Метод Якоби (диагональный)
3.3. Метод Якоби (диагональный)
Представим матрицу в виде суммы диагонали , нижней треугольной и верхней треугольной :
, (3.16)
где
Итерационный метод Якоби в индексах выглядит так:
. (3.17)
В матричной форме (3.17) запишется так
,
Рекомендуемые материалы
или
(3.18)
Если , то и , а метод Якоби (3.18) с матрицей перехода будет симметризуемым с матрицей симметризации . Напомним, что требование симметризации в нашем случае означает, что
Он сходится тогда и только тогда, когда . Это условие выполняется, если матрица имеет слабое диагональное преобладание, т.е.
. (3.19)
В самом деле,
.
Это значит, что -я сторока матрицы имеет вид
Из условия слабого диагонального преобладания (3.19) следует, что , а значит . Поскольку , то сходимость доказана.
Для метода Якоби можно применять эстраполяцию (3.11), однако для ряда типичных задач матрица такова, что , и оптимальное значение параметра экстраполяции (3.14) равно , так что экстраполяция не нужна.
Реализация метода Jacobi.
Если матрица заполнена, то решение задачи (3.17) выглядит так:
(3.19)
11 Искусство Ближнего и Среднего Востока - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
Однако в сеточных схемах матрица разрежена, т.е. в каждой строке только несколько ненулевых элементов . Применение алгоритма в части вычисления в этом случае очень неэкономично: при суммировании подавляющее большинство операций производится с нулями. Выход состоит в том, чтобы изменить формат хранения матрицы коэффициентов и по-новому определить операцию умножения матрицы на вектор. Например, диагональная схема хранения трехдиагональной матрицы РС для одномерного уравнения теплопроводности
,
или
Вычисление нового приближения в программе при этом можно записать просто:
Задание. Составить программу решения задачи Дирихле для стационарного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами методом Якоби, придумать тест и численно исследовать сходимость. Сравнить с решением по методу прогонки.