Кинетостатика механизмов

5. Кинетостатика механизмов

В этом разделе изучаются силы, действующие на звенья механизмов. Из-за ограниченности объёма данной работы здесь рассматриваются только механизмы с низшими кинематическими парами. Задачами этого раздела являются следующие.

1)Определение реакций в кинематических парах механизмов с целью их использования в дальнейшем для прочностных расчётов звеньев и элементов кинематических пар, сил трения, КПД и т. д.

2)Определение уравновешивающей силы или уравновешивающего момента на ведущем звене.

Для решения этих задач необходимо знать

1)кинематическую схему механизма и кинематические размеры его звеньев.

2)массы и моменты инерции звеньев.

3)внешние силы, действующие в машинах (применительно к  технологическим машинам должны быть известны силы полезного, т. е. технологического сопротивления, применительно к машинам-двигателям необходимо знать движущие силы).

5.1. Расчёт сил инерции

Рекомендуемые материалы

Расчёт сил инерции относится к предварительному расчёту, предшествующему основной задаче определения реакций в кинематических парах.

Силы инерции  возникают во всех случаях, когда звенья движутся непрямолинейно и/или неравномерно. Рассмотрим три вида движения звеньев.

Поступательное движение звена

Этот вид движения чаще всего относится к ползунам, движущимся относительно прямолинейных направляющих (рис. 5.1). Пусть при этом –это масса ползуна, – его ускорение.

        Сила инерции элементарной массы звена  . Если просуммировать все элементарные силы инерции данного ползуна, т. е. найти сумму , то получится главный вектор сил инерции звена, равный  . То есть главный вектор сил инерции, или просто сила инерции звена в его поступательном движении равна массе звена, помноженной на его ускорение. Знак «минус» в правой части формулы указывает на противоположность направления силы инерции по отношению к ускорению.

Вращательное движение звена

В этом движении находятся кривошипы, кулисы, коромысла и другие звенья механизмов. Возьмём стержневое звено ОА (рис. 5.2), вращающееся вокруг неподвижной точки О.

         Масса   звена   равна  ,  момент   инерции  относительно  центра  масс  S равен  .   Вращение происходит с угловой скоростью  и угловым ускорением . Расстояние между центром масс и центром вращения равно .

Вычислим ускорение, с которым движется центр масс S. Его нормальное ускорение равно , тангенциальное ускорение равно . Так как эти составляющие полного ускорения перпендикулярны друг другу, то полное ускорение равно . В результате наличия этого ускорения возникает сила инерции, приложенная в центре масс, направленная противоположно ускорению центра масс   

.

Угловое ускорение звена вызывает появление инерционного момента (или момента сил инерции), направленного по отношению к нему в противоположную сторону

                                                        .

В этой формуле момент инерции принимается относительно центра вращения и определяется формулой .

Частные случаи

1. .                  2. .

3. .

Плоско-параллельное движение звена

Такое движение совершают чаще всего шатуны механизмов. На рис. 5.3 изображён шатун, совершающий такое движение. Масса шатуна равна , момент инерции относительно центра масс равен .

Звено движется, имея угловое ускорение  и ускорение центра масс . Аналогично вращательному движению в этом случае также будут действовать оба инерционных фактора: сила инерции  , противоположная ускорению,  и момент сил инерции   , противоположный угловому ускорению.

5.2. Общие положения силового расчёта

Принцип Даламбера

Силовой расчёт механизмов выполняется на основе принципа Даламбера, позволяющего рассматривать подвижные системы, к которым относятся механизмы, как неподвижные, находящиеся в равновесии. Принцип Даламбера можно сформулировать так: если к системе сил, действующих на подвижную систему, добавить силы инерции, то такую систему можно рассматривать как находящуюся в равновесии, и к ней применимы законы статики.

Принцип освобождаемости

Если рассматривать механизм в целом, то имеющаяся в каждой кинематической паре, согласно принципу равенства действия и противодействия, пара сил (реакций), действующих по одной линии действия и равных по величине, уравновешивается и на равновесие механизма в целом не влияет. Так что даже в простом механизме определить эти реакции невозможно – они не войдут в уравнения равновесия. Для определения реакций необходимо механизм расчленить на части, каждая из которых была бы статически определима и в которой неизвестные реакции входили бы  в  число  внешних сил и в уравнения равновесия.

