Физические основы твердотельной электроники
Курс Твердотельной электроники
1. Физические основы твердотельной электроники
1.1. Диффузионный и дрейфовый ток в полупроводниках
Дрейфовые токи совпадают по направлению с вектором напряженности электрического поля 
и пропорциональны его модулю. Коэффициент пропорциональности между напряженностью и плотностью тока называется электропроводностью 
и представляет собой произведение заряда электрона 
, концентрации электронов 
или дырок 
и соответствующих подвижностей 
, 
, т. е. скорости в единичном поле с напряженностью 1 В/см. Отдельно для электронов и дырок:
Распределения концентраций в пространстве порождают диффузионные компоненты потоков и токов, пропорциональные градиентам, перепадам концентраций. Ограничимся одномерными распределениями концентраций 
, и потенциала 
,
Знак “минус” в этом выражении возникает из-за того, что поле направлено от более высокого потенциала к низкому. Градиенты концентраций в одномерном случае будут иметь по одной компоненте 
и 
.
Рекомендуемые материалы
Диффузионные компоненты токов могут быть выражены как
, 
. Минус в формуле дырочного диффузионного тока связан с тем, что для дырок направления тока и потока совпадают, а носители всегда диффундируют в сторону убывания концентраций. На рис. 1 показаны направления диффузионных потоков и токов для электронов и дырок.
В условиях электронейтральности концентрации избыточных электронов и дырок примерно одинаковы. Стрелки при кружочках показывают направления потоков. Потоки направлены в сторону убывания концентраций, т. е. против градиентов. Для электронов направления потока и тока противоположны.
Подвижности и коэффициенты диффузии связаны между собой соотношениями Эйнштейна
,
где 
эВ/К – постоянная Больцмана. При 
=290 К тепловой потенциал 
= 0.025 B.
Величины 
и 
будут иметь смысл скоростей диффузии аналогично скоростям дрейфа, а 
и 
– некоторых обратных расстояний, на которых происходят изменения концентраций. Эти величины будут определяться граничными условиями конкретных структур.
1.2. Зависимость подвижности от концентрации примесей,
температуры и электрического поля
Сложные кинетические эффекты, связанные с процессами релаксации импульса и энергии, могут быть качественно пояснены на основе простых моделей уравнений движения
, (1.1)
где 
– импульс носителя заряда; 
– время релаксации импульса, 
– электрическая составляющая силы Лоренца.
Производная в левой части и первый член в правой повторяют элементарный закон Ньютона для материальной частицы с массой 
: 
, где 
– ускорение. Второй член в правой части отражает явление торможения из-за столкновений (рассеяний) импульса, происходящих с частотой 
. Стационарный дрейфовый импульс, который устанавливается в постоянном поле 
в условиях 
при 
,
После выключения поля
и убывает из-за рассеяния по закону
т. е. экспоненциально с постоянной времени .
Стационарная дрейфовая скорость оказывается пропорциональна полю
, так что и подвижность 
в слабом поле связаны между собой только отношением заряда к эффективной массе носителя.
Время релаксации импульса зависит от температуры и концентрации рассеивающих центров из-за сложения частот столкновений
, где 
– частота столкновений с колебаниями решетки; 
– частота столкновений с ионами примеси.
Термин "частота столкновений" не вполне точно отражает сложные процессы обмена импульсами между подвижными носителями и колебаниями решетки и изменения импульса в полях ионов, но вполне подходит для качественного объснения физики совместного действия примеси и температуры на подвижность. Существенно, например, что
, где 
– длина свободного пробега на тепловых колебаниях решетки, эта величина зависит только от свойств материала и температуры решетки, а 
– результирующая скорость, которая складывается из тепловой скорости беспорядочного движения и дрейфовой скорости носителя в электрическом поле. Результирующая скорость определяется уравнением переноса для энергии 
, которое может быть записано аналогично (1.1):
Это уравнение также имеет своим аналогом элементарное соотношение формулы для работы 
через силу 
и расстояние 
, 
, тогда
В стационарных условиях и в отсутствии поля 
, в стационарных условиях энергия увеличивается во внешнем поле
В слабом поле 
и энергия растет пропорционально квадрату поля. Опыт показывает, однако, что в сильных полях скорость насыщается и стремится к величине 
, такой, чтобы
,
где 
– энергия оптического фонона. Ограничение дрейфовой скорости энергией оптических фононов и определяет поведение носителей в сильных полях. Такого рода соображения делают понятным смысл аппроксимаций зависимостей подвижностей и дрейфовых скоростей от электрического поля. На рис. 2 представлены зависимости дрейфовых скоростей электронов в кремнии от электрического поля при различных температурах.
