Векторы и матрицы
2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
2.1. Векторы и матрицы
Будем обозначать через множество вектор-столбцов, или матриц размера . Элемент из этого множества задается своими компонентами:
(2.1)
Векторы линейно зависимы, если есть такие отличные в совокупности от нуля числа , что
(2.2)
Если же равенство (2.2) имеет место только при всех , то система векторов линейно независима.
Базис представляет собой множество линейно независимых векторов из . При этом любой вектор из может быть представлен в виде разложения по базису
(2.3)
Рекомендуемые материалы
причем набор чисел в этом разложении определяется единственным образом.
Транспонированный вектор обозначается .
Скалярное произведение векторов равно
(2.4)
Квадратная матрица из множества представима в виде
(2.5)
Транспонированная к ней матрица .
Единичная матрица обозначается , имеет единицы на главной диагонали, а остальные нули: - символ Кронекера.
Матрица называется невырожденной, если существует обратная к ней матрица , такая что .
Рекомендация для Вас - 49. Задача поэта.
Матрица называется симметричной, если у нее .
Симметричная матрица симметрична и положительно определена, если для любого ненулевого вектора скалярное произведение
(2.6)
Такая матрица невырождена, т.е. имеет обратную.
Если - невырожденная матрица с действительными коэффициентами, то - симметрична и положительно определена.
Если (симметрична и положительно определена), то существует единственная матрица , такая, что , которая называется квадратным корнем: .