Статическая определимость групп Ассура

В кинематических парах пятого класса, будь то поступательная или вращательная пара, реакция характеризуется тремя параметрами: величиной, направлением и точкой приложения. Причём в поступательной паре реакция направлена перпендикулярно направляющей, т.е. известна по направлению. Два другие параметра неизвестны. Во вращательной паре реакция проходит через центр шарнира, т.е. известна её точка приложения. Два другие параметра также неизвестны. Таким образом, в любой кинематической паре пятого класса имеются два неизвестных. Согласно положениям теоретической механики для твёрдого тела (в том числе и для звена механизма) можно в плоскости составить три уравнения равновесия. Для статической определимости системы звеньев необходимо равенство количества уранений равновесия и количества неизвестных в них, то есть 

.

Это равенство совпадает с условием существования группы Ассура, следовательно, группа Ассура является статически определимой кинематической цепью, и силовой расчёт механизмов производится по группам Ассура.

5.3. Метод планов сил для определения реакций

в кинематических парах

Силовой расчёт группы Ассура

Рассмотрим группу Ассура второго класса второго вида, состоящую из шатуна 2 и ползуна 3 (рис. 5.4,а) и входящую в состав, например, кривошипно-ползунного механизма, одного из самых простых четырёхзвенных механизмов.

Группа изображается в масштабе . На ползун 3 действует внешняя сила   и сила инерции ползуна , на шатун действуют сила инерции , приложенная в точке S₂, и момент сил инерции . Крайними кинематическими парами группы Ассура являются вращательная пара в точке А и поступательная пара ползуна 3 со стойкой. Отбрасывая кривошип 1 и стойку 0, освобождаем группу Ассура от связей и вместо них прикладываем неизвестные реакции  в точке А и  в поступательной паре, проведя её линию действия через точку В перпендикулярно направляющей. Отброшенные звенья показаны на схеме штриховыми линиями.

Записываем уравнение равновесия всей группы в целом в векторной форме:

.

В правой части этого уравнения стоит нуль, указывающий на равновесие. В этом уравнении первый вектор известен по величине и по направлению, второй известен по направлению, третий известен по величине и по направлению, четвёртый неизвестен совсем. Уравнение в таком виде не может быть решено, так как в нём три неизвестных параметра, а необходимо только два. Для сокращения количества неизвестных разложим вектор  на составляющие, одну из которых, , направим перпендикулярно шатуну 2 и назовём тангенциальной составляющей. Вторую, , направим вдоль шатуна и назовём нормальной составляющей. Данная операция соответствует равенству . Составляющая  определяется  из уравнения равновесия шатуна 2 в форме моментов сил относительно точки В:

,

из которого имеем . Размеры плеч в этих выражениях измеряются в миллиметрах () на схеме механизма и с помощью масштаба переводятся в натуральную величину. Причём плечо  есть кратчайшее расстояние линии действия силы  от точки B. 

Если результат расчёта по приведённому выражению оказывается отрицательным, то в дальнейшем направление  следует принять обратным по отношению к принятому на схеме. Составляющая  и реакция  определяются путём построения  векторного многоугольника сил (рис. 5.4,б). Для определения реакции во вращательной паре В между шатуном и ползуном необходимо построить на основе уравнения равновесия план сил шатуна 2 отдельно от ползуна 3 (или ползуна 3 отдельно от шатуна 2). Например, уравнение равновесия шатуна 2 запишется так:

.

В этом уравнении первые два вектора известны полностью, третий вектор определится построением треугольника сил.

Силовой расчёт кривошипа

Как и в случае группы Ассура, необходимо прежде составить расчётную схему, приложив известные силы (рис. 5.5,а). В точке А прикладывается реакция со стороны отброшенного шатуна , которая равна и противоположна найденной выше реакции . В центре масс кривошипа прикладывается сила инерции, равная по величине  и направленная к точке А (это соответствует постоянству угловой скорости  кривошипа).

       В точке О кривошипа действует реакция  со стороны стойки, которую необходимо определить. Кроме того, к кривошипу необходимо приложить так называемый уравновешивающий момент , действующий на него со стороны машины-двигателя, приводящей в движение данную машину. Вместо уравновешивающего момента можно приложить уравновешивающую силу , задав точку её приложения, а направление выбрав произвольным. Выбор между уравновешивающими моментом и силой зависит от способа передачи движения от двигателя к технологической машине. Если этот способ в задаче не оговорен, то расчётчик  (студент) делает выбор по своему усмотрению. Остановимся здесь на выборе уравновешивающего момента. Определим величину этого момента, составив уравнение равновесия кривошипа в форме моментов сил относительно точки О: , из которого ясно, что . Для нахождения реакции  строится план сил согласно приведённому выше уравнению (рис. 5.5,б). Если приложить к кривошипу вместо уравновешивающего момента уравновешивающую силу, то она войдёт в векторное уравнение равновесия и повлияет на реакцию .

