Элементы механики жидкостей и газов
Элементы механики жидкостей и газов.
План.
1. Основные задачи механики жидкости и газов.
2. Понятия сжимаемости и вязкости. Поле скоростей, линии и трубки тока, стационарное течение.
3. Уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.
4. Течение вязкой жидкости. Формула Пуазейля.
5. Ламинарный и турбулентный режимы течения.
6. Циркуляция скорости. Потенциальное и вихревое движение. Формула Жуковского.
1) Основные задачи механики жидкостей и газов.
Рекомендуемые материалы
1. Определение усилий, действующих на тела, движущихся в жидкости или газе. Например, определение силы лобового сопротивления самолёта для расчета мощности его двигателя. Определение силы торможения парашюта, расчёт ветровой нагрузки телебашен, линий электропередач и т.д.
2. Определение наиболее выгодных форм тел. Например, формы крыльев самолёта, корпуса подводной лодки, лопаток турбины и т.п.
3. Определение режима течения в каналах, трубах. Если, например, ламинарный режим изменяется на турбулентный, то изменяются и уравнения, описывающие течения, и конечные решения.
4. Изучение распространения механических волн. Например, распространение ультразвуковых волн при локации кораблей и подводных лодок. Изучение закономерностей ударных волн, возникающих при взрыве атомных бомб, от самолётов, движущихся со скоростями больше скорости звука в атмосфере.
2) Понятие о сжимаемости.
Пусть имеется деформируемое тело длиной L, которое мы в некоторый момент начнём толкать слева направо со скоростью (Рис.5.1). Придёт ли всё тело сразу в движение со скоростью ? Нет. Левый конец начнёт двигаться сразу. По телу от левого конца к правому побежит | |
Рис. 5.1 |
волна упругого воздействия со скоростью звука . В течении времени правый конец не будет «знать», что левый угол двигается, и будет стоять. За это время левый конец пройдёт расстояние . Тело станет короче на величину , т.е. сожмётся на эту величину. Относительное сжатие тела будет:
.
Отношение обозначают числом и называют числом Маха по имени австрийского физика и философа Эрнста Маха (1838 – 1916). Видно, что сжимаемость равна отношению скорости движения к местной скорости звука – числу Маха. Чем больше скорость звука в веществе, тем меньше его сжимаемость. Скорость звука в воздухе 330 м/с, в воде 1400 м/c и в металлах 40007000 м/c.
Условно считают, что если , то жидкость не сжимаема, а если , то жидкость сжимаемая. Например, если пуля летит со скоростью 800 м/с в воде, то . Поэтому вода для летящей пули – сжимаемая жидкость.
Вязкость. Все реальные жидкости являются вязкими. Вязкость (внутреннее трение) проявляется в том, что при движении в жидкости тело встречает сопротивление. Из опыта известно: чтобы поддерживать постоянным течение жидкости в трубе, необходимо наличие между концами трубы разности давлениё. Необходимость сил давления указывает на то, что эти силы уравновешиваются какими-то силами, тормозящими движение. Этими силами являются силы внутреннего трения на границе со стенкой трубы и на границах между слоями.
Более быстрый слой стремится увлечь за собой более медленный слой, действуя на него с силой , направленной по течению. Одновременно более медленный слой стремится замедлить движение более быстрого слоя, действуя на него силой , направленной против течения (Рис. 5.2). Экспериментально установлено, что модуль силы | |
Рис. 5.2 |
внутреннего течения, приложенный к площадке S, лежащей на границе между слоями, определяется формулой:
где коэффициент пропорциональности, зависящий от природы жидкости и её состояния (например, температуры), производная скорости жидкости по радиусу, показывающая, как быстро изменяется в данном месте скорость течения в направлении оси r, перпендикулярной к площадке S.
Под идеальной жидкостью понимают жидкость, в которой нет сил внутреннего трения, т.е. вязкость равна нулю (более строго говорят, что жидкость не оказывает сопротивления деформации сдвига).
