Метод Гаусса-Зейделя (треугольный)

3.4. Метод Гаусса-Зейделя (треугольный)

Представим матрицу  в виде суммы диагонали , нижней треугольной  и верхней треугольной : 

                                                      ,                                       (3.16)

где

Итерационный метод Гаусса-Зейделя в индексах выглядит так:

                             .             (3.20)

Несмотря на то, что в правую часть (3.20) входят значения на новой итерации , вся правая часть вычисляется явно, т.к. вычисления проводятся последовательно для узлов , и к моменту вычисления  все  уже известны.

В матричной форме (3.20) имеет вид

Рекомендуемые материалы

                                          ,                               (Z)

или

                               (3.21)

Матрица  - матрица перехода (шага) метода Зейделя, а матрица  - матрица расщепления, которая треугольная, и разумеется не симметричная и, вообще говоря, не положительно определенная, а сам метод не симметризуем. Тем не менее, если , то метод Гаусса-Зейделя сходится. Скорость сходимости чуть больше, чем у метода Якоби. Чтобы убедиться в сходимости метода, достаточно записать (Z) в каноническом виде и проверить условие Теоремы  . Перепишем (Z) в виде

откуда получаем каноническую форму

"5.3 Вопросы для самоконтроля и резюме" - тут тоже много полезного для Вас.

Итак, надо проверить условие . Но , а в силу условия  имеем , поэтому . Таким образом, осталось проверить , или , что равносильно . Но это так, если . Т.е. достаточное условие сходимости выполнено.

Важно подчеркнуть, что порядок вычислений в методе Зейделя напрямую зависит от способа нумерации узлов сетки. Поскольку вновь подсчитанные узловые значения функции немедленно подставляются на место предыдущих, можно экспериментировать с направлением обхода узлов. Например, разные направления обхода можно задать с помощью вектора перестановок индексов , где  - исходный номер, а  - новый. Разумеется, функция  должна быть взаимно однозначной. Пусть  естественное упорядочение узлов сетки по возрастанию, тогда  задает обратный порядок. Для произвольного порядка обхода узлов следует просто заменить в формуле (3.20)  на . Особенно такой подход удобен для многомерных задач.

При ленточной схеме хранения или при хранении матрицы в разреженном строчном формате удобен следующий прием вычислений в методе Гаусса-Зейделя. Для каждого  определятся текущий вектор неизвестных . Тогда формула (3.20) может быть переписана в виде

                                    (3.22)

Здесь  - это скалярное произведение -й строки матрицы  на вектор .

Задание.  Составить программу решения задачи Дирихле для стационарного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами методом Гаусса-Зейделя, численно исследовать сходимость. Сравнить с решением по методу Якоби.