1.3. Фундаментальная система уравнений
Фундаментальная система уравнений (ФСУ) включает в себя уравнения непрерывности для электронного и дырочного потоков и уравнение Пуассона для электростатического потенциала. ФСУ лежит в основе всех программ математического моделирования полупроводниковых приборов. В рассматриваемых нами одномерных случаях
, 
, 
,
где 
– скорость генерации, 
– скорость рекомбинации, 
– объемная плотность заряда, 
– относительная диэлектрическая проницаемость, 
Ф/см.
Знак минус для дырочного потока обусловлен тем, что при совпадении направлений тока и потока срабатывает хорошо известное из гидродинамики и диффузии условие непрерывности потока
,
где 
– концентрация частиц, а 
– плотность потока.
В трехмерном случае непрерывность потока электронов обеспечивается соотношением
Без учета генерационно-рекомбинационных процессов в стационарных условиях, например, для двумерного случая току разрешено только поворачивать, т. е. 
означает 
. В одномерном случае 
, 
и уравнения непрерывности упрощаются до диффузионно-дрейфовых уравнений, описывающих связь между пространственными распределениями потенциалов и концентраций при постоянной плотности тока. Например, для электронов
.
Даже в таком простом варианте постоянного тока имеем нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка для зависимостей и от координаты . В равновесии 
и
. (1.2)
Используя соотношение Эйнштейна, возвращаемся к стандартному больцмановскому распределению электронов в поле с потенциалом
, где 
при 
. В отсутствие тока изменение потенциала на 
мВ вызывает почти трехкратное изменение концентрации электронов. Это прямое следствие нелинейности диффузионно-дрейфового уравнения, а именно, дрейфового сомножителя 
.
Уравнение Пуассона представляет собой уравнение непрерывности потока вектора электрической индукции 
, где – объемная плотность заряда, 
, 
и 
– концентрации неподвижных носителей заряда, доноров и акцепторов соответственно. Если результирующая плотность объемного заряда равна нулю, то в одномерном случае напряженность поля сохраняется постоянной, а в двумерном – вектор напряженности поля может только разворачиваться. Постоянная положительная плотность объемного заряда вызывает линейный рост напряженности поля. Последнее соответствует хорошо известному из элементарной физики правилу, что вектор напряженности электрического поля начинается на положительном и оканчивается на отрицательном заряде. Рис. 3 иллюстрирует это положение.
На рис. 3а показано, что поток вектора электрической индукции увеличивается на два вектора при прохождении двух положительных зарядов. На рис. 3б правом рисунке окончание векторов на отрицательных зарядах соответственно уменьшает поток при прохождении слоя отрицательного заряда.
Аналогия между потоками векторов электрической индукции и электронного потока имеет и важные практические последствия. Например, в условиях электронейтральности 
и 
из уравнения Пуассона. И точно также сохранение электрического тока 
в условиях чисто дрейфового тока 
и постоянной проводимости дает то же самое уравнение Лапласа , решение которого целиком зависит от граничных условий.
1.4. Обеднение, обогащение и инверсия
Появление этих трех областей связано с зависимостью объемного заряда от потенциала. Как было указано в предыдущем разделе, при , и аналогично для дырок 
, величины 
и 
определяются условием электронейтральности и принципом детального равновесия
, 
, где 
– собственная концентрация в полупроводнике
,
где 
– результирующая концентрация примесей. В предельных случаях 
, 
или при 
, 
. Для частного случая n-материала 
, 
,
. (1.3)
Первый член в круглых скобках, единица, соответствует заряду доноров в области обеднения свободными носителями, электронами и дырками. Это ситуация на n–стороне ОПЗ p-n-перехода. Если положительный потенциал существенно превышает величину 
, то наступает обогащение основными носителями, электронами. Такое возможно на n-стороне n+-n контакта. И, наконец, возможна ситуация, когда отрицательный потенциал превысит некоторое граничное значение потенциала инверсии
. (1.4)
В этом случае концентрация дырок сравняется, а затем и превысит концентрацию доноров. Это может произойти на n стороне p+-n перехода или в МДП структуре при отрицательном напряжении на затворе. На рис. 4 представлена зависимость объемного заряда на поверхности полупроводника от поверхностного потенциала в МДП-структуре на подложке n- и p- типа. Для p- подложки 
и определяется (1.4) с заменой – на + и на .
 |
Зависимость для n подложки построена по формуле (1.3), концентрация доноров в n-подложке 1015 см-3, потенциал отложен в Bольтах, объемный заряд - в Кл/см3. Потенциал инверсии равен 
.