Поле скоростей. Движение жидкости характеризуется совокупностью функций скоростей, с которыми проходят через каждую точку отдельные частицы жидкости. Совокупность векторов , заданных для всех точек пространства течения жидкости, называется полем вектора скорости. Это поле наглядно можно изобразить с помощью линий тока. Линия тока – такая линия, в каждой точке которой в данный момент времени вектор скоростей направлен по касательной.
Поверхность тока – совокупность линий тока, проходящих через некоторую кривую (Рис. 5.3). Часть жидкости, ограниченная замкнутой поверхностью тока, называется трубкой тока. Если скорость в каждой точке пространства остаётся постоянной (), то течение жидкости называется стационарным (установившимся). | |
Рис. 5.3 |
3) Уравнение неразрывности. Пусть имеется достаточно тонкая трубка тока (скорость во всех точках поперечного сечения одинакова) несжимаемой жидкости. При стационарном течении трубка тока подобна стенкам жёсткой трубы. Поэтому через сечение S за время пройдёт объём жидкости , а в единицу времени .
Возьмём 2 сечения трубки тока (Рис. 5.4). Если жидкость несжимаема, то количество её между этими сечениями остаётся неизменным. Отсюда следует, что объёмы жидкости, протекающие в единицу времени через сечения и | |
Рис. 5.4 |
должны быть одинаковыми: . Это равенство справедливо для любой пары произвольно взятых сечений. Следовательно, для несжимаемой жидкости при стационарном течении произведение в любом сечении данной трубки тока имеет одинаковое значение:
Это утверждение носит название теоремы о неразрывности струи. Она применима даже к газам, если их сжимаемостью можно пренебречь (). Примеры: 1) В узком месте река течёт быстро, в широком – медленно. 2) Пожарный брандспойт имеет сужающийся наконечник, чтобы скорость воды была больше и струя летела дальше.
Уравнение Бернулли.
Рассмотрим стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Выделим трубку тока, а в ней объём жидкости, ограниченной стенками узкой трубки тока и перпендикулярными к линии тока сечениями и . За некоторое время этот объём сместится вдоль трубки тока, причём граница объёма получит перемещение , а граница перемещение (Рис. 5.5).
Работа, совершаемая при этом силами давления, равна приращению полной механической энергии: , заключённой в рассматриваемом объёме жидкости (на рисунке между сечениями 1 и 2). | |
Рис. 5.5 |
,
где вследствие несжимаемости жидкости, , а (на рисунке эти объёмы заштрихованы).
Полная энергия рассматриваемого объёма жидкости слагается из кинетической энергии и потенциальной энергии в поле сил земного тяготения. Возьмём сечения S трубки тока и перемещения настолько малым, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объёмов можно было приписать одно и то же значение скорости , давления и высоты h. Приращения полной энергии (это разность полных энергий заштрихованных объёмов):
, т.к. , то
.
Приравняв А и DЕ, сократив на и перенеся члены с одинаковыми индексами в одну сторону, получим:
Заметим, что уравнение вполне строго лишь при , т.е. для одной и той же линии тока. Так как и были выбраны произвольно, то можно утверждать, что для любой линии тока в стационарно текущей идеальной и несжимаемой жидкости выполняется условие:
уравнение Бернулли |
Уравнение выражает для движущейся жидкости закон сохранения механической энергии.
Для горизонтальной линии тока:
Если скорость течения вдоль линии тока возрастёт, то давление падает и наоборот. Уравнение используется, например, в аэродинамических измерениях скорости потока газа. Обычно измеряют полное давление и статическое давление P в исследуемой точке потока, а значение скорости определяют как .
4) Течение вязкой жидкости. Формула Пуазейля.
Для практических применений представляет особый интерес течение в круглой трубе (нефте- и газопроводы). Измерения показывают, что при медленном течении скорость частиц жидкости изменяется от нуля в непосредственной близости к стенкам трубы до максимума на оси трубы.
