Фрактальные агрегаты

ГЛАВА II. Фрактальные агрегаты

Большая часть окружающего нас мира состоит из нерегулярных объектов, построенных полностью необратимым путем. Образование деревьев, гор, рек являются достаточно общими примерами. Со времени введения концепции фракталов произошел некоторый прогресс в описании таких нерегулярных структур. Однако недостаточно только описывать нерегулярные формы, необходимо также понять внутренний механизм, который  приводит к ним.

Фрактальный агрегат (или фрактальный кластер) – это система, образующаяся из твердых частиц в процессе их слипания, один из типов кластеров с фрактальной структурой. Обычно кластером называют большое число связанных атомов или молекул, которые внутри этой системы сохраняют свою индивидуальность, однако, этот термин распространился и на системы, состоящие из большого числа связанных макроскопических частиц.

Такие агрегаты образуются и растворе при образовании геля, т. е., кластера, состоящего из соединенных частиц – золей, при образовании пленок на поверхности тела, находящегося в контакте со средой, содержащей аэрозоли и т. д. Тем самым фрактальный кластер (агрегат) образуется в процессах роста кластера при слипании твердых частиц, соединение которых происходит по определенному закону. Структура и свойства фрактальных кластеров  определяется физической природой процессов, протекающих при его образовании. Можно сказать и по-другому: рост фрактального кластера аналогичен ряду физических процессов и структур; аналогии этих процессов и структур состоят в том, что при некоторых условиях они имеют одинаковое математическое описание.

КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ

АГРЕГАТОВ

Детерминированные фрактальные агрегаты

Рассмотрим построение агрегата в соответствии с детерминированным правилом. Этот агрегат конструируется путем последовательного соединения идентичных сферических частиц радиуса а следующим образом. Начальная частица располагается в начале прямоугольной системы координат. Шесть других частиц присоеди­няются к ней, двигаясь вдоль положительных и отрицательных направлений трех базисных векторов. Зaтем этот ансамбль из семи частиц рассматривается как начальный: шесть таких же ансамблей присоединяются к его концам и процедура повторяется. Легко показать, что после р итераций возникает агре­гат, содержащий N = 7^p частиц в сфере ра­диуса R = З^ра.

Рассмотрим аналогичный, но бóльший агрегат, построенный после большого числа итераций. Этот агрегат содержит n(r) частиц, находящихся в сфере радиуса r с центром в начале координат. Так как r = З^Pа и n(r) = 7^Р, то между этими величинами существует связь n(r) = Ar^D, где А = a ^-D и D = ln7/ln5 = 1,7712.

Рекомендуемые материалы

Фрактальная размерность кластеров

Обычно, если такое соотношение справедливо, считается, что этот объект – фрактал, a D – фрактальная  размерность. D показывает,  как масса распределена в пространстве. Для плотно расположенных сфер в d-мерном евклидовом пространстве D = d. Для выстроенных в линию сфер в любом пространстве размерности d > 1, D = 1 и т. д. Таким образом, вышеприведенное определение D совпадает с обыч­ным определением размерности для гладких структур.

Обычно для агрегатов, построенных с помощью цепочек сфер (без перекрытия), фрактальная размерность  В вышеприведенном примере D ­ нецелое число и лежит между 1 и 3 (3 в данном случае – размерность пространства вложения). Вернемся к примеру и вычислим плотность материи, содержащейся в сфере радиуса r с центром в начале координат. Предполагая, что каждая сфера – единичной массы, для плотности р (r)  получим

Обычно для фракталов размерности D, построенных в d-мерном про­странстве, 

Это также справедливо для сфер с центром в r₀ от начала координат, если r >> r₀. Та­ким образом, для фрактальных агрегатов с D < d, чем больше размер сферы, окружающей частицу, тем меньше плотность материи в ней. Это означает, что, рассматривая всё большие и большие части фрактала, учитывают всё большие и большие пустоты. Другими словами, фрактал должен содержать пустоты всех размеров. Величина ρ(r) – это так называемая двухчастичная корреляционная функция: для данной частицы эта функция дает вероятность найти другую час­тицу на расстоянии r от первой. Таким образом, для фрак­тала корреляционная функция уменьшается по степенному закону от расстояния ρ ≈ r ^-a, а фрактальная размерность D не­посредственно входит в экспоненту.  

