- Гидростатика

Рассмотрим жидкость в объеме I. Все, что окружает этот объем, отбросим (дно, боковые стенки и т.д.) и действие отброшенного объема жидкости заменим соответствующими силами. Эти силы называются поверхностными.

Кроме них на жидкость действуют еще массовые силы (силы тяжести и инерции), которые пропорциональны массе тела.

Выделим из жидкости некоторый объем. Возьмем на поверхности этого объема бесконечно малую площадку dS. Hа эту площадку действует поверхностная сила dR. Разложим эту силу на нормальную dP и касательную dT.

Hормальная сила, приходящаяся на единицу площади, называется давлением и обозначается буквой p, т.е.

В системе СИ давление измеряется в .

Рис. 16

Сила трения (касательная сила), приходящаяся на единицу площади, обозначается буквой t, т.е.

Сила трения обычно пропорциональна градиенту скорости .

Для жидкости, находящейся в равновесии (в покое), сила трения равна нулю, так как в этом случае.

6.2. Закон Паскаля

Если в жидкости взять любую точку, то на основании основного уравнения гидростатики

давление в этой точке равно давлению, приложенному к свободной поверхности, плюс , где - глубина точки.

Таким образом мы получили закон Паскаля.

Закон Паскаля. Давление, приложенное к свободной поверхности, передается во все точки жидкости без изменения.

6.3. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости

Запишем уравнение Эйлера

Если жидкость покоится

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости в проекции на оси декартовой системы координат могут быть записаны так

Здесь F_x, F_y, F_z - проекции на оси x,y,z сил, действующих на единицу массы рассматриваемой жидкости.

Умножая давления соответственно на dxdydz и складывая их, получаем

Левая часть уравнения представляет полный дифференциал

следовательно, и правая часть должна быть также полным дифференциалом, для этого необходимо и достаточно, при постоянном r, чтобы существовала функция U(x,y,z) такая что

, , .

Имеем

Проинтегрировав, получим

где С - постоянная интегрирования.

Если в какой-либо точке известно давление p_o и постоянная функция U_o, то

из интеграла имеем

В частности, когда жидкость находится в поле сил тяжести

, , .

Следовательно,

Уравнение для давления принимает вид

Свободная поверхность жидкости плоская z=const. При равновесии жидкости в поле земного тяготения поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Определить уравнение свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся горизонтально с ускорением а.

Решение. На жидкость действуют сила тяжести и сила инерции, т.е.

, , .

Рис. 17

Имеем

откуда

- уравнение прямой.

Следовательно, свободная поверхность представляет собой плоскость, наклоненную к горизонту под углом , который определяется из равенства

Пример 2. Определить уравнение свободной поверхности жидкости в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью w .

Решение. Вследствие трения о стенки сосуда жидкость будет вращаться с такой же угловой скоростью. Жидкость будет находиться в относительном покое. Поэтому при решении задачи применимы уравнения равновесия.

Рис. 18

Из массовых сил на жидкость действует центробежная сила и сила тяжести. Центробежная сила, действующая на массу m, находится на расстоянии r от оси вращения ( рис. 18 )

Проекции силы на оси, отнесенные к единице массы, будут

, , .

Тогда

Откуда

т.е. свободная поверхность - параболоид вращения.

6.4. Виды давления ( барометрическое, абсолютное, избыточное, манометрическое )

Различают следующие виды давления: барометрическое, абсолютное, манометрическое и вакуумметрическое.

Барометрическое (или атмосферное) давление p_б зависит от места над уровнем моря и от погоды. За нормальное барометрическое давление принимают давление, равное 760 мм рт. ст., что соответствует 101325 С высотой барометрическое давление убывает. В глубоких шахтах барометрическое давление значительно больше, чем на уровне моря.

Давление, вычисляемое по соотношению , называется абсолютным.

Абсолютное давление в точке равно сумме внешнего поверхностного и весового давления.

Если к свободной поверхности приложено барометрическое давление p_б, то есть p_б=р_о и основное уравнение гидростатики перепишем так

Давление носит название манометрического или избыточного. Таким образом, манометрическим давлением называется разность между абсолютным давлением p_а и барометрическим p_б, если p_a>р_б.

Если в данной точке жидкости абсолютное давление меньше барометрического, то разность между барометрическим и абсолютным давлениями называется вакуумметрическим давлением p_вак.

Итак, если p_a<р_б, то

Абсолютное давление отрицательным быть не может, поэтому вакуумметрическое давление не может быть больше барометрического.

6.5. Приборы для измерения давления

Приборами для измерения барометрического давления служат барометры различных конструкций.

Для измерения манометрического давления служит манометр. Манометрическое давление можно измерить высотой столба жидкости. Сосуд наполнен жидкостью с плотностью r. Давление на свободной поверхности p_o>р_б.

Пусть необходимо измерить давление на уровне 1-1. Если на этом уровне сделать отверстие и присоединить к нему стеклянную трубку П, то жидкость в этой трубе поднимется под действием давления на некоторую высоту h.

