Уравнения движения жидкости Л. Эйлера

Уравнения движения жидкости Л. Эйлера

         В соответствии с основным – вторым законом динамики И.Ньютона произведение массы  m на ускорение  dw/dt равно сумме внешних действующих сил åF:

        m dw/dt = åF.                                                                (4.1)

         Л. Эйлер предложил формы этого закона, удобные для исследования движущейся жидкости.

         4.1 Уравнение количества движения для струйки тока

         Наиболее простая из этих форм – гидравлическая, применима для стационарного течения несжимаемой жидкости на участке (АB) трубки тока, рисунок 4.1.

          Рисунок 4.1 - К вопросу об изменении количества движения на участке трубки тока стационарно движущейся несжимаемой жидкости

Рекомендуемые материалы

         На массу m жидкости на участке АB трубки тока действуют внешние (поверхностные и объемные) силы  åF, изменяя скорость на участке АB  на величину  Dw = w₂ – w_1. Но это изменение скорости фактически распределяется на часть массы жидкости dm, которая войдет и выйдет за время dt через сечения   f₁  и  f₂ со скоростями w₁ и w₂ соответственно.  Из условия сохранения массы для несжимаемой жидкости следует

         dm = r w₁ f₁dt = r w₂ f₂ dt = r Qdt.

При этом количество движения остальной части жидкости (на участке A¹ – B) не изменяется . В этом смысле можно сказать, что изменение скорости Dw на участке АB под действием сил  åF получает за время dt только часть жидкости dm. Поэтому второй закон Ньютона в данном случае можно записать в виде

         dm Dw/dt = r Qdt Dw/dt =   åF.

Подставляя  Dw = w₂ – w₁ , получим (после сокращения на dt):

         r Q(w₂ – w₁) =  åF.                                                        (4.2)

         Это и есть уравнение количества движения для струйки тока (Л.Эйлер, 1757).

         Отметим, что ускорение при установившемся движении в данном случае возникает как бы в результате переноса за время dt массы dm жидкости из начального сечения А, где скорость w_1, в конечное B, где скорость w₂. Такое ускорение  жидкости называют конвективным (в отличие от локального ¶w/¶t, возникающего в данной точке пространства только при неустановившемся течении).

         4.2 Примеры использования уравнения количества движения

         4.2.1 Сила давления R струи на плоскую стенку, расположенную под углом a к оси струи

         Выберем сечения потока как показано на рисунке 4.2. Спроектируем уравнение количества движения (4.2) на касательное (t) и нормальное (n) направления к поверхности

         r Q(w_1t – w_2t) = F_t,

        r Q(w_1n – w_2n) = F_n.

           

          Рисунок 4.2. Схема натекания струи на плоскую стенку под углом a.

         Если жидкость невязкая, касательные напряжения раны нулю, и сила в этом направлении t отсутствует: F_t = 0.

        В направлении нормали сила воздействия стенки на струю F_n очевидно равна по величине и противоположна по направлению силе давления струи на стенку

         R = – F_n = – r Q (w_1n – w_2n) =  r Q (w_1n – 0) = 

        =r Q w₁ sina =  r f₁w₁² sina,                                        (4.3)

где f₁ – площадь сечения струи.

         4.2.2 Реакция вытекающей струи

         Истечение струи жидкости плотностью r из бака (см. рисунок 4.3) происходит под действием перепада давлений

         Dp = p₁ – p₂ = rgh,

где h - глубина расположения насадка (отверстия).

                       

Рисунок 4.3. Истечение тяжелой (капельной) жидкости из бака.

         В баке на значительном расстоянии перед отверстием в сечении f₁ жидкость можно считать неподвижной (w₁   » 0). Уравнение (4.2) принимает вид

         åF = rQw₂.                                                                               (4.2¹¹)

         Величину Dp = rgh можно рассматривать как потенциальную энергию единицы объема жидкости, которая в сечении f₂ переходит (без потерь) в кинетическую энергию , т.е.

          Dp = rgh = ,

откуда

         w₂ =  =  = .

         Поскольку сумма сил  åF, действующих на струю, сонаправлена вектору w₂, то уравновешивающая сила ее сила реакции R (действующая на стенки бака и насадки) направлена в противоположную сторону:

         R = – åF = – rQw₂.

