- Гидростатика

2 ГИДРОСТАТИКА

2.1  Свойства гидростатического давления. Основное уравнение гидростатики

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы равновесия жидкости и их практическое применение. В покоящейся жидкости возникают только напряжения сжатия и не могут действовать касательные напряжения, так как любое касательное напряжение жидкости вызовет ее движение, т.е. нарушит состояние покоя. В главе 1 было показано, что напряжения сжатия вызывает сила, действующая перпендикулярно на бесконечно малую площадку. Отсюда вытекает первое свойство гидростатического давления: гидростатическое давление действует по нормали к поверхности и является сжимающим, то есть действует внутрь рассматриваемого объема.

Второе свойство гидростатического давления состоит в том, что в любой точке внутри покоящейся жидкости гидростатическое давление не зависит от ориентировки площадки, по которой оно действует, то есть одинаково во всех направлениях.

Исходя из этих свойств гидростатического давления, можно получить основное уравнение гидростатики. Пусть жидкость находится сосуде, а на ее свободную поверхность действует давление р_а .(рисунок 2.1). Определим давление р в произвольно выбранной точке, которая находится на глубине h.

Для определения искомого давления р вокруг произвольно выбранной точки возьмем бесконечно малую горизонтальную площадку ΔS и построим на ней цилиндр до открытой поверхности жидкости. На выделенный объем жидкости сверху вниз действуют сила, равная произведению давления р₀ на площадь ΔS, и вес выделенного объема жидкости G.

В выбранной точке искомое давление р действует по всем направлениям одинаково (второе свойство гидростатического давления). Но на выделенный объем создаваемая этим давлением сила действует по нормали к поверхности и направлена внутрь объема (первое свойство гидростатического давления), т.е. сила направлена вверх и равна произведению р на площадь ΔS. Тогда условием равновесия выделенного объема жидкости в вертикальном направлении будет равенство

p ∙ ΔS  - G - p₀ ∙ΔS = 0.

Вес G  выделенного цилиндра жидкости можно определить, подсчитав его объем V:

Рекомендуемые материалы

G  =  V∙ p ∙g  =  ΔS∙ h ∙ ρ ∙ g.

Подставив математическое выражение для G в уравнение равновесия и решив его относительно искомого давления р, окончательно получим

p = p₀ + ρ  g h.                                                                                                          (2.1)

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики. Оно позволяет подсчитать давление в любой точке внутри покоящейся жидкости, как сумму давления  p₀ на внешней   поверхности   жидкости и   давления , обусловленного весом вышележащих слоев жидкости -  ρ g h.

Величина р₀ является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому учитывая свойства гидростатического давления, можно сказать, что давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково. Это положение известно под названием закона Паскаля.

Давление жидкости, как видно из формулы (2.1), возрастает с увеличением глубины по линейному закону и на данной глубине есть величина постоянная. Поверхность, давление во всех точках которой одинаково, называется поверхностью уровня. В случае, когда на жидкость действует только сила тяжести, поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости, при этом свободная поверхность является одной из поверхностей уровня.

Возьмем на произвольной высоте горизонтальную плоскость сравнения. Обозначив через  z расстояние от этой плоскости до рассматриваемой точки, через z₀  - расстояние до свободной поверхности и заменив в уравнении (2.1) h на  z – z₀, получим основное уравнение гидростатики в другой форме:

.                                                              (2.2)

Так как рассматриваемая точка выбрана произвольно, можно утверждать, что для любой точки неподвижного объема жидкости

.

Координата z называется геометрической высотой, величина р / ρg – пьезометрической высотой, а их сумма - гидростатическим напором. Таким образом,  гидростатический напор есть величина постоянная для всего объема неподвижной жидкости.

Основное уравнение гидростатики широко применяется для решения практических задач. Однако при его использовании в практических расчетах следует обращать особое внимание на высоту h, так как она может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Действительно, если точка, в которой определяем давление, располагается ниже точки с исходным давлением, то в математической записи основного закона гидростатики ставится знак «+», как в формуле (2.1). А в том случае, когда точка, в которой определяем давление, располагается выше точки с исходным давлением, в уравнении знак « + » изменяется на « - », то есть

р_о = р – ρ g h.

При выборе знака в основном законе гидростатики всегда следует помнить, что чем ниже (глубже) располагается точка в данной жидкости, тем больше давление в этой точке.

