Векторы и матрицы

2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

2.1. Векторы и матрицы

Будем обозначать через  множество вектор-столбцов, или матриц размера . Элемент из этого множества задается своими компонентами:

                                                               (2.1)

Векторы  линейно зависимы, если есть такие отличные в совокупности от нуля числа , что

                                                                                                (2.2)

Если же равенство (2.2) имеет место только при всех , то система векторов  линейно независима.

Базис  представляет собой множество  линейно независимых векторов из . При этом любой вектор  из  может быть представлен в виде разложения по базису

                                                                                                (2.3)

Рекомендуемые материалы

причем набор чисел  в этом разложении определяется единственным образом.

Транспонированный вектор обозначается .

Скалярное произведение векторов  равно

                                                                                   (2.4)

Квадратная матрица  из множества  представима в виде

                                                                (2.5)

Транспонированная к ней матрица .

Единичная матрица обозначается , имеет единицы на главной диагонали, а остальные нули:  - символ Кронекера.

Матрица  называется невырожденной, если существует обратная к ней матрица , такая что .

Рекомендация для Вас - 49. Задача поэта.

Матрица  называется симметричной, если у нее .

Симметричная матрица  симметрична и положительно определена, если для любого ненулевого вектора  скалярное произведение

                                                                                                  (2.6)

Такая матрица невырождена, т.е. имеет обратную.

Если  - невырожденная матрица с действительными коэффициентами, то  - симметрична и положительно определена.

Если  (симметрична и положительно определена), то существует единственная матрица , такая, что , которая называется квадратным корнем:  .