Шестнадцатеричная система счисления

2.3 Шестнадцатеричная система счисления

Данная система счисления имеет следующий набор цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}. Основание системы p =16.

Следующая таблица содержит представления десятичных чисел из диапазона 0-15 в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления.

Таблицей удобно пользоваться при преобразованиях чисел из одной системы счисления в другую. Количественный эквивалент некоторого целого n-разрядного числа вычисляется по формуле (1).

A₍₁₆₎=a_n-1*16^n-1+a_n-2*16^n-2+…+a₁*16¹+a₀*16⁰   

Например, число F45ED23C в десятичной системы счисления будет следующим:

15*16⁷+4*16⁶+5*16⁵+14*16⁴+13*16³+2*16²+3*16¹+12*16⁰ = 4099854908.

Десятичная система счисления

Данная система счисления имеет следующий набор цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, основание степени p =10. Количественный эквивалент некоторого целого n-значного десятичного числа вычисляется согласно формуле

A₍₁₀₎=a_n-1*10^n-1+a_n-2*10^n-2+…+a₁*10¹+a₀*10⁰

            Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для того чтобы в полной мере использовать системы счисления в своей практической работе необходимо уметь выполнять взаимное преобразование чисел между тремя рассмотренными системами счисления.

             Преобразование десятичных чисел в двоичные

Алгоритм преобразования следующий:

1) Разделить десятичное число А на основание системы счисления (в данном случае на 2).

2) Запомнить частное q и остаток а. Если в результате первого шага частное q0, то принять его за новое делимое и отметить остаток а, который будет очередной значащей цифрой числа. Далее вернуться к шагу 1, на котором в качестве делимого (десятичного числа) участвует полученное на шаге 2 частное.

3) Если в результате шага 1 частное q =0, алгоритм прекращается.

4) Выписать остатки в порядке обратном их получению. Тем самым будет составлен двоичный эквивалент исходного числа.

Рассмотрим два примера.

1.Преобразовать десятичное число 57 в двоичное число

Шаг           Деление               Частное               Остаток

1                 57/2                     28                        1                 (МЗР)

2                 28/2                     14                        0

3                 14/2                     7                          0

4                 7/2                       3                          1

5                 3/2                       1                          1

6                 1/2                       0                          1                 (СЗР)

МЗР – младший значащий разряд.

СЗР – старший значащий разряд.

В процессе преобразования следует учитывать, что частное от деления 1 на 2 составляет нуль, а остаток равен 1.

Результат: 57₁₀=111001₂.

2. Преобразуем десятичное число 134 в двоичное число.

Шаг                     Деление               Частное               Остаток

1                 134/2                             67                        0                 (МЗР)

2                 67/2                     33                        1

3                 33/2                     16                        1

4                 16/2                     8                          0

5                 8/2                       4                          0

6                 4/2                       2                          0

7                 2/2                       1                          0

8                 1/2                       0                          1                 (СЗР)

Результат: 134₁₀=10000110₂

Перевод чисел из десятичной системы счисления в

шестнадцатеричную

Практическое использование шестнадцатеричной системы объясняется тем, что число 16 есть число 2 в четвёртой степени. Поэтому шестнадцатеричную цифру используют как средство сокращённой записи 4-разрядного двоичного кода. Общая идея преобразования аналогична рассмотренной выше.

1. Разделить десятичное число А на 16. Запомнить частное q и остаток а.

2. Если в результате шага 1 частное q0, то принять его за новое делимое, записать остаток и вернутся к пункту 1.

3. Если частное q=0, то прекратить работу алгоритма.

4. Выписать остатки в порядке, обратном их получению. Тем самым составляется шестнадцатеричный эквивалент исходного десятичного числа.

1.Требуется преобразовать число 32767₁₀ в 16-ную систему счисления.

Шаг                     Деление               Частное               Остаток

1                 32767/16             2047                    15₁₀=F₁₆                         (МЗР)

2                 2047/16               127                      15₁₀=F₁₆ 

3                 127/16                 7                          15₁₀=F₁₆ 

4                 7/16                     0                         7                          (СЗР)

Результат: 32767₁₀=7FFF₁₆

2.Преобразовать число 634.

Шаг                     Деление               Частное               Остаток

1                 634/16                 39                        10₁₀=А₁₆              (МЗР)

2                 39/16                             2                          7

3                 2/16                     0                          2                          (СЗР)

Результат: 634₁₀=27А₁₆

                                    Перевод дробных чисел.

Любое дробное число в системе счисления с основанием p можно представить в виде

A_(p)=a_n-1*p^n-1+a_n-2*p^n-2+…+a₁*p¹+a₀*p⁰+a_-1*p^-1+a_-2*p^-2+…+a_-m*p^-m

Рассмотрим операции перевода чисел на примерах.

Перевести в десятичное представление дроби в двоичной системе счисления.

