Влияние априорной неопределенности на пороговые сигналы и характеристики обнаружения

5.2. Влияние априорной неопределенности на пороговые  сигналы   и характеристики обнаружения.

На практике при сравнении обнаружителей для различных моделей сигналов часто пользуются не величиной информации Кульбака – Леблера, а величиной порогового сигнала, т.е. расчетного отношения сигнал..помеха в одном отсчете, обеспечивающего принятие решения с заданными вероятностями ошибок первого и второго рода  и .

Рассмотрим пример такого расчета для полностью известного сигнала применительно к обнаружителю Неймана – Пирсона. (Напомним, что обнаружителем Неймана-Рирсона называют обнаружитель, обеспечивающий максимальное значение вероятности правильного обнаружения  при фиксированной вероятности ложной тревоги ).

Как было показано в разделе 2, логарифм отношения правдоподобия полностью известного сигнала имеет при гипотезе и альтернативе нормальное распределение:

 (5.1)

По определению, вероятность ложной тревоги есть вероятность того, что в отсутствии сигнала логарифм отношения правдоподобия превысит решающий порог:

где  - табулированный интеграл вероятностей.

Аналогично, для вероятности пропуска

Рекомендуемые материалы

.

При заданных  и  соответствующие значения аргумента  и  могут быть нацдены по  таблицам интеграла вероятностей . В результате мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:  (решающий порог) и  (необходимое отношение сигнал/помеха)

, (5.2)

 из которой следует: .

Пример расчета: задано .

Из таблиц интеграла вероятностей находим:

, откуда следует: .

Если при том же значении  задать , то , соответственно  и т.д..

Для других моделей сигналов взаимосвязь между вероятностями ошибок, значекнием решающего порога и пороговым сигналом носит более сложный характер, поэтому расчет возможен только численными методами, напрмер, методом последовательных приближений. Существует достаточное число таблиц и номограмм, позволяющих упростить этот расчет (см., например, Справочник по радиолокации по ред. М.Сколника).

Результаты таких расчетов удобно представлять в виде характеристики обнаружения, т.е. зависимости вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал..шум при фиксированной вероятности ложной тревоги. Примеры таких зависимостей для трех видов сигнала – с точно известными параметрами, с постоянной амплитудой и случайной фазой и с независимыми флуктуациями амплитуды приведены на рисунке 5.1.

Пользуясь характеристиками обнаружения можно определить значения порогового сигнала, которое необходимо , чтобы обеспечить заданные вероятности  и . Из графиков следует, что при переходе от полностью известного сигнала к сигналу с неизвестной фазой пороговое отношение сигнал/шум  возрастает примерно на 1,5-2 дБ (соответствующие кривые сдвигаются вправо). Для сигнала с флуктуирующей амплитудой характеристика обнаружения нарастает более медленно, проигрыш а пороговом отношении сигнал/помеха по сравнению с точно известным сигналом в области  достигает 10 дБ. Обратим внимание, что в области больших значений  характеристика обнаружения флуктуирующего сигнала идет выше, чем для сигнала с известной амплитудой, т.е. дисперсия сигнала в этом случае повышает его наблюдаемость, однако на практике такие значения  обычно не представляют большого интереса. Из графиков следует также, что при уменьшении вероятности ложной тревоги на порядок (в 10 раз), пороговый сигнал увеличивается на 0,5-1 дБ (в зависимости от типа сигнала).

Обратим еще раз внимание, что приведенные на рис. 5.1 характеристики обнаружения относятся к случаю, когда необходимое пороговое отношение сигнал/помеха обеспечивается при объеме решающей выборки .

На практике это условие зачастую не выполняется и требуемое пороговое значение сигнала обеспечивается  за счет накопления  отсчетов решающей статистики, (см. ф–лы 2.3; 3.6; 3.10; 3.16). Расчет обнаружителя  Неймана Пирсона при этом состоит  в поиске комбинации трех переменных: решающего порога , приходящегося на один отсчет отношения сигнал/помеха  и объема выборки , при которых обеспечиваются заданные вероятности ошибок первого и второго рода  и . Провести такой расчет для большинства моделей сигналов можно с использованием приведенных выше характеристик обнаружения и вспомогательных таблиц или номограмм, отражающих трансформацию распределений решающей статистики в процессе накопления.

Наиболее прост такой расчет для полностью известного сигнала, поскольку благодаря свойству композиционной  устойчивости нормального распределения решающая статистика как сумма нормально распределенных слагаемых (см. 5.1) остается нормальной, а от номера шага  зависят только ее параметры:

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 26 БССР в годы новой экономической политики (НЭП).

Решая относительно k систему уравнений, аналогичную (5.2):

,

получаем

Подставляя найденное  значение  в любое из значений аргументов  или , находим порог .

Пример расчета: пусть, как и в предыдущем примере , однако отношение сигнал/помеха в одном отсчете . При этом необходимый объем выборки ; решающий порог .