Сравним фрактал с перколяционным кластером, объектом, имеющим отношение к другим физическим процессам (см. главу 3).

Рассмотрим простей­шую модель построения перколяционного кластера. Возьмем кубическую решетку и соединим некоторые из соседних узлов решетки. Из этих соединительных линий и состоит перколяционный кластер. Введен вероятность р того, что соседние узлы решетки связаны так, что 1-р представляет собой вероятность того, что соседние узлы не соединены. Из связанных таким образом областей получим кластеры, обладающие фрак­тальной структурой. По мере роста вероятности р характерные размеры таких кластеров растут, и при некотором значении р = р_с образуется бесконечный кластер, что существенно в процессах переноса.

Этот кластер обладает фрактальными свойствами, однако, можно отме­тить его принципиальное отличие от фрактального кластера, образующегося в процессах роста. Для фрактального кластера его средняя плотность ρ падает по мере увеличения его размера R в соответствии с формулой ρ ~ R^D-d, где d – размерность пространства, D – фрактальная размерность кластера. Поэтому плотность фрактального кластера бесконеч­ных размеров стремится к нулю. Что касается перколяционного кластера, то он может стать бесконечным только при условии, что его плотность превышает некоторую критиче­скую вели­чину. Столь принципиальное отличие свойств этих кластеров отражает различие физических процессов, которые они описывают.

Естественные ограничивающие масштабы

Если бы фрактальные агрегаты были бесконечно большие и сделаны из бесконечно малых отдельных частиц, то не было бы никаких ограничений на свойства, описанные выше. Практически существуют два естественных (нижний и верхний) масштаба обреза­ния: размер отдельных частиц, а, и размер самого агрегата L. Обычно свойство n (r) ~ r^D справедливо только при a<<r<<L. Это показывает разли­чие между математическими фрак­тальными объектами (без ограничений) и физиче­скими фракталами. Моделирование реальных аг­регатов фрактальными структурами оправдано, если эти два масштаба обрезания достаточно хорошо разделены, т. е., практически, если агрегат достаточно большой (отношение L/a должно быть больше 10).

Случайные фракталы

Если в детерминированный способ построения агрегатов включить некоторый элемент случайности, как это бывает во многих естественных процессах роста, то можно построить случайные фракталы. Хорошо известный пример – это траектория движения брауновской частицы, которая имеет фрактальную размерность, равную двум (размер траектории изменяется как корень квадратный из ее длины). Основное отличие от детерминированных фракталов состоит в том, что вышеприведенные правила в данном случае справедливы только после соответствующего усреднения по всем статистически независимым реализациям объекта.

Экспериментальные методы измерения

фрактальной размерности

Основным непосредственным методом вычисления фрактальной размерности агрегата является количественный анализ (в соответствии с определением фрактальной размерности) микрофотографий объекта.

Если имеется большое число агрегатов разных размеров и есть убедительные причины считать, что они имеют одинаковую фрактальную размерность (успех метода служит хорошим тестом), то следует просто изобразить общую интенсивность как функцию характерного размера каждого агрегата. Этот размер может быть радиусом вращения объекта, или, более просто, радиусом наименьшей окружности или сферы, содержащей агрегат. Наклон этой кривой в логарифмических координатах дает фрактальную размерность. Это, конечно, лучший метод, если имеется достаточно большой набор агрегатов, чтобы уменьшить статистический разброс.

АГРЕГАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЧАСТИЦА-КЛАСТЕР

Ограниченная диффузией агрегация частица-кластер

Пионерская модель была создана Томасом Виттеном и Леонардом Сэндером. В этой модели частицы добавляются одна за другой к одному растущему кластеру. В первоначальной версии агрегационный процесс возникает от непод­вижной начальной частицы. Затем агрегат растет. На каждом шаге движущаяся частица стартует из случайно выбранной точки на большой окружности с центром в зародыше и совершает чисто хаотическое движение в пространстве до встречи с агрегатом (средняя длина пути такого диффузионного движения условно равна диаметру частицы). После первого столкновения частица считается жестко приклеенной к агрегату в месте соударения, затем другая частица стартует с окружности и т. д. Если движущаяся частица диффундирует слишком далеко от агрегата (как типичное, это расстояние в три раза больше радиуса большого круга), она выбывает из игры, и стартует другая частица (причина этого состоит в том, что вероятность для такой частицы вновь вернуться па окружность становится равномерно распределенной по ее длине).

