Уравнения движения оболочек

Уравнения движения оболочек

Уравнения движения получаются в соответствии с принципом Даламбера добавлением к уравнениям равновесия инерционных членов. Для соотношений теории оболочек Кирхгоффа-Лява эти уравнения в проекциях на оси ξ, η и z имеют вид

В третьем уравнении перерезывающие силы выражаются через моменты из двух уравнений равновесия моментов общей системы.

Начальные условия обычно принимаются нулевыми – для  перемещений и их скоростей.

Граничные условия записываются точно так же, как в статике.

Эти уравнения получены были достаточно давно, в начале прошлого века. Реализация задач с помощью этих уравнений, в том числе численными методами, дала результаты, на первый взгляд, неожиданные. Так, скорость распространения упругих возмущений по оболочке оказалась бесконечной – любое возмущение сразу сказывается по всей оболочке независимо от места приложения нагрузки.

Причина этого кроется в следующем. Исходные уравнения теории упругости, на которых основаны соотношения теории оболочек, являются гиперболическими, т.е. хорошо (адекватно) описывающими волновые процессы. Анализ уравнений классической теории оболочек показывает, что они являются параболическими, т.е. «по пути» преобразований и упрощений, связанных с адаптацией соотношений теории упругости к специфическим тонкостенным объектам, изменился и тип системы дифференциальных уравнений.

Само это изменение, очевидно, связано с гипотезами, на которых основана теория оболочек. Так, отсутствие поворота нормали к недеформированной срединной поверхности относительно этой поверхности в ее деформированном состоянии означает запрет на поперечные сдвиги. Это равносильно тому, что мы сделали модуль сдвига бесконечно большим.

Рекомендуемые материалы

Собственно, при последовательном подходе отсутствие поперечных сдвигов должно приводить к отсутствию соответствующих напряжений (а они по статической гипотезе тоже равны нулю или «пренебрежимо малы»). Но тогда и перерезывающие силы должны быть нулевыми, однако мы эти силы вводим и определяем их из уравнений равновесия моментов. Ненулевые значения этих сил можно получить при нулевых значениях поперечных сдвигов только при бесконечном модуле сдвига.

Если учесть, что скорость любого возмущения в упругой среде определяется упругими постоянными, то понятно, что кинематическая гипотеза теории оболочек и приводит к такому положению.

Выход из этого положения был найден с помощью построения так называемой неклассической теории оболочек (типа Тимошенко). Эта теория основана на следующих допущениях:

- поперечные сдвиги по толщине оболочки допускаются и не равны нулю в общем случае;

5.3. Казачество - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

- учитывается инерция вращения элемента оболочки вокруг осей ξ, η.

Второе допущение имеет целью сделать все уравнения равновесия после добавки в них инерционных слагаемых по принципу Даламбера динамическими уравнениями.

В итоге структура уравнений движения:

    Здесь φ и ψ – углы поворота нормалей вокруг осей ξ, η соответственно. Если   то сдвиги отсутствуют (повороты нормали совпадают с поворотами срединной поверхности), и получатся соотношения классической теории оболочек.

         Число уравнений движения возросло до пяти, и основных параметров, определяющих положение произвольной точки оболочки, стало пять – три перемещения и два поворота нормали. Соответственно для этих параметров формулируются 10 начальных условий, поскольку каждое из уравнений движения по времени имеет второй порядок.

Меняется и число граничных условий в соответствии с тем, что система дифференциальных уравнений имеет 10-й порядок. Поскольку и положение точки определяется пятью параметрами, то в каждой точке контура необходимо поставить пять условий, а не четыре, как в классической теории.