В заключение следует добавить, что основное уравнение гидростатики широко используется при измерении давлений.

2.2 Устройство и приборы для измерения давления

Как было показано в главе 1, давление может быть абсолютным, избыточным и давлением вакуума. В машиностроительной гидравлике наиболее часто используются давления избыточные и вакуума, поэтому измерению этих давлений уделим наибольшее внимание.

Простейшим прибором для измерения избыточного давления является пьезометр, который представляет собой вертикально установленную прозрачную трубку, верхний конец которой открыт в атмосферу, а нижний присоединен к емкости, в которой измеряется давление (рисунок 2.2, а). Применяя формулу (2.1) к жидкости, заключенной в пьезометре, получим

р_абс = р_a + ρ gh_p ,

где р_абс  - абсолютное давление в жидкости на уровне присоединения пьезометра,

р_a  - атмосферное давление.

            Отсюда высота подъема жидкости в пьезометре (пьезометрическая высота)

_.                                                (2.3)

Таким образом, пьезометрическая высота представляет собой высоту столба жидкости, соответствующую избыточному давлению в данной точке.

Измерения по пьезометру проводят в единицах длины, поэтому иногда давления выражают в единицах высоты столба определенной жидкости. Например, атмосферное давление, равное 760 мм рт. ст., соответствует высоте ртутного столба 760 мм в пьезометре. Подставив это значение в  уравнение (2.3) при ρ_рт = 13600 кг/м³, получим атмосферное давление, равное 1,013 • 10⁵ Па. Эта величина называется физической атмосферой. Она отличается от технической атмосферы, которая соответствует 736 мм рт. ст. Это число можно получить, если подставить в формулу (2.3) р_изб = 1 ат и вычислить высоту h_p.

С помощью стеклянной трубки можно измерить и давление вакуума, при этом жидкость в трубке опустится ниже уровня измерения (см. рисунок 2.2,б). В этом случае

р_абс = р_a - ρ gh_p ,

откуда                                                                             _.                                               (2.4)

Формула (2.4) позволяет определить максимальную высоту всасывания жидкости. Полагая р_абс = 0  и не учитывая давления насыщенных паров, получаем

.

При нормальном атмосферном давлении (0,1033 МПа) высота Н_max для воды равна 10.33 м, для бензина – 13,8 м, для ртути – 0,760 м и так далее.

Схемы наиболее распространенных жидкостных манометров и вакуумметров представлены на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 – Схемы жидкостных манометров:

а) U – образный манометр; б) чашечный манометр; в) дифференциальный манометр;

г) двух-жидкостный микроманометр; д) двух-жидкостный чашечный манометр.

Пьезометры просты по конструкции и обеспечивают высокую точность измерений. Однако они не позволяют измерять большие давления. Подтвердим это на следующем примере. Пусть пьезометром необходимо измерить избыточное давление р_из6 = 0,1 МПа ≈ 1 ат в жидкости с плотностью, равной плотности воды (ρ= 1000 кг/м³). Тогда из формулы (2.3) при заданных условиях получим высоту столба воды в пьезометре Н ≈ 10 м, что является весьма значительной величиной. В машиностроении используются более высокие давления (в сотни атмосфер), что ограничивает применение пьезометров.

Аналогичные по принципу работы приборы с использованием ртути позволяют в 13,6 раза уменьшить пьезометрические высоты (ртуть в 13,6 раза тяжелее воды). Но ртуть ядовита, и такие приборы в машиностроении практически перестали применяться.

Широкое распространение в технике для измерения давлений получили пружинные манометры. Основным элементом такого прибора (рисунок 2.4) является пружинящая тонкостенная трубка 1 (обычно латунная). Один из концов трубки запаян и подвижен, а второй закреплен, и к нему подводится измеряемое давление. Подвижный конец трубки 1 кинематически связан со стрелкой 3. При изменении давления он изменяет свое положение и перемещает стрелку 3, которая указывает на соответствующее число на шкале 2.

Пружинные приборы для измерения вакуума не имеют ни принципиальных, ни конструктивных отличий от пружинных манометров. Устройства для измерения вакуума получили название вакуумметров.

Выпускаются также приборы, позволяющие измерять как избыточные давления, так и вакуум. Их принято называть мановакуумметрами.

