с фиксированным объемом выборки для решения поставленной задачи вполне обоснованно применяется так называемое правило с независимыми решениями. Согласно этому правилу, решение в каждом канале принимается  на основании сравнения накопленного в нем за  шагов парциального отношения правдоподобия  (или его логарифма ) с решающим порогом ; при  в соответствующем канале принимается гипотеза , в противном случае - . Как было показано (см. раздел 4;5) вероятность ложной тревоги на выходе такой системы . Для того, чтобы поддерживать  на фиксированном уровне, при увеличении числа каналов необходимо обратно пропорционально  уменьшать величину , что эквивалентно увеличению решающего порога  примерно пропорционально .Одновременно, для поддержания постоянства вероятности пропуска  также пропорционально  должен увеличиваться объем решающей выборки , что совпадает с размером неизбежной “платы” за априорную неопределенность, присущей оптимальным правилам (см. раздел 4). Таким образом, при фиксированном объеме выборки правило с независимыми решениями оказывается достаточно близким к оптимальному.

Предположим теперь, что момент завершения процедуры в каждом канале не фиксируется заранее, а определяется вальдовским последовательным правилом (6.1). Очевидно, что необходимость увеличения верхнего решающего порога последовательной процедуры  для поддержания фиксированной частоты ложных тревог на выходе многоканального обнаружителя в данном случае сохраняется; соответственно (примерно пропорционально , см. формулу (6.4)) возрастает длительность обнаружения  . Однако более существенным в данном случае оказывается другой эффект, непосредственно связанный со случайным характером решающей выборки. Рассмотрим его подробнее.

Последовательная процедура с независимыми решениями продолжается до тех пор, пока не завершится  наблюдение во всех каналах, поэтому ее длительность совпадает с длительностью процедуры в канале, где решение было принято последним. Поскольку решение в каждом канале по условию выносится независимо, вероятность  завершения такой канальной процедуры к некоторому  шагу равна произведению вероятностей завершения шагу процедур во всех каналах:, где  функция распределения длительности последовательной процедуры в  канале. Поскольку по определению , величина  есть убывающая функция числа сомножителей , иными словами, с ростом  вероятность  незавершения многоканальной процедуры увеличивается.

 Математическое ожидание   дискретной величины  связано с ее функцией распределения соотношением:

Рекомендуем посмотреть лекцию "Развитие психологии в России в 20-30 гг. ХХ в.".

.

Очевидно, что с ростом  (уменьшением  ) средняя длительность последовательной процедуры  возрастает.

На рис.7.2. приведены полученные методом математического моделирования зависимости средней длительности последовательной процедуры от числа каналов  при наличии и отсутствии в них сигналов. Для сравнения там же приведена аналогичная зависимость для процедуры Неймана-Пирсона. Из рисунка видно, что для последовательной процедуры возрастает только связанная с порогом  длительность обнаружения , но и не зависящая от  длительность  наблюдения в каналах, не содержащих сигнал, причем с ростом числа каналов именно этот эффект становится определяющим (при увеличении  кривая  стремится к ). При этом длительность последовательной процедуры возрастает гораздо быстрее, чем для процедуры Неймана-Пирсона, и существует число каналов , при превышении которого последовательная процедура с независимыми решениями не только перестает давать экономию в длительности наблюдения, но и приводит к потерям.

Таким образом, процедура с независимыми решениями, достаточно близкая к оптимальной при фиксированном объеме выборки, оказывается малоэффективной или просто неприемлемой для последовательных правил, что подтверждает ранее высказанную мысль о том, что механический перенос на последовательные правила квазиоптимальных решений, полученных в классе правил с фиксированным объемом выборки, может привести к обескураживающим результатам и ошибочным выводам.

В частности, в ряде статей, опубликованных в начале 60-х годов, низкая эффективность последовательной процедуры с независимыми решениями послужила основанием для вывода о неприменимости методов последовательного анализа в системах с высоким разрешением, в том числе, радиолокационных, хотя на самом деле этот вывод справедлив лишь по отношению к вполне конкретной и заведомо неоптимальной процедуре.