Свертка последовательностей и ее вычисление
Лекция 15.Свертка последовательностей и ее вычисление
Сдвиг последовательности
Пусть имеется последовательность 
. Мы можем превратить ее в бесконечную последовательность, положив 
. Выберем целое 
и определим 
. Найдем связь между преобразованиями Фурье этих последовательностей. Имеем
(1)
Циклическая свертка
Пусть имеются последовательности .и 
. Определим их свертку
Ещё посмотрите лекцию "4.3 Организация интерфейсов" по этой теме.
(2)
Операция свертки является коммутативной, и кроме того, последовательность, определенная формулой (2), автоматически будет периодической с периодом 
. Назовем ее циклической сверткой исходных последовательностей. Подсчитаем конечное преобразование Фурье.
(3)
Таким образом, преобразование Фурье от свертки равно произведению преобразований Фурье от сомножителей.
Использование окон
На практике мы имеем дело с исходными последовательностями большой длины, а дискретное преобразование Фурье применяем лишь к отдельным частям. В этом случае эта отдельная часть трактуется как периодическая последовательность, что приводит к искажению результатов. Например, исходная последовательность имеет вид 1,2,3,... Предположим, мы решили ограничиться значениями 
. Выбрав первые четыре члена, получим последовательность 1,2,3,4,1,2,3,..У этой последовательности имеется скачок при переходе от 4 к 1, чего нет в исходной последовательности. Для того, чтобы ослабить указанный эффект, используют сглаживающие окна, которые превращают конечную последовательность в периодическую без скачков на концах. Пусть 
последовательность, для которой 
, тогда у последовательности 
не возникает скачка из-за периодического продолжения. Эту последовательность называют сглаживающим окном. Согласно (3), 
. Обычно в качестве окон используют те же окна Хэмминга и Хеннинга, о которых шла речь выше.
Кратковременное преобразование Фурье
Пусть имеется исходная последовательность 
большой длины. Требуется изучить ее спектр с помощью ДПФ. Это означает, что на самом деле будет исследована лишь часть последовательности длины . Выбирают окно соответствующей длины, после чего, передвигая окно вдоль последовательности, получим набор спектральных коэффициентов, зависящих от положения окна. Это и есть кратковременный спектр. В этом смысле процедура напоминает Wave-let преобразование. Выбор длины окна является компромиссом между точностью и разрешающей способностью. Чем длиннее окно, тем больше коэффициентов будет найдено, но при этом будут получены усредненные по длине окна характеристики.