5.4. Определение уравновешивающей силы способом

Н.Е. Жуковского

Способ основан на принципе возможных перемещений: если система сил находится в равновесии, то сумма элементарных работ на возможных перемещениях точек приложения этих сил равна нулю. Можно поделить все работы на бесконечно малый отрезок времени, за который они совершаются, тогда можно заменить элементарные работы на мгновенные мощности и сформулировать принцип так: если система сил находится в равновесии, то сумма мгновенных мощностей этих сил равна нулю, то есть

.

Под знаком суммы в первом слагаемом представлены мгновенные мощности внешних сил, второе слагаемое – мгновенная мощность уравновешивающей силы. Пусть имеется некоторая точка  какого-либо звена механизма, движущаяся со скоростью , как показано на рис. 5.6. В этой точке приложена внешняя сила, образующая угол  с направлением скорости.  Мгновенная    мощность этой  силы вычисляется по формуле: . Повернём вектор скорости  на 90º в любую сторону и переместим вдоль линии её действия так, чтобы она своим концом упиралась в точку .  Опустим перпендикуляр из начала повёрнутого вектора скорости на линию действия силы. Длина этого перпендикуляра . Если выражение мощности силы поделить на масштаб скорости , т. е. , то, как видно в правой части выражения, произведение силы на плечо даёт момент  этой силы относительно начала повёрнутого на 90º вектора скорости точки приложения силы. Следовательно, мгновенную мощность силы можно представить как её момент относительно повёрнутого вектора скорости точки приложения. Такую операцию можно выполнить с любой внешней силой, тогда вместо равенства нулю мощностей можно записать равенство нулю моментов: .   Из этого вытекает следующее положение: если механизм находится в равновесии, то его повернутый на 90º в любую сторону план скоростей с приложенными к нему в соответствующих точках внешними силами как условный жёсткий рычаг  также находится в равновесии.

Это положение позволяет определить уравновешивающую силу.

Для решения задачи  возьмём кривошипно-ползунный механизм в произвольном  положении  и  приложим к нему  две  силы,  как  показано  на рис. 5.7. Построим повёрнутый на 90º план скоростей и  на концы векторов точек приложения сил перенесём данные силы, сохраняя их заданные направления. К концу вектора скорости точки А кривошипа приложим уравновешивающую силу перпендикулярно кривошипу. Записав уравнение равновесия плана скоростей, как жёсткого рычага, в форме моментов относительно полюса плана, имеем

,

откуда . Чёрточки над обозначениями плеч указывают на то, что они берутся в виде отрезков с плана сил. Их перевод в натуральные величины не требуется, так как отношение плеч от масштаба не зависит.

Вопросы для самопроверки

1. Что является основной задачей кинетостатики механизмов?

2. Какие данные должны быть известны для решения задач кинетостатики?

3. В чём заключается принцип Даламбера?

4. В чём заключается принцип освобождаемости?

5. Объясните принцип равенства действия и противодействия в кинематических парах.

6. Какие параметры сил известны и какие неизвестны в кинематических парах?

7. Какие кинематические цепи являются статически определимыми и почему?

8. В каких случаях возникают силы инерции в механизмах?

9. К чему сводится расчёт инерционных воздействий в различных случаях движения звеньев в плоскости? Привести необходимые формулы.

10. В какой последовательности выполняется силовой расчёт механизма?

Рекомендация для Вас - 12. Теория нормализации.

11. Перечислите методы силового расчёта механизмов.

12. Составьте уравнение равновесия группы Ассура второго класса любого вида в векторной форме.

13. Как определяются тангенциальные составляющие реакций?

14. В чём особенность силового расчёта ведущего кривошипа?

15. Что такое уравновешивающий момент (уравновешивающая сила)? Из какого условия он (она) определяется?

16. В чём отличие определения реакции в кинематической паре кривошипа со стойкой при действии на него уравновешивающего момента или  уравновешивающей силы?