В метеорологии измерение абсолютных значений атмосферных давлений проводят с помощью барометров. Для машиностроительных систем измерение абсолютных давлений практического значения не имеет.

2.3 Сила давления на плоскую стенку

До сих пор рассматривались давления, действующие в жидкости. Однако более важное практическое значение имеют силы, возникающие от действия жидкости на различные стенки.

При определении силы, действующей со стороны жидкости на плоскую стенку, рассмотрим общий случай, когда стенка наклонена к горизонту под углом α, а на свободную поверхность жидкости действует давление р₀ (рисунок 2.5).

Вычислим силу давления F, действующую на некоторый участок рассматриваемой стенки площадью S. Ось Ох направим по линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью жидкости, а ось Оу — перпендикулярно к этой линии в плоскости стенки.

Выразим сначала элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS:

dF = p dS = (p_о + ρ gh) dS = p_о dS + ρ g h d S,

где р_о — давление на свободной поверхности;

      h — глубина расположения площадки dS.

Для определения полной силы F проинтегрируем полученное выражение по всей площади S:

где у — координата площадки dS.

Последний интеграл представляет собой статический момент площади S относительно оси Ох и равсн произведению этой площади на координату ее центра тяжести (точка С), то есть

,

Следовательно

,

здесь h_с — глубина расположения центра тяжести площади S.

Или окончательно получим

                                                                            (2.5)

т. е. полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление р_С в центре тяжести этой площади.

В частном случае, когда давление р_о является атмосферным и действует также с другой стороны стенки, сила F избыточного давления жидкости на плоскую стенку равна лишь силе F_ж давления от веса жидкости, т. е.

.

В общем случае давление р_о может существенно отличаться от атмосферного, поэтому полную силу F давления жидкости на стенку будем рассматривать как сумму двух сил: F_о от внешнего давления p_о и силы F_ж от веса жидкости, то есть

F = F₀ + F_ж = (p_о + р_С) S.

Найдем точки приложения этих сил, называемых центрами давления.

Так как внешнее давление р_о передается всем точкам площади S одинаково, то его равнодействующая F_о будет приложена в центре тяжести площади S. Для нахождения точки приложения силы давления F_ж  от веса жидкости (точка D) применим теорему механики, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси Ох равен сумме моментов составляющих сил, т. е.

,

где y_D — координата точки приложения силы F_ж

Выражая F_ж  и  dF_ж через у_С и у и определяя y_D, получаем

,

где  — момент инерции площади S относительно оси Ох.

Учитывая, что ,

где J_xо — момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной Ох, находим

.                                                       (2.6)

Таким образом, точка приложения силы F_ж расположена ниже центра тяжести площади стенки; расстояние между ними

                        .

Если давление р_о равно атмосферному, то точка D и будет центром давления. При р_о выше атмосферного центр давления находят по правилам механики как точку приложения равнодействующей двух сил: F_о и F_ж, чем больше первая сила по сравнению со второй, тем, очевидно, центр давления ближе к центру тяжести площади S.

В частном случае, когда стенка имеет форму прямоугольника размерами ахb (рисунок 2.6) и одна из его сторон а лежит на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления D находится на расстоянии b/3 от нижней стороны.

2.4 Сила давления на криволинейные стенки. Плавание тел

Рассмотрим силу, действующую на криволинейную цилиндрическую стенку, которая погружена в жидкость так, что ее образующие параллельны свободной поверхности жидкости (рисунок 2.7). Такие стенки распространены на практике. В этом случае задача может быть сведена к определению равнодействующей силы, лежащей в вертикальной плоскости, перпендикулярной образующим цилиндрической поверхности. Определение этой силы сводится к определению ее вертикальной и горизонтальной составляющих.

В пределах цилиндрической поверхности (см. рисунок 2.7) выделим участок АВ и найдем силу F, действующую на этот участок при условии, что на свободной поверхности жидкости существует давление р₀. Причем определим эту силу для двух случаев: жидкость расположена над цилиндрической поверхностью (см. рисунок 2.7, а) и под ней (см. рис. 2.7, б). При определении силы, действующей на стенку, будем учитывать, что со стороны стенки на жидкость действует такая же сила, но в противоположном направлении.

