Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения (определение напряжений и перемещений)
Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения (определение напряжений и перемещений).
Кручение бруса прямоугольного сечения, напряжения в поперечном сечении
При этом нарушается закон плоских сечений, сечения некруглой формы при кручении искривляются – депланация поперечного сечения.
Эпюры касательных напряжений прямоугольного сечения.
; 
, Jk и Wk — условно называют моментом инерции и моментом сопротивления при кручении. Wk= ahb2,
Jk= bhb3, Максимальные касательные напряжения tmax будут посредине длинной стороны, напряжения по середине короткой стороны: t= g×tmax, коэффициенты: a,b,g приводятся в справочниках в зависимости от отношения h/b (например, при h/b=2, a=0,246; b=0,229; g=0,795.
При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две основные задачи. Во-первых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, во-вторых, надо найти угловые перемещения сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.
решение для вала с круглым поперечным сечением (рис. 4.1 а).
Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Данное предположение, заложенное в основу теории кручения, носит название гипотезы плоских сечений.
Рис. 4.1
Для построения эпюры крутящих моментов Mz применим традиционный метод сечений - на расстоянии z от начала координат рассечем брус на две части и правую отбросим (рис. 4.1, б). Для оставшейся части бруса, изображенной на рис. 4.1, б, составляя уравнение равенства нулю суммы крутящих моментов SMz = 0, получим:
Mz = M. (4.1)
Поскольку сечение было выбрано произвольно, то можно сделать вывод, что уравнение (4.1) верно для любого сечения вала -крутящий момент Mz в данном случае постоянен по всей длине бруса.
Далее двумя поперечными сечениями, как это показано на рис. 4.1, а, из состава бруса выделим элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами r и r + dr выделим элементарное кольцо, показанное на рис. 4.1, в. В результате кручения правое торцевое сечение кольца повернется на угол dj. При этом образующая цилиндра АВ повернется на угол g и займет положение АВ ¢. Дуга BВ ¢ равна с одной стороны, r dj, а с другой стороны - g dz. Следовательно,
. (4.2)
Если разрезать образовавшуюся фигуру по образующей и развернуть (рис. 4.1, г), то можно видеть, что угол g представляет собой не что иное, как угол сдвига данной цилиндрической поверхности под действием касательных напряжений t, вызванных действием крутящего момента. Обозначая
, (4.3)
Q - относительный угол закручивания.
Этот угол представляет собой угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Величина Q аналогична относительному удлинению при простом растяжении или сжатии стержня.
Из совместного рассмотрения (4.2) и (4.3) и после некоторых преобразований, получим:
g = rQ. (4.4)
Подставляя выражение (4.4) в выражение закона Гука для сдвига (2.23), в данном случае выражение касательных напряжений принимает следующий вид:
t = GQr, (4.5)
где t - касательные напряжения в поперечном сечении бруса. Парные им напряжения возникают в продольных плоскостях - в осевых сечениях. Величину крутящего момента Mz можно определить через t с помощью следующих рассуждений. Момент относительно оси z от действия касательных напряжений t на элементарной площадке dF равен (рис. 4.2):
dM = trdF.
|
Рис. 4.2 |
Проинтегрировав это выражение по площади поперечного сечения вала, получим:
. (4.6)
Из совместного рассмотрения (4.5) и (4.6) получим:
. (4.7)
Откуда
. (4.8)
Величина GIr называется жесткостью бруса при кручении.
Из (4.8), с учетом (4.3), интегрируя полученное выражение по параметру z, получим:
. (4.9)
Если крутящий момент Mz и жесткость GIr по длине бруса постоянны, то из (4.9) получим:
, (4.10)
где j(0) - угол закручивания сечения в начале системы отсчета.
Для определения выражения напряжений, возвращаясь к формуле (4.5) и исключая из него q, согласно (4.8), получим:
t(r)=
. (4.11)
Величина 
называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения бруса в форме сплошного круга радиусом R. Определяется эта величина из следующих соображений:
(4.12)
Если же в брусе имеется внутренняя центральная полость радиусом r = 
, то для кольца
, (4.13)
где с = 
.
Вам также может быть полезна лекция "Газлифтная эксплуатация скважин".
Установим теперь метод определения перемещений, основанный на вычислении потенциальной энергии деформации. Поставим задачу нахождения перемещений точек упругой системы по направлению действия приложенных к этой системе внешних сил.
Будем решать эту задачу в несколько приемов; сначала рассмотрим более простой случай (Рис.1), когда на балку в сечениях 1, 2, 3,... действуют только сосредоточенные силы 
, 
)... и т. д. Под действием этих сил балка прогнется по кривой 
и останется в равновесии.
Прогибы сечений 1, 2, 3,..., в которых приложены силы 
, , ,..., обозначим 
,
, 
,... и т. д. Найдем один из этих прогибов, например — прогиб сечения, в котором приложена сила .
Переведем балку, не нарушая равновесия, из положения 
в смежное положение 
, показанное на фиг. 328 пунктиром. Это можно сделать различными приемами: добавить новую нагрузку, увеличить уже приложенные и т. д.
Мы представим себе, что для перехода к смежному деформированному состоянию к силе сделана бесконечно малая добавка 
(Рис.1); чтобы при этом переходе не нарушать равновесия, будем считать, что эта добавка прикладывается статически, т. е. возрастает от нуля до окончательного значения медленно и постепенно.