Найдём закон изменения скорости по радиусу трубы. Выделим воображаемый цилиндрический объём жидкости радиуса r и длины (Рис.5.7). При стационарном течении этот объём движется без ускорения. В направлении движения на жидкость действует сила давления, модуль
которой равен , во встречном направлении . Результирующая сила давления: . На боковую поверхность действует тормозящая сила трения: . | |
Рис. 5.7 |
(Замечание: модуль отрицательного числа равен этому числу, взятому с обратным знаком).
Приравняв и , получим:
.
Производя сокращения и разделив переменные, получим:
.
Интегрируем:
При , отсюда
.
Подставим константу в выражение для
.
Скорость на оси трубы равна:
.
С учётом этого:
Вычислим поток жидкости Q, т.е. объём жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени. Через кольцо радиуса шириной dr пройдёт в единицу времени объём жидкости dQ, равный
произведению площади кольца на скорость на расстоянии от оси трубы: . Проинтегрировав от 0 до R, получим: | |
Рис. 5.8 |
Подставив значение , получим формулу Пуазейля (французский учёный):
Физический смысл формулы: объём Q жидкости, протекающий за секунду через поперечное сечение трубы, прямо пропорционален разности давлений и у входа в трубу и на выходе из неё, четвёртой степени радиуса трубы и обратно пропорционален длине трубы и коэффициенту вязкости жидкости.
Формула справедлива только при ламинарном течении жидкости (см. далее). Формула применяется для определения коэффициента вязкости жидкостей, а также для оценки необходимого перепада давления для получения нужного объёмного расхода.
5) Ламинарный и турбулентный режимы течения.
Если при течении жидкости слои жидкости скользят относительно друг друга не перемешиваясь, такое течение называется ламинарным (или слоистым; lamina – (лат.)пластина, плоская).
Ламинарное течение наблюдается обычно при медленном течении. Если увеличить скорость течения, то при достижении определенного значения скорости характер течения резко меняется. Скорость частиц в каждой точке пространства всё время быстро и нерегулярно изменяется. Такое течение называется турбулентным (turbulentus (лат.) – бурный, беспорядочный). При турбулентном течении проходит интенсивное перемешивание жидкости.
Английский физик Рейнольдс (1842 – 1912) установил, что характер течения определяется значением безразмерной величины:
где плотность жидкости (или газа); средняя по сечению трубы скорость потока; вязкость жидкости; характерный для поперечного сечения потока размер, например, диаметр при круглом сечении, или сторона квадрата при квадратном сечении.
Величина Re называется числом Рейнольдса. При малых Re течение носит ламинарный характер. Начиная с некоторого значения Re, называемого критическими, течение приобретает турбулентный характер. Значение Reкр для течения вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе Reкр » 2,3×103. Примеры турбулентного течения: вода Reкр в горном потоке, за кормой корабля, дым из фабричной трубы т.п.
6) Циркуляция скорости. Рассмотрим поле скоростей жидкости . В этом поле возьмём произвольный замкнутый контур L (Рис. 5.9).
Пусть элемент длины контура. Интеграл называется циркуляцией вектора скорости по контуру L. Если циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, охватывающему обтекаемое тело равна нулю, то | |
Рис. 5.9 |
движение жидкости (газа) называется потенциальным. В противном случае движение называется вихревым.
Н.Е. Жуковский впервые установил вихревую природу сил, действующих со стороны потока на крыло и указал на наличие простой зависимости между силой и циркуляцией скорости по контуру, охватывающему обтекаемое идеальной несжимаемой жидкостью крыло (Рис. 5.10).
Информация в лекции "5 Законодательные акты 16-17 веков" поможет Вам. | Сверху профиль крыла выпуклый, линии тока сверху крыла сгущаются, сечение потока уменьшается, скорость больше, чем снизу, где профиль плоский. Циркуляция скорости потока по контуру профиля крыла оказывается отличной |
Рис. 5.10 |
от нуля. Согласно формуле Жуковского возникает подъёмная сила :
где и соответственно плотность потока и скорость невозмущённого крылом потока.