Для определения силы F  в первом случае (см. рисунок 2.7, а) выделим объем жидкости, ограниченный поверхностью АВ и вертикальными плоскостями, проходящими через границы выбранного участка. На рисунке 2.7, а эти плоскости отображены линиями AL и ВК. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема в вертикальном и горизонтальном направлениях, из которых найдем вертикальную F_B и горизонтальную F_Г составляющие силы F. На выделенный объем жидкости в вертикальном направлении, кроме силы F_B, действуют его вес G и сила давления на свободную поверхность, равная произведению давления р₀ на площадь горизонтальной проекции поверхности АВ, обозначаемую S_r. Тогда из условия равновесия найдем вертикальную составляющую

F_В = p_o S _Г + G.                                                                      (2.7)

При рассмотрении условия равновесия в горизонтальном направлении будем считать, что силы, действующие на поверхности ЕК и AL, взаимно уравновешены. Следовательно, на выделенный объем жидкости в горизонтальном направлении, кроме искомой силы F₁, действует только сила давления на площадь вертикальной проекции поверхности АВ, обозначаемую S_B. Ее найдем по формуле (2.4):

F_Г = p_C  S_B = (p₀+h_c ρ g) S_В,                                                   (2.8)

где h_c -  глубина погружения центра тяжести поверхности АВ, S_B — площадь поверхности BE.

Определив по формулам (2.7) и (2.8) вертикальную F_B и горизонтальную F_Г составляющие силы F, найдем ее численное значение по зависимости

.                                                                                              (2.9)

Зависимости (2.7) - (2.9) получены для случая с расположением жидкости над криволинейной поверхностью. Очевидно, что при расположении жидкости снизу относительно стенки (см. рисунок 2.7, б) давления в соответствующих точках будут точно такими, как и в первом случае. Поэтому и силы, действующие на стенку (полная сила и ее вертикальная и горизонтальная составляющие), будут такими же по значению. Но направления этих сил будут противоположными, так как жидкость действует на стенку с обратной стороны. Таким образом, формулы (2.7) - (2.9) будут справедливы и для этого случая. При этом в формулу (2.7) входит та же величина G, т.е. вес жидкости, которая заняла бы объем ABKL (выделен на рис. 2.7, б).

Полученные зависимости справедливы для цилиндрической поверхности, которая погружена в жидкость так, что ее образующие параллельны свободной поверхности. Аналогичным образом могут быть получены формулы для произвольной криволинейной поверхности. Их отличие будет в том, что полная сила F будет равна векторной сумме не двух составляющих сил (как в предыдущем случае), а трех. Причем одна из этих составляющих будет вертикальной, а две — горизонтальными и взаимно-перпендикулярными.

Определение положения точки приложения силы F, действующей на криволинейную стенку, является весьма сложной задачей, которая решается с использованием графических или численных (компьютерных) методов. Определение положения точки приложения силы F, действующей на поверхность вращения (например, цилиндрическую), упрощается, так как в этом случае линия действия силы F проходит через ось вращения поверхности.

Важной задачей при решении некоторых практических вопросов является определение силы, выталкивающей тело, погруженное в жидкость. На рисунке 2.8, а изображено тело произвольной формы, погруженное в жидкость. Рассмотрим силы, действующие на это тело в вертикальном направлении.

При рассмотрении сил, действующих на тело, условно разделим его замкнутой линией MNOR на две части: верхнюю и нижнюю. Причем линия разделения MNOR проведена так, что ее проекция и проекция тела на свободную поверхность жидкости (т. е. вертикально вверх) полностью совпадают. Обозначим вес жидкости, расположенной над телом, G₀ (на рисунке  2.8, а выделена штриховкой), а вес жидкости, вытесненной телом, — G, т.е. это вес жидкости, которая заняла бы объем погруженного тела (на рис. 2.8, а выделен затемнением).

Вертикальную силу (см. рисунок 2.8, а), действующую на нижнюю поверхность тела, определим с использованием формулы (2.7):

F_B1 = p₀ S_Г + G₀ + G,                                                                       (2.10)

где S_Г — площадь горизонтальной проекции тела на свободную поверхность жидкости.

Таким же образом найдем вертикальную силу (см. рисунок 2.8, а), действующую на верхнюю часть тела:

F_B2  =   p₀  S_Г +  G_{0 .}                                                                                                    (2.11)

Их равнодействующая сила F_a, направленная вверх, будет равна алгебраической сумме этих сил и с учетом (2.10) и (2.11) определяется по формуле

.

