Наполнение полости постоянного объема через отверстие постоянной площади

Лекция 23.

Наполнение полости постоянного объема через отверстие постоянной площади.

В настоящем и последующих разделах рассмотрим практически важные случаи, когда удается найти аналитические решения дифференциальных уравнений, описывающих процессы в полости.

В начальный момент времени давление в полости равно , при  открываются отверстия проточной площади  и газ из источника, где  и  константы, начинает заполнять полость. Полагаем, рабочее тело является идеальным газом.

Изменение давления и плотности газа во времени определяется зависимостями

Пусть в начальный момент времени

, .

Рекомендуемые материалы

В этом случае система легко интегрируется

,

,                                     

.                                   

Зависимости (3.12) и (3.12а) справедливы пока течение через впускной дроссель остается критическим, т.е. пока давление  не достигнет уровня .

Найдем время , за которое давление в полости достигнет этого уровня.

,

.                                         

На участке наполнения, когда течение в полость остается критическим, давление по времени нарастает линейно.

При дальнейшем наполнении полости течение через впускной дроссель становится докритическим.

,

,

,

,

,

,

,                                                  

где .

Интегрируем зависимость (а) и переходим к исходным величинам

.           

(3.14) можно представить в виде , но формула в этом случае будет менее удобна для расчета.

Считая по формуле (3.14) задаемся величиной  и находим те значения интервала времени, за которое давление достигнет этого уровня.

В формуле (3.14)  – давление, при котором начинает быть справедлива зависимость (3.14).

.

Полное время наполнения складывается из времени , за которое давление в полости от начального значения достигнет уровня  и времени , за которое давление от уровня  достигнет уровня .

, ,

.                                                   

Из (3.14) с учетом (*)

.                                 

Получим далее формулы, связывающие с давлением плотность и температуру.

В системе (3.11) поделим первое уравнение на второе

,

.                                       

Используя уравнение состояния , исключим из формулы (3.16) плотность и получим зависимость для температуры

.                                     

Зависимости (3.16) и (3.17) в сочетании с ранее полученными (3.12) и (3.14) позволяют рассчитать переходный процесс в полости по величинам  и .

Анализируя (3.17) можно оценить характер и диапазон изменения температуры в полости наполнения. Для простоты и наглядности положим, что начальная температура в полости . Тогда из (3.17)

"4.7 Логическое следствие" - тут тоже много полезного для Вас.

.                                     

Если при наполнении полости давление увеличилось незначительно, т.е. , то и температура, согласно формуле (3.17а), остается близкой к  . По мере увеличения давления  , температура растет и достигает максимального значения при

.                                      

Согласно формуле (3.17б) максимальная температура в полости тем больше, чем больше разность . Предельное значение температуры в полости будет в том случае, если

.                                                   

Если наполняемая полость в начальный момент вакуумирована, то конечное значение температуры в ней не зависит от .