Как и в десятичной системе в двоичной системе для отделения дробной части от целой используется точка. Каждая позиция справа от этой точки имеет свой  вес – вес разряда дробной части числа. Значение веса в этом случае равно основанию двоичной системы, возведённому в отрицательную степень. Такие веса – это дроби 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и т.д., которые могут быть записаны как 2^-1, 2^-2, 2^-3, 2^-4 и т.д.

Преобразовать число:

110100,01001011=1*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+0*2⁰+0*2^-1+1*2^-2+   

+0*2^-3+0*2^-4+1*2^-5+0*2^-6+1*2^-7+1*2^-8

Перевести в десятичное представление дробь в шестнадцатеричной системе счисления:

1DF2,A1E4₁₆=1*16³+13*16²+15*16¹+2*16⁰+10*16^-1+1*16^-2+14*16^-3+

+4*16^-4

Рассмотрим проблему представления десятичных дробей в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления.

Общий алгоритм перевода десятичной дроби в другую систему счисления можно представить следующей последовательностью шагов.

1) Выделить целую часть десятичной дроби и выполнить её перевод в выбранную систему счисления по алгоритмам, рассмотренным выше;

2) Выделить дробную часть и умножить её на основание выбранной новой системы счисления;

3) В полученной после умножения десятичной дроби выделить целую части и принять её в качестве значения первого после запятой разряда числа в новой системе счисления;

4) Если дробная часть значения, полученного после умножения, равна нулю, то прекратить процесс перевода! Процесс перевода можно также прекратить в случае, если достигнута необходимая точность вычисления. В противном случае перейти к шагу 3.

Пример: Преобразовать десятичное число 0,34375₁₀ в двоичное:

2*0,34375=0,6875                 0       (СЗР)

2*0,6875=1,375                     1

2*0,375=0,75                         0

2*0,75=1,5                                      1

2*0,5=1                                  1       (МЗР)

Результат: 0,34375₁₀=0,01011₂

Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь108,406

1) Переводят целую часть десятичной дроби в двоичную систему счисления:

108₁₀=1101100₂

2) Переведём дробную часть в двоичную систему:

2*0,406=0,812                     0       (СЗР)

2*0,812=1,624                     1

2*0,624=1,248                     1

2*0,248=0,496                     0

2*0,496=0,992                     0

2*0,992=1,984                     1

2*0,984=1,968                     1

2*0,968=1,936                     1

…………………

Результат перевода следующий: 108,406₁₀ 1101100,01100111₂есс ная часть значения, полученного послеумножения, равна нулю, то прекратить процесс перевода! оритмам, рассмотренным выше;

Рассмотрим следующий пример: преобразовать десятичное число 634,328125 в шестнадцатеричное

634₁₀=27А₁₆

Перевод дробной части

16*0,328125=5,25     5(СЗР)

16*0,25=4,0               4(МЗР)

0,328125₁₀=0,54₁₆

Общий результат: 634,328125₁₀=27А,54₁₆

                                    

                                    Двоичная арифметика

Сложение и вычитание двоичных чисел без знака.

Сложение двоичных чисел подобно сложению десятичных. При сложении двоичных чисел (как и десятичных) операции начинаются с обработки наименьших значащих цифр, расположенных в крайних справа позициях. Если результат сложения значащих цифр двух слагаемых не помещается в соответствующем разряде результата, то происходит перенос . Цифра, переносимая в соседний слева разряд, добавляется к содержимому последнего. Сложение цифр любых одноименных разрядов может повлечь за собой перенос в более старший разряд. Перенос возникает, если результат сложения больше 1 в случае двоичной системы.

Рассмотрим пример:

Слагаемое  99…………………01100011

+

Слагаемое  95…………………01011111

Сумма        194………………..11000010

Рассмотренный пример свидетельствует о простоте процедуры двоичного сложения. Единственное неудобство, присущее двоичным операциям - громоздкость записи больших чисел в двоичной  форме, что вызывает множество переносов из одного разряда в другой. Рассмотрим таблицу 1. Результат сложения двоичных цифр одноименных разрядов находится на пересечении соответствующих строки и столбца. Если пересечение происходит на тёмном фоне, то имеет место перенос единицы в ближайший старший разряд.

В ближайший старший разряд.

Двоичное вычитание подобно десятичному. Таблица 2 иллюстрирует правило двоичного вычитания. Из таблицы 2 следует, что, если уменьшаемое меньше вычитаемого, то имеет место заём. Это происходит в том случае, когда из нуля, содержащегося в двоичном разряде, вычитается единица. Благодаря заёму единицы из ближайшего старшего разряда в одноимённом разряде результата получается единица.

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 14. Датчики Холла и магнитосопротивления.

 

Пример:

               Уменьшаемое  109………………..01101101

                                                                      -

               Вычитаемое      49………………...00110001

                Разность            60………………..00111100