Вблизи нуля потенциала в полупроводнике имеет место линейная зависимость заряда от потенциала 
,
Пространственное распределение потенциала описывается при этом уравнением
с дебаевской длиной 
.
Следует отметить, что обеднение, обогащение и инверсия могут реализовываться и при отличных от нуля токах электронов и дырок, но уже при других потенциалах.
1.5. Потенциальный барьер
Простейший потенциальный барьер возникает внутри одного материала на границе, где изменяется концентрация легирующей примеси и соответственно концентрация подвижных носителей. Внутри однородного участка материала с постоянной концентрацией, например доноров из условия электронейтральности 
. В равновесии полный ток и из (1.2) следует, что
.
Между областями с концентрациями 
и 
возникает контактная разность потенциалов:
.
Положительно заряжается область с более высокой концентрацией доноров 
, потому что подвижные электроны уходят, диффундируют в область с меньшей концентрацией электронов и на сильнолегированной стороне остается нескомпенсированный положительный заряд доноров. Для перехода из области 2 в область 1 электрону необходимо преодолеть энергетический барьер высотой 
. На рис. 5 показан потенциальный барьер в зоне проводимости на границе областей с концентрациями доноров 
см-3 и 
см-3.
 |
Контактная разность потенциалов 
B, область обеднения на стороне 2 
мкм, область обогащения на стороне 1 
мкм.
На границе донорной и акцепторной областей p-n-перехода контактная разность потенциалов определяется аналогично
, (1.5)
поскольку 
и на p-стороне 
.
Контактная разность потенциалов всегда является разностью полных термодинамических работ выхода электронов из двух сторон контакта. Внутри одного материала эта разность определяется разностью положений уровней Ферми и дается выражением (1.5). В гетеропереходах и контакте металл-полупроводник контактная разность потенциалов будет определяться соответственно работой выхода или химическим сродством металла и полупроводников гетероперехода.
1.6. Область пространственного заряда p-n перехода
Одномерная полупроводниковая структура с p-n переходом представлена на рис. 6. Распределения доноров 
и акцепторов 
таковы, что в точке 
происходит изменение типа электропроводности с p на n. Вокруг этой точки образуется двойной электрический слой, содержащий объемный заряд некомпенсированных подвижными носителями доноров и акцепторов – область пространственного заряда (ОПЗ). Внутри него существует электрическое поле напряженностью 
и изменяется электрический потенциал 
. Их зависимости от x однозначно определяются распределением эффективной концентрации легирующих примесей 
. Рассмотрим эту взаимосвязь.
 |
Распределение потенциала в полупроводниковой структуре с p-n переходом описывается уравнением Пуассона, которое в одномерном случае имеет вид:
, (1.6)
в правой части которого фигурирует объемный заряд доноров и акцепторов, дырок и электронов. Получить аналитическое решение этого уравнения в случае произвольного распределения 
невозможно, поэтому теория полупроводниковых приборов обычно использует два приближения. Первое – приближение резкой границы ОПЗ, согласно которой существует четкая граница между ОПЗ и электронейтральными областями полупроводника. С одной стороны границы имеется объемный заряд, а с другой – электронейтральная полупроводниковая область и ее объемный заряд равен нулю (точки 
и 
на рис. 6). Второе приближение считает, что внутри ОПЗ можно пренебречь зарядом подвижных носителей и правая часть уравнения Пуассона становится не зависящей от потенциала:
(1.7)
Вне ОПЗ из-за неоднородного легирования областей p и n тоже существует электрическое поле
(1.8)
(‘+’ для p-области, ‘-‘ для n-области), но его напряженность обычно на порядки меньше, чем в ОПЗ. На границах ОПЗ эта напряженность имеет значения:
(1.9а)
(1.9б)
Потенциал на p-границе ОПЗ можно принять равным нулю или какому либо другому произвольному значению 
. На n-границе он будет выше на величину 
- контактной разности потенциалов:
(1.10а)
(1.10б)
Интегрирование уравнения (1.7) с граничными условиями (1.9а) и (1.10а) позволяет получить распределение напряженности электрического поля и потенциала в ОПЗ:
(1.11)
(1.12)
Вне ОПЗ распределение напряженности описывается формулой (1.8), а распределение потенциала имеет вид:
(1.13)
Положение границ ОПЗ определяется из системы двух нелинейных уравнений, которая получается при подстановке (1.11) и (1.12) в граничные условия (1.9б) и (1.10б):
(1.14)
Входящие в нее выражения для зависимостей 
, 
и 
приведены выше.