Компьютерное моделирование такого подхода было впервые проделано на двумерной квадратной решетке. Затем эти вычисления были развиты для различных других решеток, более высоких размерностей, исследовался также ряд нерешеточных версий.

До недавнего времени обычно считалось, что виттен-сэндеровские агрегаты – простые самоповторяющиеся структуры, фрактальная размерность которых не зависит от природы базовой решетки и определяется только размерностью пространства вложения. Вычисленные фрактальные размерности виттен-сэндеровской модели как  функция размерности пространства d приведены в таблице.

Аналитические исследования, подтвержденные компьютерным моделированием (более чем 10⁶ частиц), показывают, что виттен-сэндеровские агрегаты являются специальным видом самоаффинных фракталов с фрактальной размерностью, большей в радиальном направлении (среднее направление роста), чем в тангенциальном направлении (перпендикулярно среднему направлению роста), и что фрактальные размерности зависят от типа решетки.

В термодинамическом пределе бесконечно большого агрегата структура должна образовать, звезду, сформированную из конечного числа бесконечно тонких иголок; число иголок зависит от типа решетки (4 для квадратной, 6 для треугольной и т. д.). В нерешеточном случае среднее число ветвей должно быть между 4 и 6. Из этих данных следует, что виттен-сэндеровская модель не обладает свойством универсальности, хорошо известным в статистической физике, которое требует, чтобы характеристические экспоненты не зависели от микроскопических деталей – таких, как природа базовой решетки. Такое нарушение универсальных свойств является следствием необратимого характера модели.

Экспериментальные реализации виттен-сэндеровской модели

 Виттен-сэндеровская модель, в которой движутся только отдельные частицы, неадекватно моделирует регулярные, или собственно-агрегацион­ные эксперименты (где все кластеры движутся), которые прово­дятся на аэро­золях или коллоидах. Тем не менее эта модель хорошо применима для изуче­ния агрегационных явлений, вызванных внешними полями, где, в дополнение к межчас­тичному взаимодействию, существует внешнее поле, которое при­водит к взаимодействию частицы и агрегата.

Виттен-сэндеровская модель является достаточно общей и используется для описания многих процессов  роста.

Отметим, что при применении к агрегационным экспериментам виттен-сэндеровская модель имеет большое неудобство, так как в ней невозможно никакие структурные изменения агрегата в течение процесса. Частица остается жестко фиксированной в точке соприкосновения и не может достичь другой, более выгодной позиции с меньшей общей энергией. В частности, эта модель не может быть непосредственно применена для описания кристаллического роста дендритов, где хорошо известно, что существуют анизотропные эффекты, поверхностное натяжение, поверхностная диффузия. Были развиты некоторые обещающие расширения виттен-сэндеровской модели, включающие внутренние анизотропные параметры, так же как и возможность частичной реконструкции. Эти исследования позволяю нам двигаться непрерывно от нерегулярных фрактальных форм к боле регулярным и периодическим структурам (например, наблюдаемым в снежинках).

Другие частица-кластерные модели

Установлено, что брауновская природа траектории частицы является существенной для воспроизведения фрактальной структуры. Все другие частица-кластерные модели, где частицы движутся по прямым траекториям, дают компактные  (D = d) агрегаты.

Так называемая баллистическая модель, в которой частицы движутся по случайным линиям в пространстве, была введена М. Волдом и Д. Саферлендом. Считалось, на основе численных результатов, что баллистические агрегаты могут быть фрактальными, но более эффективные недавние машинные эксперименты совместно с аналитическими аргументами определенно установили их компактный характер.

В так называемой модели дождя рассматриваются случайные прямые линии без параметров соударения, т. е., всегда проходящие через зародыш агрегата. Кластеры снова компактны, даже с много большей плотностью.

Пауль Мекин ввел обобщенную модель, рассматривающую фрактальные траектории с меняющейся фрактальной размерностью d_w. Для d_w = 2 получается виттен-сэндеровская модель. Также найдено, что фрактальная размерность увеличива­ется, когда d_w уменьшается до единицы (баллистическая модель), ниже которой остается постоянной и равной размерности пространства. Была построена другая интерполяционная модель между брауновским и баллистическим случаем, в которой длина свободного пробега при диффузии частицы может меняться по сравнению с диаметром частицы.

