Критические напряжения. Расчет на устойчивость стержня при упруго-пластических деформациях
8.4 Критические напряжения. Расчет на устойчивость стержня при упруго-пластических деформациях
Введем понятие критического напряжения, то есть напряжения, соответствующего критической силе при потере устойчивости сжатого стержня
(8.10)
Вспомним, что 
– квадрат минимального радиуса инерции. Тогда формулу (8.10) можно записать так:
(8.11)
Величина
(8.12)
называется гибкостью стержня.
Окончательно получим
Рекомендуемые материалы
(8.13)
Как видим, критическое напряжение зависит только от упругих свойств материала (модуля Юнга E) и гибкости стержня. При этом зависимость между 
кр и может быть представлена гиперболической кривой, называемой гиперболой Эйлера.
Вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения упругой линии балки. Поэтому использовать эту формулу можно лишь в том случае, когда деформирование материала протекает в соответствии с законом Гука, то есть пока критическое напряжение не превысит предела пропорциональности (по диаграмме сжатия материала):
(8.14)
Используя это соотношение, можно найти условие для определения предельной гибкости стержня пр, когда еще возможно применение формулы Эйлера:
(8.15)
Например, для малоуглеродистых сталей
(E = 2·105 МПа, 
пц ≈ 200 МПа) предельная гибкость
(8.16)
Итак, при >пр для определения критической силы будем пользоваться формулой Эйлера, если же <пр, то формула Эйлера становится неприемлемой, так как дает завышенные значения критической силы, то есть всегда переоценивает действительную устойчивость стержней.
Поэтому использование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом пропорциональности не только неправильно, но и опасно.
Теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности сложно, поэтому для расчетов на устойчивость в этой области обычно пользуются эмпирическими формулами, полученными в результате обработки большого числа экспериментальных данных.
Бесплатная лекция: "Инновационный потенциал предприятия и его роль в антикризисном управлении" также доступна.
Прежде всего, выделим стержни с малой гибкостью, у которых 
(для стали). Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом за счет потери прочности, потеря устойчивости в таких случаях, как правило, не наблюдается. Таким образом, для стержней малой гибкости при сжатии проводят обычный расчет на прочность, принимая в качестве предельного напряжения предел текучести σт (для пластичных материалов) или предел прочности σв (для хрупких материалов). Этому условию соответствует горизонтальная прямая на рис.61.
Для практических (инже-нерных) расчетов стержней средней гибкости
чаще всего использу-ется эмпирическая зависимость, предложенная Ф.С.Ясинским на основе изучения опытных данных (формула Ясинского):
, (8.17)
где a и b – эмпирические коэффициенты, зависящие от материала (например, для стали 40: a=321 МПа, b=1,16 МПа).
Формуле Ясинского на диаграмме критических напря-жений соответствует наклонная прямая.