         Таким образом, реакция R противоположна скорости течения w₂, равна удвоенной величине силы статического давления на площадь f₂ сечения струи

         êR ê= rQw₂ = rQ= 2grf₂ h= 2Dpf₂.                    (4.4)

         4.2.3 Давление потока на криволинейные стенки канала

         При движении по криволинейному каналу жидкости на его стенки действуют силы давления (см. рисунок 4.4), а на торцевые(живые) сечения f₁ и f₂  и сила инерции потока, определяемая по уравнению количества движения.

         Рисунок 4.4- Схема сил, действующих на стенки канала со стороны жидкости

         Во входном сечении f₁ действует сила R₁, динамическая составляющая которой равна секундному количеству движения rf₁w₁², а статическая – силе гидростатического давления p₁f₁, так что

         R₁ = p₁f₁ + rf₁w₁².

Аналогично в сечении f₂:

         R₂ = p₂f₂ + rf₂w₂².

         Полная сила R воздействия потока на стенки канала равна геометрической сумме сил R₁  и R₂ направленных по внутренним нормалям к сечениям f₁  и f₁), см. рисунок 4.4:

         R = R₁ + R_{2 .}                                                                                                     (4.5)

         Полученные соотношения лежат в основе прикладных расчетов силового воздействия потока на стенки каналов гидромашин.

         4.3 Уравнение момента количества движения для исследования вращательного движения жидкости также предложено Л.Эйлером.

         Рассмотрим движение жидкости в рабочем колесе центробежного насоса, рисунок 4.5.

                  

         Рисунок 4.5 - Схема движения жидкости в рабочем колесе ценробежного насоса

         Пусть r₁ и r₂ – внутренний и внешний радиусы, u₁ = wr₁, u₂ = wr₂ соответствующие окружные скорости колеса, имеющего угловую скорость w.

         Абсолютная скорость жидкости на входе и выходе межлопаточного канала c₁  и c₂. Скорость w_i движущейся частицы жидкости массой m относительно колеса равна векторной разности соответствующих абсолютных c_i и окружных u_i скоростей

         w_i = c_i – u_i          (i = 1,2)

         Если a_i – угол между векторами c_i и u_i (u_i всегда направлена по касательной), то момент количества движения относительно оси вращения колеса

         m_i c_i r_i cosa_i

                Применяя теорему об изменении количества движения (второй закон Ньютона для вращательного движения) – "изменение (во времени) момента количества движения относительно оси вращения равно моменту внешних сил M":

          = M,

или

         =M.                                         (4.6)

Это и есть уравнение Эйлера.

         Замечая, что  = rQ   [кг/c] – секундный массовый расход жидкости, последнее уравнение можно переписать в виде (после умножения обеих частей на угловую скорость w):

         rQw (с₂ r₂ cosa₂ – c₁r₁cosa₁)  = P,                                 (4.7)

где P = Mw – мощность.

         Полученное уравнение (4.7) используется для расчета лопастных роторных машин - насосов, турбин (для турбин векторы с₂ и с₁ имеют противоположные направления, т.к. поток входит в сечение "2", а выходит из сечения "1").

         Мощность будет максимальной при cosa₁ = 0 (радиальный вход потока для насоса и радиальный выход для турбины). В этом случае:

         P = P_max = rQ с₂u₂cosa₂ .                                                                                 (4.7¹)

         4.4 Уравнение движения жидкости Эйлера в частных произведениях

         Это уравнение описывает наиболее общий случай (установившегося и неустановившегося) движения идеальной (сжимаемой и несжимаемой) жидкости. Его можно получить, если, в соответствии со вторым законом Ньютона (4.1), сумму всех действующих на частицу жидкости сил, отнесенных к единице массы  SF/m, приравнять ее ускорению dw/dt. Но величина уже подсчитана при выводе дифференциальных уравнений гидростатики Эйлера:

         (R –  Ñp) - для объемных и поверхностных сил давления. Поэтому эти уравнения легко обобщаются на искомые уравнения, описывающие движущуюся  идеальную жидкость:

         dw/dt = R –  Ñp                                                       (4.8)

– в векторной записи;

          = R_x –   ;

         = R_y –   ;                                                    (4.8¹)

          = R_z –  ;

– в проекции на оси координат;

         = R_z –   , i = 1,2,3                                      (4.8¹¹)

– в тензорных обозначениях.

