Уравнение Бернулли для реальной жидкости

Лекция № 3

Уравнение Бернулли для реальной жидкости

Уравнение  Бернулли для реальной жидкости должно включать напор, потерянный на преодоление сил трения и изменения направления  движения h_п, тогда Н – полный напор равен:

Z + +  + h_п  = H – полный напор

Потерянный напор включает потери на местном сопротивлении h_м  и потери трения h_т

h_п  = h_т + h_м,

Потери на местном сопротивлении пропорциональны скоростному напору

h_м = ,  – коэффициент пропорциональности (местного сопротивления).

Рекомендуемые материалы

Вывод уравнения равномерного движения Дарси – Вейсбаха

P₁ > P₂

Чтобы заставить двигаться жидкость (среду), необходимо преодолеть силу трения, обеспечив перепад давления P₁- P₂

Уравнение баланса выделенного элемента объема имеет вид:

P₁S = P₂ S+ П   приведем его к уравнению Бернулли, домножив почленно на

 =  +

Уравнение Бернулли: Z₁ +  +  = Z₂ +  +  + h_п, где z₁=z₂; W₁=W₂, h_п= h_т, тогда:

h_п = h_т =  =  ;  Поскольку:  - , то обратная величина есть:

R =  - гидравлический радиус (для труб не круглого сечения)

S – живое сечение струи – нормальное к  вектору скорости  сечение струи трубы;

П – смоченный периметр

  d = 4R_r  d_э = 4R_r – эквивалентный диаметр

d_э –математическая абстракция, диаметр такой  круглой трубы, удельное сопротивление которой, при прочих равных условиях, равно сопротивлению трубы не круглого сечения.

 =  - напор, который пропорционален напору, потерянному на преодоление силы трения и который можно считать пропорциональным скоростному напору –,а  - коэффициент пропорциональности (гидравлического сопротивления). Тогда  потерянный  на трение напор при движении среды по каналу равен:

h_т =  а потерянный напор h_п = h_т+h_м  равен:

h_п = h_т+h_м=  + ) - уравнение Дарси – Вейсбаха

Истечение  жидкости из резервуара через отверстие в дне сосуда.

 =()²  - коэффициент сжатия струи

1) Истечение  при постоянном уровне - стационарное

2) Истечение  при переменном уровне - нестационарное

В первом случае применимо уравнение Бернулли

· Т.к. течение происходит в поле сил тяжести

· Т.к. течение безвихревое.

Для применения уравнения Бернулли необходимо:

· выбрать плоскость отсчета;

· выбрать два сечения для применения к ним уравнения Бернулли

Для сечений 1 и 2:

h +  +  = 0 +  +  + h_п

Уравнение расхода V = W₁S₁ = W₂ S₂, Где V – расход

 =  

_ст = h +  = , где _ст – статический напор

W₂ =  = <1 - коэффициент скорости истечения

При P₁ = P₂, W₂ =  - например,  сосуд открыт в атмосферу

V = W₁S₁ = W₂ S₂ = W₀S₀ = S₀W₂ = S₀ =  S_0, где .

Истечение при переменном уровне.

Имеем нестационарное течение. Для обеспечения  условий применимости уравнения Бернулли рассмотрим процесс истечения за бесконечно малый момент времени d

Объем, который вытекает из верхней части сосуда, равен объему, вытекшему из отверстия: d = V d

dv = - S(z)dz = Vd =  S₀d

 = z +  при P₁ = P₂ , z – напор столба жидкости.

Обратите внимание на лекцию "2 Правовое и нормативное регулирования".

В общем виде время опорожнения сосуда определяется зависимостью

 = -

Частный случай:

dz при P₁ = P_2,  = 0 (полное опорожнение)