Система (1.14) достаточно надежно решается методом Ньютона. На рис. 7 приведены зависимости потенциала и напряженности электрического поля в полупроводниковой структуре с постоянной концентрацией доноров 
см-3 и гауссовым распределением акцепторов 
при 
см-3. Характеристическая длина 
= 0.76 мкм обеспечивает точку залегания p-n перехода = 2 мкм. На рис.8 приведены распределения концентраций дырок и электронов и плотности объемного заряда в том же переходе.
 |
Для более простого случая p-n перехода с однородно легированными областями и ступенчатым распределением примесей ( = 0):
;
; 
,
система уравнений (1.13) допускает аналитическое решение и приводит к известным формулам:
; 
; 
.
Выражения (1.10) и (1.11) тоже превращаются в известные:
; 
На рис. 9 представлены зависимости потенциала и напряженности электрического поля в ступенчатом p-n переходе c Na = 3.1015 см-3 и Nd = 1015 см-3 при разных значения приложенного напряжения.
1.7. Зависимость концентраций неосновных неравновесных носителей зарядов на границах от напряжения на переходе
Будем использовать формулу для контактной разности потенциалов:
. Поскольку в равновесии 
, 
, аналогично для дырок 
, 
, то
, 
.
 |
Если в последних соотношениях заменить 
, то получим искомые условия для зависимостей концентраций неосновных неравновесных носителей на границах от внешнего напряжения 
.
, 
.
Эти равенства носят названия условий Шокли [2]. В глубинах p- и n- материалов, на тыловых омических контактах, напряжения равны нулю и, следовательно, концентрации неосновных носителей равны равновесным 
и 
.
1.8. Рекомбинация неравновесных носителей заряда
В общем случае рекомбинация описывается формулой Шокли-Рида-Холла [7]
(1.15)
и 
зависят от энергетического положения ловушек 
относительно средины запрещенной зоны 
:
; 
.
Времена жизни электронов 
и дырок определяются объемной концентрацией ловушек 
, сечениями захвата ловушками электронов и дырок 
и тепловыми скоростями носителей 
:
.
На практике времена жизни электронов определяются эмпирическими аппроксимациями зависимостей от концентраций примесей и температуры. Эффективно действующие ловушки располагаются вблизи середины запрещенной зоны, так что 
и в нейтральных частях материала при уровнях легирования 
, 
преобладают линейные законы рекомбинации
, 
для дырок и электронов соответственно.
При глубоком обеднении 
и рекомбинация превращается в тепловую генерацию электронно-дырочных пар со скоростью
.
Если считать на n стороне перехода равновесной концентрацией дырок величину 
, то по условиям Шокли 
и 
. Решая это соотношение совместно с условием электронейтральности 
, имеем
и при высоком уровне инжекции 
.
Это справедливо и внутри области пространственного заряда перехода, тогда
. Эти примеры иллюстрируют довольно широкие пределы изменений скорости генерационно-рекомбинационных процессов внутри и вблизи p-n- перехода.
1.9. Условия на контактах и поверхностная рекомбинация
В полупроводниковых структурах возникают разные типы граничных условий. Прежде всего, это условия типа Дирихле,
т.е. фиксированные значения концентраций электронов и дырок и граничные значения потенциалов. Примером может служить диодная структура с идеальными омическими контактами. В такой структуре с толщинами и баз 
и 
, 
,
, 
.
На границах ОПЗ действуют условия Шокли
, .
Нуль потенциала может быть выбран в любой точке, либо в точке 
, 
, 
, либо в другом варианте, чаще применяемом при моделировании
, 
Более реальными граничными условиями для концентраций будут смешанные граничные условия в виде линейных комбинаций значений концентраций и их градиентов, которые возникают при использовании понятий скоростей рекомбинации или скоростей перехода носителей через контакт. Тогда уравнение непрерывности распространяется и на контактную область. Например, в точке 
, 
, точнее 
(1.16)
Здесь 
– рекомбинация на контакте, определяется аналогично объемной рекомбинации
.
