Распределение атомов идеального газа в пространстве квантовых состояний. Распределения Ферми и Бозе
2.2. Распределение атомов идеального газа в пространстве квантовых состояний. Распределения Ферми и Бозе
Рассмотрим теперь идеальный квантовый газ, в котором нет взаимодействия между частицами. Рассмотрим пространство квантовых чисел K. Обозначим через 
число атомов, квантовые числа которых 
равны K, то есть:
, 
где – случайная функция в пространстве квантовых чисел. Для системы с заданным числом частиц, находящейся в термостате, распределение 
определяется квантовым каноническим распределением Гиббса. Перепишем его в другом виде (используя ). Для идеального газа энергия 
равна сумме энергий отдельных атомов: 
.
С другой стороны можно записать: 
.
Переходя к потенциалу (большой термодинамический потенциал) 
запишем распределение Гиббса в виде:
, 
; 
.
Z представим в виде: 
Рекомендуемые материалы
(*)
и перейдем к суммированию по Nk.
Соответственно:
, 
.
Тогда можно ввести функцию распределения по числам частиц на уровне k:
,
.
С помощью этой функции получим искомое выражение для 
– среднего числа частиц в квантовом состоянии К:
.
Используя определение 
, можно записать:
. (**)
– это условие позволяет установить при заданных 
связь 
с 
:
.
Распределения Бозе и Ферми
Системы частиц с целым спином называются системами Бозе (статистика Бозе). Для таких систем числа заполнения 
состояний К могут быть произвольными:
.
При этом условии сумма по 
в выражении для 
(*) представляет из себя геометрическую прогрессию, тогда:
.
Дифференцируем по 
(**) и получим
– распределение Бозе (Бозе – Эйнштейна).
Такое распределение впервые было предложено Шатьендранатом Бозе для фотонов, Эйнштейн же обобщил его на произвольные системы частиц с целым спином.
Частицы с полуцелым спином удовлетворяют принципу Паули, согласно которому величина может принимать лишь два значения: 
.
В этом случае (*) примет вид
,
тогда из (**) получим
– распределение Ферми (Ферми – Дирака).
"Увольнение. Расторжение трудового договора" - тут тоже много полезного для Вас.
В случае, когда 
формулы Бозе и Ферми сводятся к одной
.
Это ни что иное, как распределение Больцмана.
Можно показать, что это неравенство соответствует другому:
.
При выполнении этого неравенства газ называется невырожденным. В этом случае можно использовать распределения Максвелла и Больцмана. При выполнении обратного неравенства газ называется вырожденным и для его описания используются распределения Ферми и Бозе.