Рис. 19

По основному уравнению гидростатики

откуда

Этой высотой h поднятия жидкости в трубке П можно измерять манометрическое давление ( рис. 19 ). Трубка П называется пьезометром.

Hайдем соотношение между 1, 1 м вод. ст. и 1 мм рт. ст.

При высоте водного столба h=1 м давление

При высоте ртутного столба h = 1 мм давление

Для измерения вакуумметрического давления применяется вакуумметр. Допустим, что требуется измерить вакуумметрическое давление воздуха в сосуде S, т.е. величину , где p_a - абсолютное давление в сосуде.

Присоединим к сосуду изогнутую трубку, опущенную в жидкость.

Рис. 20

Применяя основное уравнение гидростатики для точки, расположенной в трубке на уровне свободной поверхности жидкости в резервуаре ( рис. 20 ), получим

откуда

Так как

то

Вакуумметрическому давлению будет соответствовать высота подъема жидкости в изогнутой трубке над уровнем в резервуаре.

6.6. Сила давления жидкости на плоскую стенку

Гидростатическое давление представляет собой систему параллельных сил, действующих в одну сторону и перпендикулярных к плоскости стенок (рис. 21).

Рис. 21

Такая система приводится к одной силе - равнодействующей, равной арифметической сумме всех сил и приложенной в центре параллельных сил. Для определения равнодействующей давлений, приложенных к площадке S, плоскость которой Q наклонена к горизонту под углом q,

возьмем начало координат в плоскости приведенного уровня на линии пересечения с плоскостью площадки, приняв линию пересечения за ось oy₁ и направив ось oz₁ вертикально вниз, кроме того в плоскости площадки возьмем вспомогательные оси oy и ox, совместив oy₁ и oy.

Откуда

Последний интеграл равен площади площадки S, умноженной на координату центра тяжести z₁_c

Произведение выражает объем цилиндрического столба с основанием S и высотой z₁_c и мы приходим к выводу, что давление тяжелой жидкости на плоскую площадку измеряется весом цилиндрического столба этой жидкости, который был бы расположен над площадкой, если бы она лежала горизонтально на глубине своего центра тяжести.

Сосуды различной формы, но с одинаковой площадью дна, наполненные жидкостью на одну и ту же высоту H, имеют одинаковую силу давления на дно ( рис. 22 ).

а б в

Рис. 22

6.7. Простейшие гидравлические машины

Жидкости практически несжимаемы и равномерно передают давление по всему объему. Это свойство широко используется в различных отраслях техники (гидроприводы, гидроавтоматика, гидравлические тормоза, усилители и т.д.).

Принцип их работы основан на следующем: пусть имеются два соединенные между собой цилиндра разного диаметра ( рис. 23).

Рис. 23

Приложим к поршню меньшего из цилиндров какую-то внешнюю силу Р₁, мы тем самым создаем на поверхности жидкости давление

Это давление равномерно передается во все точки пространства, заполненного жидкостью. Тогда на поршень большего цилиндра будет действовать сила

Таким образом, чем больше разняться между собой площади поперечного сечения цилиндров, тем большую силу мы будем получать в таких гидравлических устройствах.

6.8. Закон Архимеда

Определим силу давления жидкости на погруженное тело А объемом W

Рис. 24

Представим, что в жидкости выделен объем, точно такой же, как и тело А. Этот объем жидкости находится в равновесии под действием двух сил ( рис. 24 ) :

1) силы давления жидкости P на поверхность выделенного объема,

2) силы тяжести жидкости, равной rWg и направленной вертикально вниз.

Следовательно, сила Р равна силе тяжести выделенного объема жидкости, направленная в обратную сторону, то есть вертикально вверх, и приложена в центре объема, т.е. в той же точке, в которой приложена сила тяжести выделенного объема жидкости.

Точка D называется центром водоизмещения.

Закон Архимеда. Сила давления жидкости на погруженное в нее тело приложена в центре водоизмещения, направлена вертикально вверх и равна силе тяжести жидкости, вытесненной телом

Сила P называется архимедовой силой, W – объемным водоизмещением, а rW - водоизмещением.

6.9. Равновесие и остойчивость тел, полностью

погруженных в жидкость

Если сила тяжести G тела А больше архимедовой силы P, то равнодействующая этих сил (P и G) направлена вниз и заставляет тело опускаться на дно. Таким образом, если P<G тело тонет.

Если сила тяжести G тела меньше архимедовой силы P, то равнодействующая этих сил (P и G) направлена вертикально вверх и заставляет тело подняться на поверхность. При выходе части тела из жидкости сила давления на оставшуюся погруженную часть тела соответственно уменьшается, благодаря чему уменьшается и величина направленной вверх равнодействующей, заставляющей тело всплывать, в результате при некотором частичном погружении тела устанавливается равновесие и тело оказывается плавающим на поверхности жидкости. Таким образом при P>G тело всплывает на поверхность жидкости.

Для того, чтобы тело не опускалось на дно и не всплывало, необходимо, чтобы P=G.

Остойчивостью плавающего тела называется его способность возвращаться в первоначальное положение равновесия после прекращения действия силы, вызвавшей крен.

Возможны три случая( рис. 25 ).