Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения, напряжения и перемещения
- Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения, напряжения и перемещения.
Кручение бруса прямоугольного сечения, напряжения в поперечном сечении
При этом нарушается закон плоских сечений, сечения некруглой формы при кручении искривляются – депланация поперечного сечения.
Эпюры касательных напряжений прямоугольного сечения.
; , Jk и Wk — условно называют моментом инерции и моментом сопротивления при кручении. Wk= ahb2,
Jk= bhb3, Максимальные касательные напряжения tmax будут посредине длинной стороны, напряжения по середине короткой стороны: t= g×tmax, коэффициенты: a,b,g приводятся в справочниках в зависимости от отношения h/b (например, при h/b=2, a=0,246; b=0,229; g=0,795.
При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две основные задачи. Во-первых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, во-вторых, надо найти угловые перемещения сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.
решение для вала с круглым поперечным сечением (рис. 4.1 а).
Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Данное предположение, заложенное в основу теории кручения, носит название гипотезы плоских сечений.
Рекомендуемые материалы
Рис. 4.1
Для построения эпюры крутящих моментов Mz применим традиционный метод сечений - на расстоянии z от начала координат рассечем брус на две части и правую отбросим (рис. 4.1, б). Для оставшейся части бруса, изображенной на рис. 4.1, б, составляя уравнение равенства нулю суммы крутящих моментов SMz = 0, получим:
Mz = M. (4.1)
Поскольку сечение было выбрано произвольно, то можно сделать вывод, что уравнение (4.1) верно для любого сечения вала -крутящий момент Mz в данном случае постоянен по всей длине бруса.
Далее двумя поперечными сечениями, как это показано на рис. 4.1, а, из состава бруса выделим элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами r и r + dr выделим элементарное кольцо, показанное на рис. 4.1, в. В результате кручения правое торцевое сечение кольца повернется на угол dj. При этом образующая цилиндра АВ повернется на угол g и займет положение АВ ¢. Дуга BВ ¢ равна с одной стороны, r dj, а с другой стороны - g dz. Следовательно,
. (4.2)
Если разрезать образовавшуюся фигуру по образующей и развернуть (рис. 4.1, г), то можно видеть, что угол g представляет собой не что иное, как угол сдвига данной цилиндрической поверхности под действием касательных напряжений t, вызванных действием крутящего момента. Обозначая
, (4.3)
Q - относительный угол закручивания.
Этот угол представляет собой угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Величина Q аналогична относительному удлинению при простом растяжении или сжатии стержня.
Из совместного рассмотрения (4.2) и (4.3) и после некоторых преобразований, получим:
g = rQ. (4.4)
Подставляя выражение (4.4) в выражение закона Гука для сдвига (2.23), в данном случае выражение касательных напряжений принимает следующий вид:
t = GQr, (4.5)
где t - касательные напряжения в поперечном сечении бруса. Парные им напряжения возникают в продольных плоскостях - в осевых сечениях. Величину крутящего момента Mz можно определить через t с помощью следующих рассуждений. Момент относительно оси z от действия касательных напряжений t на элементарной площадке dF равен (рис. 4.2):
dM = trdF.
Рис. 4.2 |
Проинтегрировав это выражение по площади поперечного сечения вала, получим:
. (4.6)
Из совместного рассмотрения (4.5) и (4.6) получим:
. (4.7)
Откуда
. (4.8)
Величина GIr называется жесткостью бруса при кручении.
Из (4.8), с учетом (4.3), интегрируя полученное выражение по параметру z, получим:
. (4.9)
Если крутящий момент Mz и жесткость GIr по длине бруса постоянны, то из (4.9) получим:
, (4.10)
где j(0) - угол закручивания сечения в начале системы отсчета.
Для определения выражения напряжений, возвращаясь к формуле (4.5) и исключая из него q, согласно (4.8), получим:
Лекция "5.6. Становление культуры Слабожанщины" также может быть Вам полезна.
t(r)=. (4.11)
Величина называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения бруса в форме сплошного круга радиусом R. Определяется эта величина из следующих соображений:
(4.12)
Если же в брусе имеется внутренняя центральная полость радиусом r = , то для кольца
, (4.13)
где с = .