и 
– скорости поверхностной рекомбинации или скорости перехода носителей через границу раздела.
В случае 
возвращаемся к условиям Дирихле. В противоположном случае, например, почти нулевой скорости поверхностной рекомбинации на границе раздела 
и 
, это уже граничные условия типа Неймана.
Аналогичная ситуация и с граничными условиями для потенциала. Граница раздела характеризуется постоянной плотностью поверхностного заряда 
, естественно создающей постоянную напряженность поля 
. В затворе МДП-структуры поверхностная плотность фиксированного в окисле заряда комбинируется с напряженностью поля, создаваемой потенциалом затвора в диэлектрике.
1.10. Распределение неосновных носителей заряда вблизи p-n-перехода
Пространственное распределение подвижных носителей заряда представляет собой решение уравнения непрерывности с описанными выше граничными условиями. Легко видеть, что при постоянной напряженности электрического поля Е ток изменяется только из-за изменения концентрации
. (1.17)
Интегрируя это выражение по области, где 
заметно превышает 0, получим
, где 
,
т.е. изменение электронного тока на p-стороне определяется рекомбинацией полного избыточного заряда электронов 
. Если искать из уравнения (1.17)
пространственное распределение электронов в виде 
, то для характеристической длины 
возникает соотношение
Знаки «+» или «–» зависят от направления электрического поля относительно направления градиента концентрации, т. е. от того, совпадают ли направления диффузионного и дрейфового потоков.
При 
совпадает с диффузионной длиной 
и переходит в так называемую длину дрейфа 
, если скорость дрейфа 
сильно превышает скорость диффузии 
. Независимо от величины и направления поля представляет собой среднее расстояние, которое успевают пройти носители за время жизни. В отсутствии рекомбинации 
и
.
Возникает характеристическая длина 
, т. е. пространственное распределение носителей заряда определяется только полем и температурой и характеристическая длина есть расстояние, на котором потенциальная энергия носителя в поле 
равна его кинетической энергии 
. Физический смысл знака минус соответствует тому, что при 
концентрация будет убывать, электроны удерживаются плюсом слева.
Общее решение диффузионно-дрейфового уравнения для неосновных неравновесных носителей заряда вблизи p-n-перхода с описанными выше граничными условиями обычно строится в виде линейной комбинации гиперболических функций, которые обладают теми же свойствами, что и экспоненты, но, как станет ясным из дальнейшего, представляют собой их более удобные линейные комбинации. Поместим для упрощения записей начало координат на границу ОПЗ p-n-перехода в n-области, т. е. в точку , тогда распределение дырок на n-стороне примет вид
.
Используя граничные условия 
, 
можно получить, что 
,
.
Диффузионный дырочный ток примет вид 
.
При 
дырочный ток стремится к величине 
Дырочный ток всегда уменьшается по мере приближения к тыловому контакту
, где -
– доля рекомбинирующих в базе дырок.
Люди также интересуются этой лекцией: 23 Структура формулы изобретения.
Для тонкой базы 
и 
, т. е. в отсутствие объемной рекомбинации дырочный ток определяется только толщиной базы, величина 
выступает в качестве скорости диффузии дырок в n-базе.
Приравнивая дырочные токи в нуле и при 
в отсутствии объемной рекомбинации
Можно получить для избыточных концентраций в нуле и при
и величина дырочного тока делается пропорциональной скорости рекомбинации на контакте. Электронный ток на p-стороне очевидно, выглядит аналогично с заменой диффузионной длины, коэффициента диффузии и толщины базы на 
, 
, и . Отношение диффузионных токов будет определяться равновесными концентрациями неосновных носителей заряда и соответствующими скоростями, в качестве которых, в зависимости от выполнения тех или иных условий, выступают либо скорости диффузии 
или 
или скорость рекомбинации 
. Может показаться, что влияет только на тыловые концентрации 
для дырок и 
для электронов. Однако скорость рекомбинации при малых толщинах базы определяет и величину тока неосновных носителей, если 
, то 
и дырочный ток уменьшается так, что при 
и ток тоже стремится к нулю, поскольку носители лишены возможности рекомбинировать как в объеме, так и на контакте.