В этом случае наблюдается типичный переходный эффект. Для конечной длины свободного пробега, большей диаметра частицы, сначала наблюдается промежуточный режим роста, и котором агрегат, очевидно, более компактен; но, достигнув достаточно большого размера, он становится похож на виттен-сэндеровский агрегат. Баллистическая модель возникает только в пределе, когда длина свободного пробега стремится к бесконечности и всегда больше размера агрегата.

Другая очень простая частица-кластерная модель, в которой не рассматрива­ются ка­кие-либо траектории вообще, – модель М. Айдена, которая была введена для изучения роста опухоли. В этой модели на каждой итера­ции новая частица присое­диняется с равной вероятностью случайно на одно из возможных мест на поверхности. Эта модель может рассматриваться как предел d_w = 0, обобщенной модели, определенной выше, приводит также к очень компактным структу­рам. Однако если объемные свойства как баллисти­ческой, так и айденовской моделей тривиальны, их поверхности проявляют интересные несовершен­ства, которые сей­час активно изучаются.

КЛАСТЕР-КЛАСТЕРНЫЕ МОДЕЛИ АГРЕГАТОВ

Кластер-кластерные агрегаты, ограниченные диффузией

С тех пор как была создана виттен-сэндеровская модель, стало понятно, что она не является наиболее приемлемой моделью-агрегационных экспериментов па коллоидах и аэ­розолях. Теоретические значения фрактальвых размерностей (D ≈ 2,5) были слишком большими по сравнению с экспериментальными (D ≈ 1,7). Чтобы лучше описать эти экс­перименты, была предложена альтернативная кла­стер-кластерная.

Эта модель может рассматри­ваться как расширение виттен-сэндеровской модели, в которой сами кластеры могут дви­гаться вместе с части­цами. В первоначальной версии модель стартовала с набора иден­тичных сфери­ческих частиц, случайно распределенных внутри замкнутого куба. За­тем эти час­тицы начинали диффундировать в пространстве (аналогично слу­чайным блужда­ниям на решетке в виттен-сэндеровском случае). На границе куба задавались пе­риодические граничные условия. Когда две частицы стал­кивались, они необрати­мым образом соединя­лись вместе в форме твердого димера, который также мог диффундировать внутри куба, сохраняя свою ориентацию. Он мог соеди­ниться с другим димером или отдельной частицей и т. д. После каждого столкнове­ния два сталкивающихся кластера образуют но­вый больший кластер. Процедура может продолжаться до тех пор, пока в кубе останется лишь один агрегат.

В кластер-кластерной модели вводится параметр α, чтобы описать, как ско­рость кла­стера изменяется в зависимости от числа частиц i, принадлежа­щих ему υ_i ≈ i^α.  

Для реалистичных случаев достаточно отрицательных величин α, т. о., когда малень­кие кластеры движутся быстрее, чем большие, и в предельном случае бес­конечно малой начальной концентрации частиц было установлено, что все агре­гаты являются фракталами и их фрактальная размерность не зависит от α в боль­шом диапазоне изменения этой вели­чины. Фрактальная размерность зависит только от размерности пространства и сущест­венно меньше, чем в виттен-сэнде­ровской модели.

Проведено систематическое изучение влияния начальной концентрации час­тиц, пока­зывающее эффективное увеличение фрактальной размерности с концен­трацией. Кластер-кластерная модель с высокой концентрацией предложена как модель переходов, наблю­даемых в полимерных растворах.

Иерархическая модель

Иерархическая модель – это идеализированная версия кластер-кластер­ной модели. В этой модели следующие один за другим наборы кластеров из равного числа части: 2, 4, 8, . . ., 2^Р, . . ., строятся последо­вательно. На каждом шаге кластеры группируются па­рами и один из них может диффундировать в пространстве до соуда­рения с дру­гим. Эта версия концептуально много проще и дает такие же количественные результаты при меньшем компьютер­ном времени.