         В этих уравнениях Л. Эйлера w(x,y,z) – скорость жидкой частицы, координаты которой сами изменяются во времени: x(t); y(t); z(t). Поэтому входящие в уравнение (4.8) полные производные по времени для каждой из проекций скорости можно записать в виде

        

         =  ,                           (4.9)

где     = w_x;    = w_y;    = w_z .

        Или более кратко: в тензорных обозначениях:

         ,                                                           (4.9¹)

где i  = 1; 2; 3; ( по немому индексу "к"  предполагается суммирование) к = 1,2,3.

         В векторных обозначениях:

         dw/dt = w/t + (wÑ)w.                                                    (4.9¹¹)

         Здесь первые слагаемые – частные произведения по времени от скорости w/t показывают изменение скорости w во времени в данной точке пространства (локальные ускорения), а остальные слагаемые (wÑ)w отражают изменение скорости w при перемещении частицы из одной точки пространства в другую (конвективное ускорение).

         Таким образом, уравнения Эйлера можно записать в развернутом виде в проекциях на оси координат

          = R_x –  ;

         = R_y –  ;    (4.10)

           = R_z –  ;

в векторном виде:

         w/t + (wÑ)w = R –   gradp                               (4.10¹)

в тензорных обозначениях

          = R_i = –  ,  (i = 1,2,3;                    (4.10¹¹)

                                                                             k = 1,2,3)         

         Дифференциальные уравнения Эйлера совместно с уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости (r = const) жидкости (3.11) образуют систему четырех уравнений, содержащих четыре неизвестных w_x; w_y; w_z; p.

         В случае сжимаемой  (r ¹ const (p)) жидкости (газа) к уравнениям Эйлера и неразрывности (3.12) необходимо добавить еще одно, определяющее связь между давлением и плотностью

         r = f(p),                                                                       (4.11)

где f(p) – заданная функция.

         Это уравнение называется условием баротропности и, являясь предположением*⁾, во многих случаях хорошо оправдывается опытом.

         Интегрируя эти замкнутые системы уравнений (для несжимаемой или сжимаемой жидкостей) при заданных граничных  и начальных (для неустановившихся течений) условиях, можно в принципе определить вектор скорости и давление (а для сжимаемой жидкости и плотность) в любой точке потока и в любой момент времени.

         Обычно выделяют два рода задач: внешние и внутренние задачи. К внешним относятся задачи обтекания тел, находящихся в потоке (например, обтекание крылового профиля): к внутренним - исследование течений  внутри проточных систем (течение в трубе).

          Граничные условия при обтекании тел задают распределение скоростей и давлений  вдали от тела. Поскольку внешние задачи обычно рассматриваются в системе координат, связанных с обтекаемым телом, задаются:

         во-первых, условие "на бесконечность" – в удалении перед обтекаемым телом давление p_¥, направление и величина скорости w_¥ невозмущенного набегающего потока;

Рекомендация для Вас - Гигиена содержания овец.

         во-вторых, условие "непроницаемости" обтекаемых стенок: нормальная (перпендикулярная) к стенке компонента скорости равна нулю w_n.ст = 0. Скорость у стенки может иметь только касательную составляющую.

         Граничные условия при исследовании течения в канале задаются, во-первых, на входе в канал(поле скоростей, давлений) и на выходе (обычно давление); во-вторых, на смачиваемых стенках каналов - то же условие непроницаемости (w_n.ст = 0).

        Начальные условия  характеризуют состояние потока в некоторый момент времени t при неустановившемся течении. Для установившегося течения начальные условия не задаются.

. _______________________________

            *⁾ На самом деле уравнение термодинамического состояния (Клапейрона -Менделеева, Ван - дер- Ваальса и т.п.) связывают три параметра состояния, один из которых

температура. Условие баротропности, заменяющее уравнение состояния, позволяет исключить из рассмотрения температуру. Обычно условие (4.11) соответствует какому - либо политропическому процессу.