- Анализ и применение уравнения Бернулли
Тема 7
Анализ и применение уравнения Бернулли
1. Уравнение неразрывности в гидравлике. Расход.
2. Анализ уравнения Бернулли.
3. Энергетический смысл уравнения Бернулли.
4. Предел применимости уравнения Бернулии.
5. Примеры применения уравнения Бернулли.
5.1. Расходомер Вентури.
5.2. Измерение скорости (Трубка Пито).
Рекомендуемые материалы
5.3. Кавитация.
5.4. Формула Торичелли.
6. Уравнение неразрывности в гидравлике. Расход.
7.1. Расход. Уравнение неразрывности в гидравлике
Рассмотрим установившийся поток между живыми сечениями 1,2 ( рис. 26 ).
|
| Живым сечением называется поверхность в пределах потока, проведенная параллельно к направлению струек. За единицу времени через живое сечение 1 в рассматриваемый объем жидкости
|
Рис. 26
,где 
- площадь живого сечения, 
- средняя скорость в сечении.
Через живое сечение 2 за это время вытекает объем жидкости
,
где 
- площадь живого сечения 2, 
- средняя скорость в сечении 2.
Поскольку форма объема 1-2 с течением времени не изменяется, жидкость несжимаемая, объем жидкости 
должен равняться объему вытекающему 
.
Поэтому можно записать
.
Это уравнение называется уравнением неразрывности.
Из уравнения неразрывности следует, что
.
Средние скорости обратно пропорциональны площадям соответствующих сечений.
7.2. Анализ уравнения Бернулли
Запишем уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной сжимаемой жидкости при условии ее баротропности (
) в поле массовых сил
,
проинтегрировав имеем
.
Для потенциального течения константа уравнения Бернулли постоянна для всей области течения. При вихревом движении идеальной жидкости константа С в интеграле Бернулли сохраняет постоянное значение только для данной вихревой линии, а не для всего пространства, как при безвихревом течении.
Уравнение Бернулли является одним из основных в гидрогазодинамике, так как определяет изменение основных параметров течения - давления, скорости и высоты положения жидкости.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение Бернулли для конечного участка струйки 1-2
.
Интеграл 
выражает работу сил давления по перемещению килограмма жидкости из области 1 с давлением р1 в область 2 с давлением р2.
Значение интеграла изменяется зависимости от типа процесса (термодинамического) который совершает жидкость, то есть от вида зависимости .
Рассмотрим изобарный процесс 
( рис. 27 )
.
При изохорном процессе 
.
Рис. 27
Для несжимаемой жидкости при течении без обмена механической работой с внешней средой, получим, при из уравнения Бернулли
,
или умножив на r
,
или разделив на rg
,
где константы имеют следующий физический смысл:
С - полная механическая энергия килограмма жидкости или полный напор, 
,
- полная механическая энергия массы жидкости объёмом в кубический метр или полный напор, 
или Па. ,
- полная механическая энергия или полный напор в метрах столба данной жидкости.
Все три величины имеют одинаковый физический смысл любой из них присваивают название полного напора.
Составляющие полной механической энергии жидкости наиболее наглядно изображаются и измеряются в метрах столба жидкости,
gz,rgz, z - потенциальная энергия положения жидкости, отсчитываемая от произвольно выбранной горизонтальной нивелирной плоскости, или геометрический напор, 
,
- потенциальная энергия давления жидкости или пьезометрический напор,,
-потенциальная энергия жидкости или гидростатический напор,,
- кинетическая энергия жидкости или скоростной напор, .
Пьезометрический напор р может измеряться от полного вакуума р=0 или, например, от давления окружающей среды. В обеих частях равенств должно подставляться абсолютное или избыточное давление.
Начало отсчета энергии произвольно, но должно быть одинаково для обеих частей равенств.
Рис. 28
7.3. Энергетический смысл уравнения Бернулли
Заключается в утверждении закона сохранения полной механической энергии единицы массы несжимаемой жидкости
а) при потенциальном течении для любой точки пространства,
б) при вихревом - только вдоль вихревой линии тока и элементарной
струйки.
Этот закон иногда формулируется в виде теоремы трех высот.
В приведенных условиях сумма трех высот - геометрической, пьезометрической и динамической сохраняет неизменное значение.
При этом составляющие полной энергии могут взаимопревращаться.
Следует иметь в виду, что изменение кинетической энергии несжимаемой жидкости вдоль элементарной струйки 
не может задаваться произвольно: в соответствии с уравнением неразрывности это изменение однозначно определяется изменением площади поперечного сечения канала
.
Течение в горизонтальной струйке имеет большое практическое значение, оно реализуется в соплах двигателей. Запишем уравнение Бернулли при z=const
.
Итак, увеличение скорости несжимаемой жидкости в горизонтальной элементарной струйке всегда сопровождается уменьшением давления, а уменьшение скорости – увеличением давления вплоть до
при v=0. Поэтому скоростной напор широко используется, например, для подачи воды в систему охлаждения, разрушения горных пород и т.д.
В связи с тем, что скорость несжимаемой жидкости может уменьшаться только вследствие изменения площади сечения, приходим к важному выводу о том, что картина линий тока при течении несжимаемой жидкости однозначно определяет не только изменение скорости, но и статического давления: при сгущении линий тока давление уменьшается, при расширении - увеличивается. Это правило широко используется при анализе движения жидкости и ее взаимодействии с телами.
7.4. Предел применимости уравнений неразрывности и Бернулли
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Принтеры.
При течении жидкости по каналу при постоянстве 
, и при произвольно изменяемой площади 2. Казалось бы, что
.
Однако по уравнению Бернулли при 
,
давление 
должно было бы принять значение минус бесконечность, что лишено смысла: абсолютное давление не может быть меньше нуля.
Таким образом уравнения неразрывности и Бернулли справедливы лишь до тех пор, пока минимальное давление в потоке остается большим нуля.
