- Потенциальные и несжимаемые течения
Тема 5
Потенциальные и несжимаемые течения
1. Сохранение циркуляции.
2. Потенциальное движение.
3. Несжимаемая жидкость.
5.1. Сохранение циркуляции скорости
Интеграл
,
взятый вдоль замкнутого контура, называют циркуляцией скорости вдоль этого контура.
Рекомендуемые материалы
Рассмотрим некоторый замкнутый контур, проведенный в жидкости в некоторый момент времени. Будем рассматривать его как "жидкий", составленный из находящихся на нём частиц жидкости. С течением времени контур перемещается.
Вычислим производную по времени от циркуляции скорости с учётом подвижности контура. Временно дифференцирование по координатам обозначим знаком , знак - дифференцирование по времени. Будем учитывать, что меняются скорость и сам контур.
.
По определению скорость это производная радиус-вектора
.
Интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю и остаётся
.
Из уравнений Эйлера имеем
.
Применим формулу Стокса, получаем тогда (поскольку )
.
Таким образом, переходя к прежним обозначениям, находим окончательно:
, или .
Мы приходим к результату, что в идеальной жидкости циркуляция скорости вдоль замкнутого контура остаётся неизменной со временем.
Это утверждение называется теоремой Томсона или законом сохранения циркуляции скорости. Соотношение получено путём использования уравнений Эйлера и предположения об изэнтропичности движения жидкости.
Применим теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому контуру и, преобразовав интеграл по теореме Стокса, получим:
,
где - элемент поверхности, опирающейся на контур . Вектор часто называется завихренностью течения жидкости в данной её точке. Постоянство произведения можно использовать, сказав, что завихренность переносится вместе с движущейся жидкостью.
5.2. Потенциальное движение
Движение жидкости, при котором во всём пространстве называется потенциальным (или безвихревым) в противоположность вихревому движению, при котором ротор скорости отличен от нуля.
Рис. 13 | Таким образом, мы пришли бы к выводу, что стационарное обтекание взятого тела натекающим из бесконечности однородным потоком должно быть потенциальным ( рис. 13 ). Поскольку на бесконечности натекающий поток однороден, его скорость, так что на всех линиях тока. |
Однако, ввиду наличия стенки нельзя провести в жидкости замкнутый контур, который охватывал бы такую линию тока.
В результате возникает картина течения, характеризующаяся наличием отходящей от тела "поверхности тангенциального разрыва", на которой скорость жидкости терпит разрыв непрерывности.
Как и всякое векторное поле с равным нулю ротором, скорость потенциально движущейся жидкости может быть выражена в виде градиента от некоторого скаляра, называемого потенциалом скорости
.
Напишем уравнения Эйлера в виде
и подставив в него, получаем
.
Откуда находим следующее равенство
,
где произвольная функция времени. Это равенство представляет собой первый интеграл уравнений потенциального движения.
При стационарном движении имеем , и интеграл переходит в уравнение Бернулли
.
Отметим существенные отличия между уравнениями Бернулли в случае потенциального и непотенциального движения константа в правой части этого уравнения есть величина, постоянная вдоль каждой линии тока, но вообще говоря, различная для разных линий тока.
При потенциальном же движении константа в уравнении Бернулли есть величина, постоянная во всём объёме жидкости.
5.3. Несжимаемые жидкости
Для плоских течений жидкостей их плотность можно считать постоянной вдоль всего объёма жидкости в течение всего времени движения. Такое движение называется движением несжимаемой жидкости.
Общие уравнения гидродинамики для несжимаемой жидкости упрощаются. Уравнение неразрывности при принимает простой вид
.
уравнения Эйлера не меняют своего вида, запишем их в виде
.
Для несжимаемой жидкости тепловая функция записывается следующим образом
.
Тогда уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости имеет вид
.
Особенно упрощается уравнение для потенциального течения несжимаемой жидкости.
При подстановке в уравнение неразрывности , получим
,
то есть уравнение Лапласа для потенциала.
Граничные условия. К этому уравнению должны быть добавлены граничные условия на поверхности соприкосновения жидкости с твёрдыми телами:
- на неподвижных твёрдых поверхностях нормальная к поверхности компонента vn скорости жидкости должна быть равна нулю, для движущихся тел vn должна быть равна проекции скорости движения тела на направление той же нормали.
С другой стороны, скорость vn равна производной от потенциала по направлению нормали
.
Таким образом, граничные условия гласят в общем случае, что является на границах заданной функцией координат и времени.
При потенциальном движении скорость связана с давлением для несжимаемой жидкости соотношением
.
Если движение жидкости является потенциальным и вызвано движением некоторого тела то уравнение Лапласа не содержит явно времени, время входит в решение через граничные условия.
Рис. 14 | Из уравнения Бернулли видно, что при стационарном движении несжимаемой жидкости вне поля тяжести наибольшее значение давления достигается в точках, где скорость обращается в нуль. Такая точка обычно имеется на поверхности обтекаемого жидкостью тела (точка О) и называется критической точкой. |
Если U - скорость набегающего на тело потока жидкости (скорость на бесконечности), а p0 – давление на бесконечности, то давление в критической точке равно
.
Если распределение скоростей в движущейся жидкости зависит только от двух координат, то о таком течении говорят как о двумерном или плоском. Для решения задач о двумерном течении несжимаемой жидкости иногда удобнее использовать функцию тока. Из уравнения неразрывности
видно, что компоненты скорости могут быть записаны в виде производных
,
от некоторой функции , называемой функцией тока. Уравнение неразрывности при этом удовлетворяется автоматически.
.
Зная функцию тока, можно непосредственно определить форму линий тока для стационарного движения жидкости. Дифференциальное уравнение линий тока
или
,
оно выражает условие параллельности касательной к линии тока и направления вектора скорости.
Подставляя сюда выражение для скоростей через функцию тока
,
откуда. Таким образом, линии тока представляют собой семейство кривых, получающихся приравниванием функции тока постоянной.
Ещё посмотрите лекцию "Логические элементы" по этой теме.
Если между точками 1 и 2 в плоскости x,y провести кривую, то поток жидкости Q через эту кривую определится разностью значений функции тока в этих точках независимо от формы кривой.
Действительно, если vn - проекция скорости на нормаль к кривой в данной точке, то
или
.
Мощные методы решения задач о простом потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью различных профилей связаны с применением к ним теории функций комплексной переменной.