Эта версия привела к некоторым полезным аналитиче­ским и численным исследованиям. В частности, было анали­тически установлено, что, в отличие от час­тица-кластерной модели, в кластер-кластерной модели сущест­вует верхняя критическая размерность (d ≈ 9), выше ко­торой кластеры стано­вятся прозрачными друг для друга и, следовательно, их фрак­тальная раз­мерность становится независимой от раз­мерности пространства. В то же время были проделаны численные исследования до пространственной раз­мерно­сти, равной 6, и экстраполяция в большие размерности была в со­гласии с теоретиче­скими предсказаниями. Было также проверено, что нет влияния базовой решетки, так как нерешеточная иерархическая версия дала такие же численные ре­зультаты. После усреднения по большому числу трехмерных нерешеточных агрегатов найдена фрактальная размерность D ≈ 1,8, очень близкая к полу­ченной из экспериментов на коллоидах и аэро­золях.

С использованием иерархической версии были проверены слабые эффек­ты возмож­ной вращательной диффузии. Было также обнаружено, что кластер-кла­стерные агрегаты были анизотропны и по существу имели в сред­нем эллипсои­дальную форму. Системати­ческое изучение анизотропных свойств показывает, что отношение между наибольшим и наименьшим собст­венным значением радиуса вращения агрегата равно примерно пяти в d = 2 и десяти в d = 3. Однако та­кие эф­фекты, как наведенная анизотропия или зависимость от базовой решетки, никогда не наблюдались, в отличие от виттен-сэндеровской модели. В настоящее время считается, что кластер-кластерные агрега­ты приводят к простым само­по­добным случайным фракталь­ным  структурам.

Влияние тра­ектории кластера и химическая модель

Изучены некоторые рас­ширения клас­тер-кластерной модели, в ко­торых вводилась модификация траекто­рий. Баллистиче­ская кластер-кластерная модель, которая рассматривает слу­чайные прямолинейные траектории, хорошо иллюстрирует молекулярный режим аэрозолей. Показано, что та­кая модифика­ция, в отличие от виттен-сэндеровской модели, только слегка увеличивает фрактальную размер­ность конечных агрегатов. 

Чтобы учесть дальнодействующее притяги­вающее взаимодействие, можно также рас­смат­ривать прямолинейные траектории без парамет­ров соударения. И снова фрак­тальная  размерность лишь слегка  увеличивается.

Другое расширение, которое является кластер-кластерным вариантом модели М. Айдена, полностью исключает роль траектории: в отличие от диффу­зи­онно огра­ниченной агрегации, это расширение было названо химически ограниченной кластер-кластерной агрегацией. При построении этой модели вво­дится понятие вероятности соединения, и затем эта вероятность устремляется к нулю. В этом пределе кластеры некоторое время «изучают» все возможные соеди­нения и в конце концов выбирают одно случайное. Ин­терес к такой модели вызван тем, что она реализу­ется в коллоидах, когда, электростатическое отталкивание не полностью экранировано. Фрактальная размерность в этом случае равна D ~ 2 в d = 3 – немного, но все-таки боль­ше, чем величина D ~ 1,78, полученная в чисто диффузионном случае (с вероятностью соединения равной единице). Такое изменение фрактальных свойств агрегатов явно наблюдалось Д. Вейцем с соавторами в экспериментах на золотых коллоидах, сразу же после появления химической мо­дели.

Фрактальные размерности кластер-кластерной модели как функция про­странственной размерности в случае брауновской, баллистической (случайные прямоли­нейные траектории) и химической версии этой модели и в случае линей­ных траекторий без параметра соударения приве­дены в таблице.

Существующие математические модели описывают возможные физические ситуации при агрегации частиц и кластер. В следующей таблице, приведенной ниже, представлены значения фрак­тальной размерности кластеров, образующихся в трехмерном пространстве при различных механизмах роста. Деление на раз­ные спо­собы роста кластера может быть проведено по следующим параметрам. Во-первых, кла­стер может расти за счет присоединения

к нему отдельных частиц (аг­регация кластер-час­тица), двух кластеров, которые, в свою очередь, яв­ляются результатом агрегации кластеров меньших раз­меров (кластер-кластерная агрега­ция). Во-вторых, объединяющиеся частицы или кластеры могут иметь разный харак­тер движения в пространстве (брауновское или прямолинейное), а это отражается на компакт­ности кластера. В-третьих, компакт­ность образуемого кластера зависит от вероятности, с которой объединяются со­прикасающиеся частицы. Чем меньше эта вероят­ность, том глубже внедряются частицы в кластер или кластер в кластер, т. е., тем более компактным является об­разуемый кластер.