Силу F_a принято называть архимедовой силой, а полученную для ее определения зависимость — законом Архимеда, согласно которому на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу жидкости, вытесненной телом.

Точкой приложения этой силы является геометрический центр тела, который называется центром водоизмещения. Он может не совпадать с центром тяжести тела. Эти центры совпадают, если тело состоит из однородного и равномерно распределенного вещества. Плавающее тело будет находиться в устойчивом равновесии, когда центр водоизмещения располагается выше центра тяжести тела, и они лежат на одной вертикальной прямой (см. рисунок 2.8, б).

2.5 Относительный покой жидкости

Под относительным покоем понимают неподвижное состояние жидкости относительно сосуда, который движется с постоянным ускорением. Например, в относительном покое может находиться жидкость в емкости, которая установлена на разгоняющейся транспортной машине (топливный бак автомобиля). В относительном покое будет также находиться жидкость в сосуде, вращающемся с постоянной скоростью.

Законы, действующие при относительном покое жидкости, принципиально не отличаются от ранее рассмотренных законов гидростатики. Но если в ранее рассмотренных случаях на жидкость действовала только одна массовая сила — сила тяжести, то при относительном покое появляется новая — сила инерции. Это приводит к изменению положения свободной поверхности жидкости и изменению давлений в различных ее точках.

Анализ относительного покоя удобно проводить для сил, действующих на условную частицу жидкости единичной массы (массой т = 1). При таком подходе сила всегда численно равна соответствующему ускорению. Например, на частицу единичной массы действует сила тяжести G = mg =1 g = g. Таким образом, математические зависимости существенно упрощаются.

Рассмотрим прямолинейное движение сосуда с постоянным ускорением (или замедлением) а. В этом случае на каждую частицу жидкости единичной массы действуют две силы: сила тяжести g сила инерции а (рисунок 2.9). Равнодействующая этих двух сил

                                                              (2.12)

определяет положение свободной поверхности жидкости, так как угол между этой поверхностью и силой всегда составляет 90°. Из геометрических соображений (см. рисунок 2.9) следует, что положение свободной поверхности может быть задано углом α, значение которого найдем из отношения

tga = а/g.

Для определения давления в произвольно выбранной точке на расстоянии l от свободной поверхности используется математическая зависимость

p = p₀ +   l  ρ j.                                     (2.13)

Она получена тем же методом, что и основное уравнение гидростатики, но учитывает действие не только сил тяжести, но и сил инерции.

Эта зависимость является более общей, чем основной закон гидростатики, который может быть получен из нее как частный случай. Действительно, при а= 0 из (2.12) следует j = g. Тогда c учетом l = h из (2.13) получим формулу (2.1), т.е. основное уравнение гидростатики.

Другим случаем относительного покоя жидкости является вращение сосуда с постоянной угловой скоростью ω (рисунок 2.10). При вращении на каждую частицу жидкости единичной массы, расположенную на радиусе r, также действуют две силы: сила тяжести g и сила инерции, вызванная центробежным ускорением, а = ω² r. Равнодействующая этих двух сил

определяет положение свободной поверхности жидкости. Но в рассматриваемом случае центробежное ускорение является переменной величиной, так как зависит от радиуса расположения точки. Поэтому поверхность вращения принимает параболическую форму и описывается уравнением

,

где z₀ — высота расположения точки свободной поверхности относительно дна сосуда;

"9 Кривые 2-го порядка. Сплайны. Кривые Безье" - тут тоже много полезного для Вас.

       h₀ — высота жидкости на оси вращения.

Формула для определения давления р в любой точке жидкости может быть получена методом, использованным в подразделе 2.1. Тогда после математических преобразований найдем давление в точке, расположенной на радиусе r и высоте z относительно дна сосуда:

.                                                    (2.14)

На практике часто встречается другой частный случай — вращение сосуда с очень высокой скоростью. В этом случае центробежные силы существенно больше сил тяжести и жидкость отбрасывается центробежными силами к стенкам сосуда (рисунок 2.11), а ее свободная поверхность располагается на радиусе r₀. Тогда некоторыми геометрическими величинами, входящими в формулу (2.12), можно пренебречь и формула для определения давления упрощается:

.                                                                              (2.15)

Следует отметить, что формула (2.14) получена для сосуда, имеющего вертикальную ось вращения, а формула (2.15) применима для вращающихся сосудов с любым расположением оси в пространстве.